机械振动6连续系统的振动3轴的扭转振动

14
3
等直轴的扭转自由振动：
2 a t 2 x 2
2 2
f ( x, t )
a
G
0

x
dx
x
方程形式与弦的横向振动、杆的纵向振动方程一样， 因此也有相同形式的解 ： x x ( x, t ) ( x) F (t ) C sin D cos ( A sin t B cost ) a a 式中有四个待定常数，决定于初始条件和边界条件。
轴的扭转弹性刚度
略去轴质量的单自由度扭振固有频率
10
a 即 0 . 52 . 若α =0.3 ，由表6.3—1得数值解β1 =0.52。 1 L a a 而近似解 1 0.5477 。 两者误差仅5.327%。 L L
如果轴的转动惯量与圆盘转动惯量接近， 用2.3节的瑞利法，将轴转动惯量的1/3加到圆盘转动惯量上， 再按单自由度扭振系统计算，得：

式中Ai,Bi取决于初始条件： ( x,0) 0, 代入上式：

( x,0) ,
(2i 1)x sin Bi 0， 2L i 1

Bi 0，
(2i 1)x (2i 1)a sin Ai ， 2L 2L i 1
14 13
(2i 1)x (2i 1)a ( x, t ) sin Ai sin t 2L 2L i 1
( x, t ) 为杆上距离原点 x 处的截面在时
刻 t 的角位移 截面处的扭矩为 M
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2 J p dx 2 t
J p dx
：微段绕轴线的转动惯量
2
达朗贝尔原理：
2 M J p dx 2 ( M dx) M fdx 0 t x 2 M f ( x, t ) 即： J p 2 t x 材料力学： M GJ p x 2 代入，得：J p 2 (GJ p ) f ( x, t ) t x x

( Bi 0)
(2i 1)x (2i 1)a sin Ai ， 2L 2L i 1 (2 j 1)x 对上式左右乘 sin ，从 0到L积分： 2L L L (2 j 1)x (2i 1)a (2i 1)x (2 j 1)x Ai sin sin dx， 0 sin 2L 0 2L 2L 2L i 1
左端固定： (0) 0, D 0, ( x) C sin 右端截面的扭矩等于圆盘的惯性力矩：
x
a
d ( L) ( x, t ) 2 ( x, t ) 2 GJ I ( L). GJ p I , p 2 dx x x L t x 0 GJ p

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例6.3-1：轴的左端固定，右 端附有圆盘，如右图。 求系
I
GJ p
0
统的扭振固有频率和振型。
解：轴的扭振方程
2 2 2 a 2 t x 2
L
a
G

设解： ( x, t ) ( x) F (t )
x x C sin D cos ( A sin t B cost ) a a
因为系统的线性，系统的全解由无限多阶固有模态叠加而成：
i x i x ( x, t ) Ci sin Di cos ( Ai sin i t Bi cosi t ) a a i 1 模态由边界条件决定，由初始条件决定其它两个常数Ai、Bi。 设初始条件为： ( x,0) g ( x). ( x,0) f ( x), 则： i x i x f ( x) Ci sin Di cos Bi 求得Ai、Bi后， a a i 1 可得系统的响应 x x g ( x) Ci sin i Di cos i i Ai a a i 1 6
如果α 值很小，轴的转动惯量远小于圆盘转动惯量.
则有 tan1 1，
轴系的特征方程简化为：
，
2
即 a
1L
2
J pL
I
GJ p / L a J p L 1 L I I
k . I
k GJ p / L
k 1 . I
14
14 12
对于每个固有频率： i 2i 1 a . (i 1,2 ) 2L 有： i x i x ( x, t ) Ci sin Di cos ( Ai sin i t Bi cosi t ) a a i 1
(2i 1)x (2i 1)a (2i 1)a sin ( Ai sin t Bi cos t) 2L 2L 2L i 1
以等角速度ω 转动，某瞬时左端 突然固定，求轴的扭振响应。
0 O
G

L
x
x

D cos
解：建立坐标系
一端固定一端自由的边界条件：
( x) C sin
x
a
(0, t ) 0,
(0) 0
a D0
( L, t ) L d ( L) 0, C cos 0. 0, x a a dx 得频率方程： cos L 0. a i L 2i 1 ， i 2i 1 a . (i 1,2) a 2 2L
其中kt为扭转弹性刚度。 d ( x) kt (0) GJ p , d x x 0
14
d ( x) kt ( L) GJ p . d x xL
5
(4)惯性载荷端：
2 ( x, t ) ( x, t ) 2 ( x, t ) ( x, t ) I GJ , I GJ . p p 2 2 t x x 0 t x x L x 0 xL
x
a
(2)自由端：
( x, t ) 0, x x 0 ( x, t ) 0 x x L
d (0) 0, dx d ( L) 0 dx
(3)弹性载荷端：
kt (0, t ) GJ p ( x, t ) , x x 0 kt ( L, t ) GJ p ( x
L
a
I sin
2
L
a
.
L
a
tan
L
a

GJ p L a I
2

LJ p
I
.
8
L
a
tan
L
a

J p L
I
记作
.
L 记作
a

则有 tan
轴系的特征方程
α 为轴的转动惯量与圆盘的转动惯量之比。
若给定α ，不难找出固有频率的数值解。
表6.3-1给出了基本特征值β1 随α 值的部分变化量。
利用边界条件可以求出C、D或一个常数和固有频率ω ，
其边界条件与杆的纵向振动相似，有固定端、自由端、弹性 载荷端、惯性载荷端：
14 4
(1)固定端： (0, t ) 0, ( L, t ) 0
(0) 0, ( L) 0
( x) C sin
x
a
D cos
14 14
作业：
14
15
(2i 1)a L 2L 8L Ai ， Ai ， 2 2 2L 2 (2i 1) (2i 1) a
8L 1 (2i 1)x (2i 1)a ( x, t ) 2 sin sin t 2 a i 1 (2i 1) 2L 2L
f ( x, t )
x
dx
x
微段 dx 受力
fdx
M
M M dx x
圆截面杆的扭转振动强迫振动方程 对于等直杆，抗扭转刚度 GJp 为常数
2 2 1 2 f ( x, t ) 有： 2 a 2 t x J p
2 J p dx 2 t
a
G

剪切弹性波的 纵向传播速度
1
k I J p L / 3
GJ p / L I J p L / 3
如果取α ≈1，查表得β1 =0.86；用上式计算所得基频近似值，
a 2 J p / L 3 a a 1 0.866 I J p L / 3 4L L
14
误差约0.7%。
11
例6.3-2：等直圆轴长为L，如图
第六章 连续系统的振动
6.3 轴的扭转振动
6.3 轴的扭转振动
细长圆截面直杆在分布扭 矩作用下作扭转振动
轴参数： 材料密度 截面的极惯性矩 Jp 切变模量 G
f ( x, t )
0
x
dx
x
微段 dx 受力
fdx
M
f ( x, t ) ：单位长度杆上分布的外力偶矩
M M dx x
假定振动过程中各横截面仍保持为平面
α β1 α β1
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0.01 0.10 0.30 0.50 0.70 0.90 1.00 1.50 0.10 0.32 0.52 0.65 0.75 0.82 0.86 0.98 2.00 3.00 4.00 5.00 10.0 20.0 100 ∞
9
1.08 1.20 1.27 1.32 1.42 1.52 1.57 π/2
左端固定：
(0, t ) 0,
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(0) 0
D0
7
2 a 2 t x 2
2 2
a
G
I

GJ p
0
( x, t ) ( x) F (t )
L
x x C sin D cos ( A sin t B cost ) a a