定积分的性质中值定理

m f (x) M
则
b
m(b a) a f ( x)dx M (b a)
证 m f (x) M
b
b
b
a mdx a f ( x)dx a Mdx
b
m(b a) a f ( x)dx M (b a)
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例1
估计积分
0
3
1 sin 3
dx 的值。 x
第五章 定积分
高等数学（上）
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第二节 定积分的性质 积分中值定理
规定
1）当
ab
b
时， a
f
(
x)dx
0；
2）当
ab
时，
b
a
f
(
x
)dx
a
b
f ( x)dx 。
在下面的性质中，假定定积分都是可积的 .
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性质1(线性性)
b
b
b
a[ f ( x) g( x)]dx a f ( x)dx a g( x)dx
解
f
(
x)
3
1 sin
3
x
x [0, ]
0 sin3 x 1
1 4
3
1 sin 3
x
1 3
1dx
04
0
3
1 sin 3
dx x
1dx 03
4
0
3
1 sin 3
dx x
3
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性质5（定积分中值定理）
如果函数 f ( x)在闭区间[a,b] 上连续，则在
b
a
f
( x)dx
b
a
f
( x )dx
(a b)
证 f (x) f (x) f (x),
b
b
b
a f ( x)dx a f ( x)dx a f ( x)dx,
即 b a
f
( x)dx
b
a
f
( x)dx .
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推论3 (估值定理) 设对于任意的 x∈[ a , b ] ,有
区间[a, b]上至少存在一个点 ，使
b
a f ( x)dx
f ( )(b a)
(a b)
证
b
m(b a) a f ( x)dx M (b a)
m
1b
b a a
f ( x)dx
M
由闭区间上连续函数的介值定理知
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在区间 [a,b] 上至少存在一个点 ，使
证
b
n
a
kf
(
x)dx
lim
0
i 1
kf
( i
)xi
n
lim k 0 i1
f (i )xi
n
k lim 0 i1
f (i )xi
b
k a f ( x)dx
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性质2(区间可加性) 假设 a c b
则 f 在 [ a , b ] 上可积的充要条件是 f 在 [ a , c ]
b
f ( x)dx
> 0 .(自己证明)
a
推论1(不等式性)
如果在区间 [a,b] 上 f ( x) g( x)，
则
b
a
f
(
x
)dx
b
a
g(
x)dx
.
(a b)
例如
2
x ln
xdx ≥> 2 3
x ln xdx
1
1
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推论2 如果 f 在 [a , b] 上可积 ,则∣f∣在 [a , b] 上也可积 , 并有
f ( ) 1
b
f ( x)dx
ba a
即
b
a
f
(
x
)dx
f ( )(b a)
(a
b)
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积分中值定理的几何解释： y
在区间[a,b]上至少存在一点 f ( )
，使得曲边梯形的面积
等于底为 b － a ，而高为
f ( )的一个矩形的面积． o a b x
1b
定义 设 f ∈C [ a ，b]，称
f (x)dx
ba a
为 f 在 [ a ，b ]上的平均值 .
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证
b
[ f ( x) g( x)]dx
a
n
lim
0
[
i 1
f
(i
)
g(i
)]xi
n
n
lim 0 i1
f (i )xi
lim 0 i1
g(i )xi
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx
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性质1’
b
a
kf
(
x )dx
k
b
a
f
(
x)dx（ k 为常数）
f (i )xi
f ( x) 0, f (i ) 0, (i 1,2, , n)
n
xi 0, f (i )xi 0,
i 1
n
b
lim
0
i 1
f (i )xi
f ( x)dx 0.
a
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注 当 f ( x)在区间 [a,b] 上非负连续且
f (x) 0时，则
和 [ c , b ] 都可积 , 并有
b
a
f
( x)dx
c
a
f
( x)dx
b
c
f
( x)dx
y
从几何上意义考虑
y f (x)
oacbx河海大学理学院《高等数学》
性质3 如果在区间 [a,b] 上 f ( x) 0，
则
b
a
f
(
x
)dx
0.
(a b)
证
b
n
a
f ( x)dx lim 0 i 1