双曲线的渐近线

双曲线的渐近线

【教学目标】

1．知识教学点：使学生理解并掌握双曲线的渐近线的导出和论证，以及双曲线的渐近线的作用.

2．能力训练点：在与初中所学的

1

y

x

=的图象的类比中获得双曲线的渐近线的特点，从而

培养学生分析、归纳、推理等能力．

3．学科渗透点：使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质（渐近线）的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解．

【教材分析】

1．教学重、难点：双曲线的渐近线的导出和论证．

(解决办法：引导学生类比初中所学的

1

y

x

=的图象的特点，然后逐一证明)

2．教学疑点：双曲线的渐近线的发现和证明．

(解决办法：通过类比以及几何画板猜测)

【教学程序】

1．新课引入

课前播放“悲伤双曲线”的音乐。

我们前面已经学习了双曲线，你对双曲线有哪些了解呢？（标准方程、中心、顶点、对称轴、离心率、准线等）

那么你对这条双曲线：

1

y

x

=（的图像）又有哪些了解呢？

你能找出它的中心吗？顶点呢？（双曲线和对称轴的交点），从而引出对称轴。

我们发现这条双曲线的对称轴并不是x、y轴，但是x、y轴又和这条双曲线的关系很密切，你能说说它们的关系吗？（1）无交点；（2）逐渐接近－>无限接近。(板书)

从而引出课题“双曲线的渐近线”。(板书)

2．新课讲解

【探索1】我们通常研究的双曲线的焦点都在坐标轴上（以焦点在x轴上的双曲线为例），

所以我们可以将

1

y

x

=的图像绕原点顺时针旋转45度，得到焦点在x轴上的双曲线。

这说明焦点在x轴上的双曲线也有渐近线。

那么，一般的双曲线的渐近线在哪里呢？大家猜猜看。（停顿）

能否根据其特征（无交点、逐渐接近－>无限接近）找到它呢？（按特征的顺序依次研究）

【探索2】你能找到和双曲线

22

22

1(0,0)

x y

a b

a b

-=>>的图象没有交点的直线吗？（y轴等

过原点的部分直线）

【探索3】那么这么多和双曲线

22

22

1(0,0)

x y

a b

a b

-=>>的图象没有交点的直线中，到底哪

一条是和其逐渐接近并且无穷远处无限接近的呢？

（通过几何画板进行猜测）

先取a＝1，改变b的取值，比较直线的斜率和a，b的关系，

再取a ＝2，改变b 的取值，比较直线的斜率和a ，b 的关系。 引导学生发现该直线的斜率b k a

=。 【探索4】几何画板的猜测不能代替证明，那么如何证明上述猜想的结果呢？

（学生可能说出几种不同的方案，取一种方案在几何画板上进行演示，然后证明） 我们不妨先以具体实例证明，并根据对称性取第一象限证明。 设双曲线的方程为22

221x y a b

-=， （1）证明直线b y x a

=与双曲线22221x y a b -=无交点，易证； （2）证明逐渐趋近－>无限接近。

设M(x,y)是双曲线22

221x y a b

-=上的第一象限的一点，(,)N x y '是直线上与M 有相同横坐标

的点，则

||(b b MN y y x x a a '=-=== 从而x 增大直至趋于正无穷大时，|MN|逐渐减小直至趋于0；

即：点M 向无穷远处运动时， M 点就无限接近于直线b y x a

=。 综上，双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a

=。 根据对称性，其他象限类似。 我们称直线b y x a

=±为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线。 【探索5】我们回到课前引入的问题。

我们能不能求出旋转后的双曲线的标准方程呢？

由旋转前后的不变性，可求出a =1b a

=，可求得：b = 所以双曲线的标准方程为：22

122

x y -=。 我们把实轴和虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线。

3．例题讲解

例1：求双曲线22

149

x y -=的渐近线方程，并画出双曲线的草图。 （由学生到黑板前板演，并提问是如何画出草图的（先画渐近线），追问渐近线是如何画出的（描点），继续追问描的哪个点，从而引出矩形框的讲解）

【变】求双曲线22

194

y x -=的渐近线方程。 （学生可能出现两种答案，此时在几何画板上进行验证，并得出焦点在y 轴上的双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的渐近线方程a y x b

=±） 由于例1和变式的结果都是32y x =±

，进而引出下面的追问1。 【追问1】以直线32

y x =±为渐近线的双曲线方程，你还能写出几个吗？ （如22249x y -=±等，进而可以总结：以直线32

y x =±为渐近线的双曲线方程可以统一表示为22

(0)49

x y λλ-=≠）。（可以用几何画板演示结果） 【追问2】上述方程中0λ≠，若0λ=，表示的是什么呢？ （恰好为双曲线的渐近线方程，进而总结：双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的渐近线方程为22220x y a b -=；双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的渐近线方程为22

220y x a b

-=） 4．课堂小结（略）

【教学反思】

1．本节课的教学设计初衷是以学生的认知水平、认知习惯为出发点，逐步寻找最近发展区，从而使学生能够顺利的接受并理解双曲线的渐近线；

2．关于双曲线的渐近线的证明一直是本节课的矛盾点，若证明，则较难突破这一难点，若不证明，则不符合学生猜测后证明的思想；

3．对于双曲线的渐近线的应用则不是本节课的重点，因而淡化处理。