20222高三数学(理科)(全国版)一轮复习试题：第2章第5讲 对数与对数函数 1

第二章 函数的概念与基本初等函数I

第五讲 对数与对数函数

练好题·考点自测

1.下列说法正确的是( )

①若MN >0,则log a (MN )=log a M +log a N.

②对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)在(0,+∞)上是增函数. ③函数y =ln 1+x

1-x 与y =ln(1+x )-ln(1-x )的定义域相同.

④对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a ,1),(1a

,-1),函数图象只在第一、四象限. A.①③④

B.①③

C.③④

D.④

2.[2019浙江,6,5分]在同一直角坐标系中,函数y =1

a x ,y =log a (x +1

2)(a >0,且a ≠1)的图象可能是( )

3.[2020全国卷Ⅰ,8,5分]设a log 34=2,则4-a

=( ) A.1

16

B.1

9

C.1

8

D.1

6

4.[2020全国卷Ⅱ,9,5分][理]设函数f (x )=ln|2x +1|-ln|2x -1|,则f (x )( ) A .是偶函数,且在(1

2,+∞)单调递增 B .是奇函数,且在(-12,12)单调递减 C .是偶函数,且在(-∞,-12)单调递增 D .是奇函数,且在(-∞,-12)单调递减

5.[2020全国卷Ⅲ,12,5分][理]已知55<84,134<85

.设a =log 53,b =log 85,c =log 138,则( ) A .a

6.[2019全国卷Ⅱ,14,5分][理]已知f (x )是奇函数,且当x <0时,f (x )=-e ax

.若f (ln 2)=8,则a = . 7.[2018全国卷Ⅲ,16,5分]已知函数f (x )=ln(√1+x 2-x )+1,f (a )=4,则f (-a )= . 8.[2016浙江,12,6分][理]已知a >b >1.若log a b +log b a =5

2,a b

=b a

,则a = ,b = .

拓展变式

1.[2021安徽省四校联考]已知实数a,b满足a+b=5,log2a=log3b,则ab=()

A.2

B.3

C.5

D.6

2.(1)[2019天津,6,5分][理]已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为()

A.a

B.a

C.b

D.c

(2)[2020海南,7,5分]已知函数f(x)=lg(x2 -4x-5)在(a,+∞)上单调递增,则a的取值范围是()

A.(-∞,-1]

B.(-∞,2]

C.[2,+∞)

D.[5,+∞)

3.里氏震级M的计算公式为M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为

级;9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的倍.

4.设x,y,z为正实数,且log2x=log3y=log5z>0,则x

2,y

3

,z

5

的大小关系不可能是()

A.x

2

3

5

B.y

3

2

5

C.x

2=y

3

=z

5

D.z

5

3

2

答案

第五讲对数与对数函数

1.C对于①,当M<0,N<0时不成立;对于②,当0

y=ln 1+x

1-x

与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域均为(-1,1),故③正确;对于④,由对数函数的图象与性质可知④正确.故说法正确的是③④,选C.

2.D 解法一 若0

2,0),结合选项可知,选项D 可能成立;若a >1,则y =1

a

x 是减函数,而y =log a (x +1

2

)是增函数且其图象过点(1

2

,0),结合选项可知,没有符合的图象.故选D .

解法二 分别取a =1

2和a =2,在同一直角坐标系内画出相应函数的图象(图略),通过对比可知选D . 3.B 解法一 因为a log 34=2,所以log 34a =2,则有4a =32=9,所以4-a

=14a =1

9,故选B . 解法二 因为a log 34=2,所以a =

2

log 34

=

log 39

log 34

=log 49,所以4-a

=

1

4a

=1

9

,故选B .

解法三 令4-a

=t ,两边同时取对数得log 34-a

=log 3t ,即-a log 34=log 3t ,即a log 34=-log 3t =log 31

t ,因为a log 34=2,所以log 31

t

=2,所以1

t

=32

=9,所以t =1

9

,即4-a

=1

9

,故选B .

4.D 由{2x +1≠0,2x -1≠0,

得函数f (x )的定义域为(-∞,-12)∪(-12,12)∪(1

2,+∞),其关于原点对称,因为

f (-x )=ln|2(-x )+1|-ln|2(-x )-1|=ln|2x -1|-ln|2x +1|=-f (x ),所以函数f (x )为奇函数,排除A,C .当x ∈(-12,1

2)

时,f (x )=ln(2x +1)-ln(1-2x ),易知函数f (x )单调递增,排除B .当x ∈(-∞,-1

2)时,f (x )=ln(-2x -1)-ln(1-2x )=ln

2x+12x -1

=ln(1+

2

2x -1),易知函数f (x )单调递减,故选D .

5.A 55

<84

⇒ln 55

⇒5ln 5<4ln 8,所以45

>

ln5ln8

=log 85=b ;同理134<85⇒ln 134

⇒4ln 13<5ln 8,所以4

5

<

ln8

ln13

=log 138=c ;34

<53

⇒ln 34

⇒4ln 3<3ln 5,所以3

4>ln3

ln5=log 53=a ;83

<54

⇒ln 83

⇒3ln 8<4ln 5,所以3

4

=log 85=b.综上可知,a <34

5

6.-3 当x >0时,-x <0, f (-x )=-e -ax

.因为函数f (x )为奇函数,所以当x >0时, f (x )=-f (-x )=e -ax

,所以f (ln 2)=e

-a ln

2

=(1

2)a

=8,所以a =-3.

7.-2 解法一 由f (a )=ln(√1+a 2-a )+1=4,得ln(√1+a 2-a )=3,所以

f (-a )=ln(√1+a 2+a )+1=-ln 2+1=-ln(√1+a 2-a )+1=-3+1=-2.

解法二 因为f (x )=ln(√1+x 2-x )+1,

所以f (x )+f (-x )=ln(√1+x 2-x )+ln(√1+x 2+x )+2=2. 故f (a )+f (-a )=2,所以f (-a )=2-4=-2.

8.4 2 因为a >b >1,所以log a b ∈(0,1).因为log a b +log b a =52,即log a b +1

log

a

b

=52,所以log a b =1

2或log a b =2(舍去),所以a 1

2=b ,即a =b 2

.所以a b

=(b 2)b

=b 2b

=b a ,所以a =2b ,所以b 2

=2b ,解得b =2或b =0(舍去),所以a =b 2

=4.

1.D 设log 2a =log 3b =t ,则a =2t

,b =3t

,所以a +b =2t

+3t

=5.因为函数f (t )=2t

+3t

为增函数,且f (1)=5,所以t =1,所以

a =2,

b =3,所以ab =6,故选D .