2020年高考总复习基本初等函数1第二章 2.1

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2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》函数的单调性与最值

2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》函数的单调性与最值

2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.2函数的单调性与最值最新考纲1.通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f (x )的定义域为I ,如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1,x 2当x 1<x 2时,都有f (x 1)<f (x 2),那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时,都有f (x 1)>f (x 2),那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y =f (x )在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数y =f (x )在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做y =f (x )的单调区间.2.函数的最值前提设函数y =f (x )的定义域为I ,如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的x ∈I ,都有f (x )≤M ;(2)存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M(3)对于任意的x ∈I ,都有f (x )≥M ;(4)存在x 0∈I ,使得f (x 0)=M结论M 为最大值M 为最小值概念方法微思考1.在判断函数的单调性时,你还知道哪些等价结论?提示对∀x 1,x 2∈D ,f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数,减函数类似.2.写出对勾函数y =x +ax (a >0)的增区间.提示(-∞,-a ]和[a ,+∞).题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x ),有f (-1)<f (3),则函数f (x )在R 上为增函数.(×)(2)函数y =f (x )在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).(×)(3)函数y =1x的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(×)(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数,则这个函数在定义域上是增函数.(×)(5)所有的单调函数都有最值.(×)题组二教材改编2.函数f (x )=x 2-2x 的单调递增区间是____________.答案[1,+∞)(或(1,+∞))3.函数y =2x -1在[2,3]上的最大值是______.答案24.若函数f (x )=x 2-2mx +1在[2,+∞)上是增函数,则实数m 的取值范围是________.答案(-∞,2]解析由题意知,[2,+∞)⊆[m ,+∞),∴m ≤2.题组三易错自纠5.函数y =12log (x 2-4)的单调递减区间为________.答案(2,+∞)6.若函数f (x )=|x -a |+1的增区间是[2,+∞),则a =________.答案2解析∵f (x )=|x -a |+1的单调递增区间是[a ,+∞),∴a =2.7.函数y =f (x )是定义在[-2,2]上的减函数,且f (a +1)<f (2a ),则实数a 的取值范围是________.答案[-1,1)解析-2≤a+1≤2,-2≤2a≤2,a+1>2a,解得-1≤a<1.8.函数f(x)1x,x≥1,-x2+2,x<1的最大值为________.答案2解析当x≥1时,函数f(x)=1x为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)=1;当x<1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.题型一确定函数的单调性命题点1求函数的单调区间例1(1)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-∞,-2)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)答案D解析函数y=x2-2x-8=(x-1)2-9图象的对称轴为直线x=1,由x2-2x-8>0,解得x>4或x<-2,所以(4,+∞)为函数y=x2-2x-8的一个单调递增区间.根据复合函数的单调性可知,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间为(4,+∞).(2)函数y=-x2+2|x|+3的单调递减区间是__________________.答案[-1,0],[1,+∞)解析由题意知,当x≥0时,y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4;当x<0时,y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,二次函数的图象如图.由图象可知,函数y=-x2+2|x|+3的单调递减区间为[-1,0],[1,+∞).命题点2讨论函数的单调性例2判断并证明函数f (x )=ax 2+1x (其中1<a <3)在[1,2]上的单调性.解函数f (x )=ax 2+1x(1<a <3)在[1,2]上单调递增.证明:设1≤x 1<x 2≤2,则f (x 2)-f (x 1)=ax 22+1x 2-ax 21-1x 1=(x 2-x 1)a (x 1+x 2)-1x 1x 2,由1≤x 1<x 2≤2,得x 2-x 1>0,2<x 1+x 2<4,1<x 1x 2<4,-1<-1x 1x 2<-14.又因为1<a <3,所以2<a (x 1+x 2)<12,得a (x 1+x 2)-1x 1x 2>0,从而f (x 2)-f (x 1)>0,即f (x 2)>f (x 1),故当a ∈(1,3)时,f (x )在[1,2]上单调递增.引申探究如何用导数法求解本例?解f ′(x )=2ax -1x 2=2ax 3-1x 2,因为1≤x ≤2,所以1≤x 3≤8,又1<a <3,所以2ax 3-1>0,所以f ′(x )>0,所以函数f (x )=ax 2+1x (其中1<a <3)在[1,2]上是增函数.思维升华确定函数单调性的方法:(1)定义法和导数法,证明函数单调性只能用定义法和导数法;(2)复合函数法,复合函数单调性的规律是“同增异减”;(3)图象法,图象不连续的单调区间不能用“∪”连接.跟踪训练1(1)下列函数中,满足“∀x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2,(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0”的是()A .f (x )=2xB .f (x )=|x -1|C .f (x )=1x -xD .f (x )=ln(x +1)答案C解析由(x 1-x 2)·[f (x 1)-f (x 2)]<0可知,f (x )在(0,+∞)上是减函数,A ,D 选项中,f (x )为增函数;B 中,f (x )=|x -1|在(0,+∞)上不单调;对于f (x )=1x -x ,因为y =1x与y =-x 在(0,+∞)上单调递减,因此f (x )在(0,+∞)上是减函数.(2)函数f (x )=(a -1)x +2在R 上单调递增,则函数g (x )=a |x -2|的单调递减区间是______________.答案(-∞,2]解析因为f (x )在R 上单调递增,所以a -1>0,即a >1,因此g (x )的单调递减区间就是y =|x -2|的单调递减区间(-∞,2].(3)函数f (x )=|x -2|x 的单调递减区间是________.答案[1,2]解析f (x )2-2x ,x ≥2,x 2+2x ,x <2.画出f (x )图象,由图知f (x )的单调递减区间是[1,2].题型二函数的最值1.函数y =x 2-1x 2+1的值域为____________.答案[-1,1)解析由y =x 2-1x 2+1,可得x 2=1+y 1-y.由x 2≥0,知1+y1-y≥0,解得-1≤y <1,故所求函数的值域为[-1,1).2.函数y =x +1-x 2的最大值为________.答案2解析由1-x 2≥0,可得-1≤x ≤1.可令x =cos θ,θ∈[0,π],则y =cos θ+sin θ=2sin θ∈[0,π],所以-1≤y ≤2,故原函数的最大值为 2.3.函数y =|x +1|+|x -2|的值域为________.答案[3,+∞)解析函数y 2x +1,x ≤-1,,-1<x <2,x -1,x ≥2.作出函数的图象如图所示.根据图象可知,函数y =|x +1|+|x -2|的值域为[3,+∞).4.函数y =3x +1x -2的值域为________________.答案{y |y ∈R 且y ≠3}解析y =3x +1x -2=3(x -2)+7x -2=3+7x -2,因为7x -2≠0,所以3+7x -2≠3,所以函数y =3x +1x -2的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}.5.函数f (x )-log 2(x +2)在区间[-1,1]上的最大值为________.答案3解析由于y 在[-1,1]上单调递减,y =log 2(x +2)在[-1,1]上单调递增,所以f (x )在[-1,1]上单调递减,故f (x )在[-1,1]上的最大值为f (-1)=3.6.若函数f (x )=x 2+ax +b 在区间[0,1]上的最大值是M ,最小值是m ,则M -m ()A .与a 有关,且与b 有关B .与a 有关,但与b 无关C .与a 无关,且与b 无关D .与a 无关,但与b 有关答案B 解析方法一设x 1,x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点,则m =x 21+ax 1+b ,M =x 22+ax 2+b .∴M -m =x 22-x 21+a (x 2-x 1),显然此值与a 有关,与b 无关.故选B.方法二由题意可知,函数f (x )的二次项系数为固定值,则二次函数图象的形状一定.随着b 的变动,相当于图象上下移动,若b 增大k 个单位,则最大值与最小值分别变为M +k ,m +k ,而(M +k )-(m +k )=M -m ,故与b 无关.随着a 的变动,相当于图象左右移动,则M -m 的值在变化,故与a 有关,故选B.思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.(4)分离常数法:形如求y=cx+dax+b(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解.(5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.题型三函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0恒成立,设a=f -12,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为()A.c>a>b B.c>b>aC.a>c>b D.b>a>c答案D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且在(1,+∞)上是减函数,因为a=f -12f522<52<3,所以b>a>c.命题点2解函数不等式例4(2018·四川成都五校联考)设函数f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(-3)=0,则f(x)<0的解集是()A.{x|-3<x<0或x>3}B.{x|x<-3或0<x<3}C.{x|x<-3或x>3}D.{x|-3<x<0或0<x<3}答案B解析∵f(x)是奇函数,f(-3)=0,∴f(-3)=-f(3)=0,解得f(3)=0.∵函数f(x)在(0,+∞)内是增函数,∴当0<x<3时,f(x)<0;当x>3时,f(x)>0.∵函数f(x)是奇函数,∴当-3<x<0时,f(x)>0;当x<-3时,f(x)<0.则不等式f (x )<0的解集是{x |0<x <3或x <-3}.命题点3求参数的取值范围例5(1)(2018·全国Ⅱ)若f (x )=cos x -sin x 在[0,a ]上是减函数,则a 的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D .π答案C解析∵f (x )=cos x -sin x =-2sin∴当x -π4∈-π2,π2,即x ∈-π4,3π4时,y =sinf (x )=-2sin ∴-π4,3π4是f (x )在原点附近的单调减区间,结合条件得[0,a ]⊆-π4,3π4,∴a ≤3π4,即a max =3π4.(2)已知函数f (x )2+12a -2,x ≤1,x -a ,x >1,若f (x )在(0,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围为________.答案(1,2]解析由题意,得12+12a -2≤0,则a ≤2,又y =a x -a (x >1)是增函数,故a >1,所以a 的取值范围为1<a ≤2.(3)(2018·安徽滁州中学月考)已知函数f (x )=log 2(x 2-ax +3a )在[2,+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是______________.答案(-4,4]解析设g (x )=x 2-ax +3a ,根据对数函数及复合函数的单调性知,g (x )在[2,+∞)上是增函数,且g (2)>0,2,a >0,∴-4<a ≤4,∴实数a 的取值范围是(-4,4].思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.(2)解不等式.利用函数的单调性将“f ”符号脱掉,转化为具体的不等式求解,应注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数.①依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较;②需注意若函数在区间[a ,b ]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;③分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.跟踪训练2(1)如果函数f (x )2-a )x +1,x <1,x ,x ≥1满足对任意x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0成立,那么a 的取值范围是________.答案32,解析对任意x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0,所以y =f (x )在(-∞,+∞)上是增函数.-a >0,>1,2-a )×1+1≤a ,解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是32,(2)已知函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f (2x -1)<f x 的取值范围是______________.答案12,解析因为函数f (x )是定义在区间[0,+∞)上的增函数,且满足f (2x -1)<所以0≤2x -1<13,解得12≤x <23.1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是()A .y =ln(x +2)B .y =-x +1C .yD .y =x +1x答案A解析函数y=ln(x+2)的增区间为(-2,+∞),所以在(0,+∞)上一定是增函数.2.已知函数f(x)=x2-2x-3,则该函数的单调递增区间为()A.(-∞,1]B.[3,+∞)C.(-∞,-1]D.[1,+∞)答案B解析设t=x2-2x-3,由t≥0,即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为x=1,所以函数t在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞).3.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是()A.f(π)>f(-3)>f(-2)B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2)D.f(π)<f(-2)<f(-3)答案A解析因为f(x)是偶函数,所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2).又因为函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,所以f(π)>f(3)>f(2),即f(π)>f(-3)>f(-2).4.已知函数f(x)-2a)x,x≤1,a x+13,x>1,当x1≠x2时,f(x1)-f(x2)x1-x2<0,则a的取值范围是(),13 B.13,12,12 D.14,13答案A解析当x1≠x2时,f(x1)-f(x2)x1-x2<0,∴f(x)是R上的减函数.∵f(x)-2a)x,x≤1,a x+13,x>1,-2a<1,a<1,-2a≥13,∴0<a≤13.5.设f (x )x -a )2,x ≤0,+1x +a ,x >0,若f (0)是f (x )的最小值,则a 的取值范围为()A .[-1,2]B .[-1,0]C .[1,2]D .[0,2]答案D 解析∵当x ≤0时,f (x )=(x -a )2,f (0)是f (x )的最小值,∴a ≥0.当x >0时,f (x )=x +1x +a ≥2+a ,当且仅当x =1时取“=”.要满足f (0)是f (x )的最小值,需2+a ≥f (0)=a 2,即a 2-a -2≤0,解得-1≤a ≤2.∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.6.已知函数f (x )2x ,x ≥1,+c ,x <1,则“c =-1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件答案A 解析若函数f (x )在R 上单调递增,则需log 21≥c +1,即c ≤-1.由于c =-1,即c ≤-1,但c ≤-1不能得出c =-1,所以“c =-1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件.7.已知奇函数f (x )在R 上是增函数.若a =-b =f (log 24.1),c =f (20.8),则a ,b ,c 的大小关系为________________.答案a >b >c 解析∵f (x )在R 上是奇函数,∴a =-log f (log 25).又f (x )在R 上是增函数,且log 25>log 24.1>log 24=2>20.8,∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8),∴a >b >c .8.如果函数f (x )=ax 2+2x -3在区间(-∞,4)上单调递增,则实数a 的取值范围是______________.答案-14,0解析当a =0时,f (x )=2x -3在定义域R 上是单调递增的,故在(-∞,4)上单调递增;当a ≠0时,二次函数f (x )的对称轴为x =-1a,因为f (x )在(-∞,4)上单调递增,所以a <0,且-1a ≥4,解得-14≤a <0.综上,实数a 的取值范围是-140.9.记min{a ,b },a ≤b ,,a >b ,若f (x )=min{x +2,10-x }(x ≥0),则f (x )的最大值为________.答案6解析由题意知,f (x )+2,0≤x ≤4,-x ,x >4,易知f (x )max =f (4)=6.10.设函数f (x )x 2+4x ,x ≤4,2x ,x >4.若函数y =f (x )在区间(a ,a +1)上单调递增,则实数a的取值范围是__________________.答案(-∞,1]∪[4,+∞)解析作函数f (x )的图象如图所示,由图象可知f (x )在(a ,a +1)上单调递增,需满足a ≥4或a +1≤2,即a ≤1或a ≥4.11.已知f (x )=x x -a(x ≠a ).(1)若a =-2,试证f (x )在(-∞,-2)上单调递增;(2)若a >0且f (x )在(1,+∞)上单调递减,求a 的取值范围.(1)证明当a =-2时,f (x )=x x +2.设x 1<x 2<-2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1+2-x 2x 2+2=2(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2).因为(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1-x 2<0,所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),所以f (x )在(-∞,-2)上单调递增.(2)解设1<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1-a -x 2x 2-a=a (x 2-x 1)(x 1-a )(x 2-a ).因为a >0,x 2-x 1>0,所以要使f (x 1)-f (x 2)>0,只需(x 1-a )(x 2-a )>0恒成立,所以a ≤1.综上所述,0<a ≤1.12.(2018·河南南阳一中月考)设函数f (x )=ax 2+bx +1(a ,b ∈R ),F (x )x ),x >0,f (x ),x <0.(1)若f (-1)=0,且对任意实数x 均有f (x )≥0成立,求F (x )的解析式;(2)在(1)的条件下,当x ∈[-2,2]时,g (x )=f (x )-kx 是单调函数,求实数k 的取值范围.解(1)∵f (-1)=0,∴b =a +1.由f (x )≥0恒成立,知a >0且方程ax 2+bx +1=0中Δ=b 2-4a =(a +1)2-4a =(a -1)2≤0,∴a =1.从而f (x )=x 2+2x +1.∴F (x )x +1)2,x >0,(x +1)2,x <0.(2)由(1)可知f (x )=x 2+2x +1,∴g (x )=f (x )-kx =x 2+(2-k )x +1,由g (x )在[-2,2]上是单调函数,知-2-k 2≤-2或-2-k 2≥2,得k ≤-2或k ≥6.即实数k 的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞).13.已知函数f (x )3,x ≤0,(x +1),x >0,若f (2-x 2)>f (x ),则实数x 的取值范围是()A .(-∞,-1)∪(2,+∞)B .(-∞,-2)∪(1,+∞)C .(-1,2)D .(-2,1)答案D 解析∵当x =0时,两个表达式对应的函数值都为0,∴函数的图象是一条连续的曲线.又∵当x ≤0时,函数f (x )=x 3为增函数,当x >0时,f (x )=ln(x +1)也是增函数,∴函数f (x )是定义在R 上的增函数.因此,不等式f (2-x 2)>f (x )等价于2-x 2>x ,即x 2+x -2<0,解得-2<x <1.14.已知f (x )2-4x +3,x ≤0,x 2-2x +3,x >0,不等式f (x +a )>f (2a -x )在[a ,a +1]上恒成立,则实数a 的取值范围是________.答案(-∞,-2)解析二次函数y 1=x 2-4x +3的对称轴是x =2,∴该函数在(-∞,0]上单调递减,∴x 2-4x +3≥3,同样可知函数y 2=-x 2-2x +3在(0,+∞)上单调递减,∴-x 2-2x +3<3,∴f (x )在R 上单调递减,∴由f (x +a )>f (2a -x )得到x +a <2a -x ,即2x <a ,∴2x <a 在[a ,a +1]上恒成立,∴2(a +1)<a ,∴a <-2,∴实数a 的取值范围是(-∞,-2).15.已知函数f (x )=2020x +ln(x 2+1+x )-2020-x +1,则不等式f (2x -1)+f (2x )>2的解集为____________.答案解析由题意知,f (-x )+f (x )=2,∴f (2x -1)+f (2x )>2可化为f (2x -1)>f (-2x ),又由题意知函数f (x )在R 上单调递增,∴2x -1>-2x ,∴x >14,∴16.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f (x )是增函数,f (1)=0,f (3)=1.(1)解不等式0<f (x 2-1)<1;(2)若f (x )≤m 2-2am +1对所有x ∈(0,3],a ∈[-1,1]恒成立,求实数m 的取值范围.解(1)2-1>0,x 2-1<3,得2<x <2或-2<x <- 2.∴原不等式的解集为(-2,-2)∪(2,2).(2)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数,∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)=1,∴不等式f (x )≤m 2-2am +1对所有x ∈(0,3],a ∈[-1,1]恒成立转化为1≤m 2-2am +1对所有a ∈[-1,1]恒成立,即m 2-2am ≥0对所有a ∈[-1,1]恒成立.设g (a )=-2ma +m 2,a ∈[-1,1],∴(-1)≥0,(1)≥0,m +m 2≥0,2m +m 2≥0,解该不等式组,得m ≤-2或m ≥2或m =0,即实数m 的取值范围为(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).。

2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》函数的奇偶性与周期性

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2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.3函数的奇偶性与周期性最新考纲1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ,都有f (-x )=f (x ),那么函数f (x )就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数一般地,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ,都有f (-x )=-f (x ),那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数:对于函数y =f (x ),如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时,都有f (x +T )=f (x ),那么就称函数y =f (x )为周期函数,称T 为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.概念方法微思考1.如果已知函数f (x ),g (x )的奇偶性,那么函数f (x )±g (x ),f (x )·g (x )的奇偶性有什么结论?提示在函数f (x ),g (x )公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.2.已知函数f (x )满足下列条件,你能得到什么结论?(1)f (x +a )=-f (x )(a ≠0);(2)f (x +a )=1f (x )(a ≠0);(3)f (x +a )=f (x +b )(a ≠b ).提示(1)T =2|a |(2)T =2|a |(3)T =|a -b |题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y =x 2,x ∈(0,+∞)是偶函数.(×)(2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(×)(3)若函数y =f (x +a )是偶函数,则函数y =f (x )关于直线x =a 对称.(√)题组二教材改编2.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x >0时,f (x )=x (1+x ),则f (-1)=________.答案-2解析f (1)=1×2=2,又f (x )为奇函数,∴f (-1)=-f (1)=-2.3.设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时,f (x )-4x 2+2,-1≤x <0,x ,0≤x <1,则f 32______.答案1解析f 32=f -124×-122+2=1.4.设奇函数f (x )的定义域为[-5,5],若当x ∈[0,5]时,f (x )的图象如图所示,则不等式f (x )<0的解集为________.答案(-2,0)∪(2,5]解析由图象可知,当0<x <2时,f (x )>0;当2<x ≤5时,f (x )<0,又f (x )是奇函数,∴当-2<x <0时,f (x )<0,当-5≤x <-2时,f (x )>0.综上,f (x )<0的解集为(-2,0)∪(2,5].题组三易错自纠5.已知f (x )=ax 2+bx 是定义在[a -1,2a ]上的偶函数,那么a +b 的值是()A .-13 B.13C.12D .-12答案B 解析∵f (x )=ax 2+bx 是定义在[a -1,2a ]上的偶函数,∴a -1+2a =0,∴a =13.又f (-x )=f (x ),∴b =0,∴a +b =13.6.偶函数y =f (x )的图象关于直线x =2对称,f (3)=3,则f (-1)=________.答案3解析∵f (x )为偶函数,∴f (-1)=f (1).又f (x )的图象关于直线x =2对称,∴f (1)=f (3).∴f (-1)=3.题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性:(1)f (x )=36-x 2+x 2-36;(2)f (x )=ln (1-x 2)|x -2|-2;(3)f (x )2+x ,x <0,x 2+x ,x >0.解(1)-x 2≥0,2-36≥0,得x 2=36,解得x =±6,即函数f (x )的定义域为{-6,6},关于原点对称,∴f (x )=36-x 2+x 2-36=0.∴f (-x )=-f (x )且f (-x )=f (x ),∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.(2)-x 2>0,-2|≠2,得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称.∴x -2<0,∴|x -2|-2=-x ,∴f (x )=ln (1-x 2)-x.又∵f (-x )=ln[1-(-x )2]x =ln (1-x 2)x =-f (x ),∴函数f (x )为奇函数.(3)显然函数f (x )的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.∵当x <0时,-x >0,则f (-x )=-(-x )2-x =-x 2-x =-f (x );当x >0时,-x <0,则f (-x )=(-x )2-x =x 2-x =-f (x );综上可知,对于定义域内的任意x ,总有f (-x )=-f (x ),∴函数f (x )为奇函数.思维升华判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;(2)判断f (x )与f (-x )是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )+f (-x )=0(奇函数)或f (x )-f (-x )=0(偶函数)是否成立.跟踪训练1(1)下列函数中,既不是奇函数也不是偶函数的是()A .f (x )=x +sin 2xB .f (x )=x 2-cos xC .f (x )=3x -13xD .f (x )=x 2+tan x答案D解析对于选项A ,函数的定义域为R ,f (-x )=-x +sin 2(-x )=-(x +sin 2x )=-f (x ),所以f (x )=x +sin 2x 为奇函数;对于选项B ,函数的定义域为R ,f (-x )=(-x )2-cos(-x )=x 2-cos x =f (x ),所以f (x )=x 2-cos x 为偶函数;对于选项C ,函数的定义域为R ,f (-x )=3-x-13-x =-x f (x ),所以f (x )=3x -13x 为奇函数;只有f (x )=x 2+tan x 既不是奇函数也不是偶函数.故选D.(2)(2018·石景山模拟)下列函数中既是奇函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数为()A .y =xB .y =-x 3C .y =12log xD .y =x +1x答案B解析由题意得,对于函数y =x 和函数y =12log x 都是非奇非偶函数,排除A ,C.又函数y=x +1x 在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,排除D ,故选B.题型二函数的周期性及其应用1.(2018·抚顺模拟)已知f (x )在R 上是奇函数,且满足f (x +4)=f (x ),当x ∈(0,2)时,f (x )=2x 2,则f (7)=________.答案-2解析f (7)=f (-1)=-f (1)=-2.2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=2-3,且对任意的x都有f(x+2)=1-f(x),则f(2020)=________.答案-2-3解析由f(x+2)=1-f(x),得f(x+4)=1-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,所以f(2020)=f(4).因为f(2+2)=1-f(2),所以f(4)=-1f(2)=-12-3=-2- 3.故f(2020)=-2- 3.3.(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=________.答案6解析∵f(x+4)=f(x-2),∴f((x+2)+4)=f((x+2)-2),即f(x+6)=f(x),∴f(x)是周期为6的周期函数,∴f(919)=f(153×6+1)=f(1).又f(x)是定义在R上的偶函数,∴f(1)=f(-1)=6,即f(919)=6.4.设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件:①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);③当0≤x<1时,f(x)=2x-1,则f(1)+f(2)+________.答案2-1解析依题意知:函数f(x)为奇函数且周期为2,则f(1)+f(-1)=0,f(-1)=f(1),即f(1)=0.∴f(1)+f(2)+=0+f(0)+=f(0)+=f(0)=122-1+20-1=2-1.思维升华利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题,转化到已知区间上,进而解决问题.题型三函数性质的综合应用命题点1求函数值或函数解析式例2(1)设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数,若在区间[-2,0)∪(0,2]上,f (x )=ax +b ,-2≤x <0,ax -1,0<x ≤2,则f (2021)=________.答案-12解析设0<x ≤2,则-2≤-x <0,f (-x )=-ax +b .因为f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数,所以f (-x )=-f (x )=-ax +1=-ax +b ,所以b =1.而f (-2)=f (-2+4)=f (2),所以-2a +b =2a -1,解得a =12,所以f (2021)=f (1)=12×1-1=-12.(2)已知f (x )为偶函数,当x ≤0时,f (x )=e -x -1-x ,则f (x )=________.答案e-x -1-x ,x ≤0,e x -1+x ,x >0解析∵当x >0时,-x <0,∴f (x )=f (-x )=e x -1+x ,∴f (x )e -x -1-x ,x ≤0,e x -1+x ,x >0.命题点2求参数问题例3(1)若函数f (x )=x ln(x +a +x 2)为偶函数,则a =__________.答案1解析∵f (-x )=f (x ),∴-x ln(a +x 2-x )=x ln(x +a +x 2),∴ln[(a +x 2)2-x 2]=0.∴ln a =0,∴a =1.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f (x )ax +1,-1≤x <0,bx +2x +1,0≤x ≤1,其中a ,b ∈R .若f 12=f 32,则a +3b 的值为________.答案-10解析因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数,所以ff (-1)=f (1),故从而12b +212+1=-12a +1,即3a +2b =-2.①由f (-1)=f (1),得-a +1=b +22,即b =-2a .②由①②得a =2,b =-4,从而a +3b =-10.(3)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x >0时,f (x )=-x 2+ax -1-a ,若函数f (x )为R 上的减函数,则a 的取值范围是____________.答案[-1,0]解析因为函数f (x )是R 上的奇函数,所以f (0)=0,若函数f (x )为R 上的减函数,则满足当x >0时,函数为减函数,且-1-a ≤0-a -2=a 2≤0,1-a ≤0,≤0,≥-1,即-1≤a ≤0.命题点3利用函数的性质解不等式例4(1)(2018·聊城模拟)已知函数f (x )=|x |(10x -10-x ),则不等式f (1-2x )+f (3)>0的解集为()A .(-∞,2)B .(2,+∞)C .(-∞,1)D .(1,+∞)答案A解析由于f (-x )=-f (x ),所以函数为奇函数,且为单调递增函数,故f (1-2x )+f (3)>0等价于f (1-2x )>-f (3)=f (-3),所以1-2x >-3,x <2,故选A.(2)设函数f (x )=ln(1+|x |)-11+x2,解不等式f (x )>f (2x -1).解由已知得函数f (x )为偶函数,所以f (x )=f (|x |),由f (x )>f (2x -1),可得f (|x |)>f (|2x -1|).当x>0时,f(x)=ln(1+x)-11+x2,因为y=ln(1+x)与y=-11+x2在(0,+∞)上都单调递增,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.由f(|x|)>f(|2x-1|),可得|x|>|2x-1|,两边平方可得x2>(2x-1)2,整理得3x2-4x+1<0,解得13<x<1.所以符合题意的x思维升华解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题,通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.跟踪训练2(1)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x),当x ,12时,f(x)=12log(1)x ,则f(x)()A.减函数且f(x)>0B.减函数且f(x)<0 C.增函数且f(x)>0D.增函数且f(x)<0答案D解析当x ,12时,由f(x)=12log(1-x)可知,f(x)单调递增且f(x)>0,又函数f(x)为奇函数,所以在区间-12,f(x)<0.由f(x)知,函数的周期为32,f(x)<0.故选D.(2)(2018·烟台模拟)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,且f(1)=-1,f(3)=1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是()A.[3,5]B.[-1,1]C.[1,3]D.[-1,1]∪[3,5]答案D解析由偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则在区间(-∞,0)上单调递减,又f(1)=-1,f(3)=1,则f(-1)=-1,f(-3)=1,要使得-1≤f(x-2)≤1,即1≤|x-2|≤3,即1≤x-2≤3或-3≤x-2≤-1,解得-1≤x≤1或3≤x≤5,即不等式的解集为[-1,1]∪[3,5],故选D.(3)已知函数g(x)是R上的奇函数,且当x<0时,g(x)=-ln(1-x),函数f(x)3,x≤0,(x),x>0,解不等式f(6-x2)>f(x).解∵g(x)是奇函数,∴当x>0时,g(x)=-g(-x)=ln(1+x),易知f(x)在R上是增函数,由f(6-x2)>f(x),可得6-x2>x,即x2+x-6<0,∴-3<x<2.函数的性质函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质,在高考中常常将它们综合在一起命题,解题时,往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性,即实现区间的转换,再利用单调性解决相关问题.一、函数性质的判断例1(1)(2017·全国Ⅰ)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则()A.f(x)在(0,2)上单调递增B.f(x)在(0,2)上单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称答案C解析f(x)的定义域为(0,2).f(x)=ln x+ln(2-x)=ln[x(2-x)]=ln(-x2+2x).设u=-x2+2x,x∈(0,2),则u=-x2+2x在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减.又y=ln u在其定义域上单调递增,∴f(x)=ln(-x2+2x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减.∴选项A,B错误;∵f(x)=ln x+ln(2-x)=f(2-x),∴f(x)的图象关于直线x=1对称,∴选项C正确;∵f(2-x)+f(x)=[ln(2-x)+ln x]+[ln x+ln(2-x)]=2[ln x+ln(2-x)],不恒为0,∴f(x)的图象不关于点(1,0)对称,∴选项D错误.故选C.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(-x),且f(x)=f(x+6),当x∈[0,3]时,f(x)单调递增,则f(x)在下列哪个区间上单调递减()A.[3,7]B.[4,5]C.[5,8]D.[6,10]答案B解析依题意知,f(x)是偶函数,且是以6为周期的周期函数.因为当x∈[0,3]时,f(x)单调递增,所以f(x)在[-3,0]上单调递减.根据函数周期性知,函数f(x)在[3,6]上单调递减.又因为[4,5]⊆[3,6],所以函数f(x)在[4,5]上单调递减.(3)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+2)=0,且f(4-x)=f(x).现有以下三个命题:①8是函数f(x)的一个周期;②f(x)的图象关于直线x=2对称;③f(x)是偶函数.其中正确命题的序号是________.答案①②③解析由f(x)+f(x+2)=0可得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴函数f(x)的最小正周期是4,①对;由f(4-x)=f(x),可得f(2+x)=f(2-x),f(x)的图象关于直线x=2对称,②对;f(4-x)=f(-x)且f(4-x)=f(x),∴f(-x)=f(x),f(x)为偶函数,③对.二、函数性质的综合应用例2(1)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)等于()A.-50B.0C.2D.50答案C解析∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(1-x)=-f(x-1).∵f(1-x)=f(1+x),∴-f(x-1)=f(x+1),∴f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),∴函数f(x)是周期为4的周期函数.由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)=0,又∵f(1-x)=f(1+x),∴f(x)的图象关于直线x=1对称,∴f(2)=f(0)=0,∴f(-2)=0.又f(1)=2,∴f(-1)=-2,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(2)+f(-1)+f(0)=2+0-2+0=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(49)+f(50)=0×12+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2+0=2.故选C.(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x -4)=-f (x ),且在区间[0,2]上是增函数,则()A .f (-25)<f (11)<f (80)B .f (80)<f (11)<f (-25)C .f (11)<f (80)<f (-25)D .f (-25)<f (80)<f (11)答案D解析因为f (x )满足f (x -4)=-f (x ),所以f (x -8)=f (x ),所以函数f (x )是以8为周期的周期函数,则f (-25)=f (-1),f (80)=f (0),f (11)=f (3).由f (x )是定义在R 上的奇函数,且满足f (x -4)=-f (x ),得f (11)=f (3)=-f (-1)=f (1).因为f (x )在区间[0,2]上是增函数,f (x )在R 上是奇函数,所以f (x )在区间[-2,2]上是增函数,所以f (-1)<f (0)<f (1),即f (-25)<f (80)<f (11).(3)设偶函数f (x )满足f (x )=2x -4(x ≥0),则满足f (a -2)>0的实数a 的取值范围为__________.答案{a |a >4或a <0}解析∵偶函数f (x )满足f (x )=2x -4(x ≥0),∴函数f (x )在[0,+∞)上为增函数,f (2)=0,∴不等式f (a -2)>0等价于f (|a -2|)>f (2),即|a -2|>2,即a -2>2或a -2<-2,解得a >4或a <0.1.下列函数中,既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是()A .f (x )=xB .f (x )=1x 2C .f (x )=2x +2-xD .f (x )=-cos x答案B解析函数f (x )=1x2是偶函数,且在(1,2)内单调递减,符合题意.2.已知f (x )为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=2x +m ,则f (-2)等于()A .-3B .-54C.54D .3答案A 解析由f (x )为R 上的奇函数,知f (0)=0,即f (0)=20+m =0,解得m =-1,则f (-2)=-f (2)=-(22-1)=-3.3.已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是()①y =f (|x |);②y =f (-x );③y =xf (x );④y =f (x )+x .A .①③B .②③C .①④D .②④答案D解析由奇函数的定义f (-x )=-f (x )验证,①f (|-x |)=f (|x |),为偶函数;②f (-(-x ))=f (x )=-f (-x ),为奇函数;③-xf (-x )=-x ·[-f (x )]=xf (x ),为偶函数;④f (-x )+(-x )=-[f (x )+x ],为奇函数.可知②④正确,故选D.4.已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x <1时,f (x )=4x ,则f (1)等于()A .-2B .0C .2D .1答案A解析∵函数f (x )为定义在R 上的奇函数,且周期为2,∴f (1)=-f (-1)=-f (-1+2)=-f (1),∴f (1)=0,124=-2,∴f (1)=-2.5.(2018·惠州调研)已知定义域为R 的偶函数f (x )在(-∞,0]上是减函数,且f (1)=2,则不等式f (log 2x )>2的解集为()A .(2,+∞)(2,+∞)(2,+∞)D .(2,+∞)答案B解析f (x )是R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,所以f (x )在[0,+∞)上是增函数,所以f (log 2x )>2=f (1)⇔f (|log 2x |)>f (1)⇔|log 2x |>1⇔log 2x >1或log 2x <-1⇔x >2或0<x <12.6.(2018·海南联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,f (x )=f (12-x ),当x ∈[0,6]时,f (x )=log 6(x +1),若f (a )=1(a ∈[0,2020]),则a 的最大值是()A .2018B .2010C .2020D .2011答案D解析由函数f (x )是定义在R 上的偶函数,f (x )=f (12-x ),可得f (-x )=f (12+x ),即f (x )=f (12+x ),故函数的周期为12.令log 6(a +1)=1,解得a =5,∴在[0,12]上f (a )=1的根为5,7;又2020=12×168+4,∴a 的最大值在[2004,2016]上,即2004+7=2011.故选D.7.若f (x )=ln(e 3x +1)+ax 是偶函数,则a =________.答案-32解析函数f (x )=ln(e 3x +1)+ax 是偶函数,故f (-x )=f (x ),即ln(e-3x+1)-ax =ln(e 3x +1)+ax ,化简得ln 1+e 3x e 3x +e 6x =2ax =ln e 2ax,即1+e 3x e 3x +e 6x =e 2ax ,整理得e 3x +1=e 2ax +3x (e 3x +1),所以2ax +3x =0恒成立,所以a =-32.8.已知函数f (x )是奇函数,当x >0时,f (x )=ln x ,则f ________.答案-ln 2解析由已知可得ln 1e2=-2,所以f (-2).又因为f (x )是奇函数,所以f (-2)=-f (2)=-ln 2.9.奇函数f (x )在区间[3,6]上是增函数,且在区间[3,6]上的最大值为8,最小值为-1,则f (6)+f (-3)的值为________.答案9解析由于f (x )在[3,6]上为增函数,所以f (x )的最大值为f (6)=8,f (x )的最小值为f (3)=-1,因为f (x )为奇函数,所以f (-3)=-f (3)=1,所以f (6)+f (-3)=8+1=9.10.若函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是单调递增的.如果实数t 满足f (ln t )+2f (1),那么t 的取值范围是________.答案1e,e 解析由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数,所以f (ln t )=由f (ln t )+2f (1),得f (ln t )≤f (1).又函数f (x )在区间[0,+∞)上是单调递增的,所以|ln t |≤1,即-1≤ln t ≤1,故1e≤t ≤e.11.已知函数f (x )x 2+2x ,x >0,,x =0,2+mx ,x <0是奇函数.(1)求实数m 的值;(2)若函数f (x )在区间[-1,a -2]上单调递增,求实数a 的取值范围.解(1)设x <0,则-x >0,所以f (-x )=-(-x )2+2(-x )=-x 2-2x .又f (x )为奇函数,所以f (-x )=-f (x ),于是x <0时,f (x )=x 2+2x =x 2+mx ,所以m =2.(2)要使f (x )在[-1,a -2]上单调递增,结合f (x )的图象(如图所示)-2>-1,-2≤1,所以1<a ≤3,故实数a 的取值范围是(1,3].12.设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x ,恒有f (x +2)=-f (x ).当x ∈[0,2]时,f (x )=2x -x 2.(1)求证:f (x )是周期函数;(2)当x ∈[2,4]时,求f (x )的解析式.(1)证明∵f (x +2)=-f (x ),∴f (x +4)=-f (x +2)=f (x ).∴f (x )是周期为4的周期函数.(2)解∵x ∈[2,4],∴-x ∈[-4,-2],∴4-x ∈[0,2],∴f (4-x )=2(4-x )-(4-x )2=-x 2+6x -8.∵f (4-x )=f (-x )=-f (x ),∴-f (x )=-x 2+6x -8,即f (x )=x 2-6x +8,x ∈[2,4].13.若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0,f (x +2)=1f (x )对任意x ∈R 恒成立,则f (2023)=________.答案1解析因为f (x )>0,f (x +2)=1f (x ),所以f (x +4)=f [(x +2)+2]=1f (x +2)=11f (x )=f (x ),即函数f (x )的周期是4,所以f (2023)=f (506×4-1)=f (-1).因为函数f (x )为偶函数,所以f (2023)=f (-1)=f (1).当x =-1时,f (-1+2)=1f (-1),得f (1)=1f (1).由f (x )>0,得f (1)=1,所以f (2023)=f (1)=1.14.(2018·天津河西区模拟)设f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x ≥0时,f (x )=x 2+1,0≤x <1,-2x ,x ≥1,若对任意的x ∈[m ,m +1],不等式f (1-x )≤f (x +m )恒成立,则实数m的最大值是()A .-1B .-13C .-12D.13答案B解析易知函数f (x )在[0,+∞)上单调递减,又函数f (x )是定义在R 上的偶函数,所以函数f (x )在(-∞,0)上单调递增,则由f (1-x )≤f (x +m ),得|1-x |≥|x +m |,即(1-x )2≥(x +m )2,即g (x )=(2m +2)x +m 2-1≤0在x ∈[m ,m +1]上恒成立,当m =-1时,g (x )=0,符合要求,当m ≠-1(m )=(3m -1)(m +1)≤0,(m +1)=(m +1)(3m +1)≤0,解得-1<m ≤-13,所以-1≤m ≤-13,即m 的最大值为-13.15.已知函数f (x )=sin x +x ,对任意的m ∈[-2,2],f (mx -2)+f (x )<0恒成立,则x 的取值范围为______________________________.答案2解析易知f (x )在R 上为单调递增函数,且f (x )为奇函数,故f (mx -2)+f (x )<0等价于f (mx -2)<-f (x )=f (-x ),则mx -2<-x ,即mx +x -2<0对所有m ∈[-2,2]恒成立,令h (m )=mx +x -2,m ∈[-2,2](-2)<0,(2)<0即可,解得-2<x <23.16.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,f (x +1)是偶函数,当x ∈(2,4)时,f (x )=|x -3|,求f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+…+f (2020)的值.解因为f (x )为奇函数,f (x +1)为偶函数,所以f (x +1)=f (-x +1)=-f (x -1),所以f (x +2)=-f (x ),所以f (x +4)=-f (x +2)=f (x ),所以函数f(x)的周期为4,所以f(4)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1).在f(x+1)=f(-x+1)中,令x=1,可得f(2)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(2020)=0.。

第二章基本初等函数(I)复习课第一和二课时

第二章基本初等函数(I)复习课第一和二课时
人教版七年级上册Unit4 Where‘s my backpack?
超级记忆法-记忆 方法
TIP1:在使用场景记忆法时,我们可以多使用自己熟悉的场景(如日常自己的 卧 室、平时上课的教室等等),这样记忆起来更加轻松; TIP2:在场景中记忆时,可以适当采用一些顺序,比如上面例子中从上到下、 从 左到右、从远到近等顺序记忆会比杂乱无序乱记效果更好。
1
3x
2 .
例4.比较下列各组中两个值的大小:
1 log6 7, log7 6; 2 log3 , log2 0.8.
例5.设 f x 4x a 2x1 b, 当x=2时,f(x)有最小值10.
求a,b的值。
解: f x 4 x a 2 x1 b 2 x 2 2a 2 x b 2 x a 2 b a 2
质 (3)a>1 时,a 越大越靠近 y 轴,0<a<1 时,a 越小越靠近 y 轴,
(4)在 R 上是增函数
(4)在 R 上是减函数
11.对数的定义:如果 ab N( a 0且a 1),那么数 b 就叫做以 a 为底 的 N 的对数,记作 log a N b ,其中 N 0,b R 12.指数式与对数式的互化
若a≤0,则f(x)不存在最值。若a>0,由题
意可知,要取最小值,需 a 2 x a 4
此时,最小值为b a 2 b 16 10,b 26
综上:a=4,b=26
例6.设0<x<1,a>0且a≠1,比较 log a 1 x和log a 1 x
的大小。
解:
log
a
1
x
log
a
1
x
log
对数与对数函数
对数换底公式

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用2.1函数及其表示课

核按钮(新课标)高考数学一轮复习第二章函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用2.1函数及其表示课

A.都表示映射,都表示 y 是 x 的函数 C.仅④表示 y 是 x 的函数
B.仅③表示 y 是 x 的函数 D.都不能表示 y 是 x 的函数
解:根据映射的定义,①②③中,x 与 y 的对应关系都不是映 射,当然不是函数关系,④是映射,是函数关系.故选 C.
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(2015·甘肃模拟)已知
映射而言,A 和 B 不一定是数.集..
第七页,共50页。
7.复合函数 一般地,对于两个函数 y=f(u)和 u=g(x),如果通过变量 u,y 可以表示成 x 的函数,那么称这个函数为函数 y=f(u)和 u=g(x)的复 合函数,记作 y=f(g(x)),其中 y=f(u)叫做复合函数 y=f(g(x))的外 层函数,u=g(x)叫做 y=f(g(x))的内层函数.
第二十页,共50页。
解:对于 A,f(x)= x2=|x|,g(x)=3 x3=x,它们的值域和对 应关系都不同,所以不是同一函数;对于 B,函数 f(x)的定义域 为(-∞,0)∪(0,+∞),而 g(x)的定义域为 R,所以不是同一函 数;对于 C,当 n∈N*时,2n±1 为奇数,则 f(x)=2n+1 x2n+1= x,g(x)=(2n-1 x)2n-1=x,它们的定义域、对应关系都相同,所 以是同一函数;对于 D,f(x)的定义域为[0,+∞),而 g(x)的定义 域为(-∞,-1]∪[0,+∞),它们的定义域不同,所以不是同一 函数.故选 C.
第十五页,共50页。
(2013·南昌模拟)给出下列四个对应: ①A=R,B=R,对应关系 f:x→y,y=x+1 1;
| | ②A=a
21a∈N*,B=b
b=1n,n∈N*,对应关
系 f:a→b,b=1a;

高考数学(理)大一轮复习习题:第二章 函数的概念与基本初等函数ⅰ word版含答案

高考数学(理)大一轮复习习题:第二章 函数的概念与基本初等函数ⅰ word版含答案

第二章⎪⎪⎪函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示 突破点(一) 函数的定义域基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1.函数与映射的概念 函数映射两集合A ,B设A ,B 是两个非空的数集 设A ,B 是两个非空的集合 对应关系f :A →B如果按照某种确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称 称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y =f (x ),x ∈A对应f :A →B(1)函数的定义域、值域:在函数y =f (x ),x ∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域.显然,值域是集合B 的子集.(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.(3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”求给定解析式的函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y =x 0的定义域是{x |x ≠0}.(5)y =a x (a >0且a ≠1),y =sin x ,y =cos x 的定义域均为R. (6)y =log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0,+∞).(7)y =tan x 的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π+π2,k ∈Z .[例1] y =x -12x-log 2(4-x 2)的定义域是( ) A .(-2,0)∪(1,2) B .(-2,0]∪(1,2) C .(-2,0)∪[1,2)D .[-2,0]∪[1,2][解析] 要使函数有意义,必须⎩⎪⎨⎪⎧x -12x ≥0,x ≠0,4-x 2>0,∴x ∈(-2,0)∪[1,2).即函数的定义域是(-2,0)∪[1,2). [答案] C [易错提醒](1)不要对解析式进行化简变形,以免定义域发生变化.(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时,定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集.(3)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示,不能用“或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.求抽象函数的定义域对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ,b ],则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出;(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ,b ],则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ,b ]上的值域. [例2] 若函数y =f (x )的定义域是[0,2],则函数g (x )=f (2x )x -1的定义域为________.[解析] 由题意得,⎩⎪⎨⎪⎧x -1≠0,0≤2x ≤2,解得0≤x <1,即g (x )的定义域是[0,1).[答案] [0,1)[易错提醒]函数f [g (x )]的定义域指的是x 的取值范围,而不是g (x )的取值范围.已知函数定义域求参数[例3] 若函数f (x )=mx 2+mx +1的定义域为一切实数,则实数m 的取值范围是( )A .[0,4)B .(0,4)C .[4,+∞)D .[0,4][解析] 由题意可得mx 2+mx +1≥0恒成立. 当m =0时,1≥0恒成立;当m ≠0时,则⎩⎪⎨⎪⎧m >0,Δ=m 2-4m ≤0,解得0<m ≤4. 综上可得:0≤m ≤4. [答案] D[方法技巧]已知函数定义域求参数的思想方法已知函数的定义域,逆向求解函数中参数的取值,需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法.转化与化归的思想方法是通过某种转化过程,将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题,从而获解.基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1.[考点一]函数y =x ln(2-x )的定义域为( ) A .(0,2) B .[0,2) C .(0,1]D .[0,2]解析:选B 由题意知,x ≥0且2-x >0,解得0≤x <2,故其定义域是[0,2). 2.[考点一](2017·青岛模拟)函数y =1-x 22x 2-3x -2的定义域为( )A .(-∞,1]B .[-1,1]C .[1,2)∪(2,+∞)D.⎣⎡⎭⎫-1,-12∪⎝⎛⎦⎤-12,1 解析:选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1-x 2≥0,2x 2-3x -2≠0,解得⎩⎪⎨⎪⎧-1≤x ≤1,x ≠2且x ≠-12,即-1≤x ≤1且x ≠-12,所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫-1,-12∪⎝⎛⎦⎤-12,1.故选D. 3.[考点一]函数f (x )=1-|x -1|a x -1(a >0且a ≠1)的定义域为________.解析:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1-|x -1|≥0,a x -1≠0,解得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2,x ≠0,即0<x ≤2,故所求函数的定义域为(0,2].答案:(0,2]4.[考点二]已知函数y =f (x 2-1)的定义域为[-3, 3 ],则函数y =f (x )的定义域为________.解析:∵y =f (x 2-1)的定义域为[-3, 3 ],∴x ∈[-3, 3 ],x 2-1∈[-1,2],∴y =f (x )的定义域为[-1,2].答案:[-1,2]5.[考点三]若函数f (x )=ax 2+abx +b 的定义域为{x |1≤x ≤2},则a +b 的值为________.解析:函数f (x )的定义域是不等式ax 2+abx +b ≥0的解集.不等式ax 2+abx +b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2},所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0,1+2=-b ,1×2=b a ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-32,b =-3,所以a +b =-32-3=-92.答案:-92突破点(二) 函数的表示方法1.函数的表示方法函数的表示方法有三种,分别为解析法、列表法和图象法.同一个函数可以用不同的方法表示.2.应用三种方法表示函数的注意事项(1)解析法:一般情况下,必须注明函数的定义域;(2)列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征;(3)图象法:注意定义域对图象的影响.与x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点. 3.函数的三种表示方法的优缺点(2)求x与y的对应关系时需逐个计算,比较繁杂列表法能鲜明地显示自变量与函数值之间的数量关系只能列出部分自变量及其对应的函数值,难以反映函数变化的全貌图象法形象直观,能清晰地呈现函数的增减变化、点的对称关系、最大(小)值等性质作出的图象是近似的、局部的,且根据图象确定的函数值往往有误差考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求函数的解析式[典例](1)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为()A.y=12x3-12x2-xB.y=12x3+12x2-3xC.y=14x3-xD.y=14x3+12x2-2x(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).若当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x ≤0时,f (x )=________.(3)(2017·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0},满足3f (x )+5f ⎝⎛⎭⎫1x =3x +1,则函数f (x )的解析式为________.[解析] (1)设该函数解析式为f (x )=ax 3+bx 2+cx +d ,则f ′(x )=3ax 2+2bx +c , 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)=d =0,f (2)=8a +4b +2c +d =0,f ′(0)=c =-1,f ′(2)=12a +4b +c =3,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =12,b =-12,c =-1,d =0,∴f (x )=12x 3-12x 2-x .(2)∵-1≤x ≤0,∴0≤x +1≤1,∴f (x )=12f (x +1)=12(x +1)[1-(x +1)]=-12x (x +1).故当-1≤x ≤0时,f (x )=-12x (x+1).(3)用1x代替3f (x )+5f ⎝⎛⎭⎫1x =3x +1中的x ,得3f ⎝⎛⎭⎫1x +5f (x )=3x +1, ∴⎩⎨⎧3f (x )+5f ⎝⎛⎭⎫1x =3x +1, ①3f ⎝⎛⎭⎫1x +5f (x )=3x +1, ②①×3-②×5得f (x )=1516x -916x +18(x ≠0).[答案] (1)A (2)-12x (x +1) (3)f (x )=1516x -916x +18(x ≠0)[易错提醒]1.已知函数f (x )的定义域为(0,+∞),且f (x )=2f ⎝⎛⎭⎫1x x -1,则f (x )=________. 解析:在f (x )=2f ⎝⎛⎭⎫1x x -1中,用1x 代替x ,得f ⎝⎛⎭⎫1x =2f (x )1x -1,将f ⎝⎛⎭⎫1x =2f (x )1x -1代入f (x )=2f ⎝⎛⎭⎫1x x -1中,求得f (x )=23x +13(x >0).答案:23x +13(x >0) 2.函数f (x )满足2f (x )+f (-x )=2x ,则f (x )=________.解析:由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )+f (-x )=2x ,2f (-x )+f (x )=-2x ,解得f (x )=2x . 答案:2x3.已知f (x +1)=x +2x ,求f (x )的解析式. 解:设t =x +1,则x =(t -1)2,t ≥1,代入原式有 f (t )=(t -1)2+2(t -1)=t 2-2t +1+2t -2=t 2-1. 故f (x )=x 2-1,x ≥1.4.已知f (x )是二次函数,且f (0)=0,f (x +1)=f (x )+x +1,求f (x )的解析式. 解:设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 由f (0)=0,知c =0,f (x )=ax 2+bx , 又由f (x +1)=f (x )+x +1,得a (x +1)2+b (x +1)=ax 2+bx +x +1, 即ax 2+(2a +b )x +a +b =ax 2+(b +1)x +1,所以⎩⎪⎨⎪⎧2a +b =b +1,a +b =1,解得a =b =12.所以f (x )=12x 2+12x ,x ∈R.5.已知f ⎝⎛⎭⎫x +1x =x 2+1x 2,求f (x )的解析式. 解:由于f ⎝⎛⎭⎫x +1x =x 2+1x 2=⎝⎛⎭⎫x +1x 2-2, 所以f (x )=x 2-2,x ≥2或x ≤-2,故f (x )的解析式是f (x )=x 2-2,x ≥2或x ≤-2.突破点(三) 分段函数基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.2.分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集. 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”分段函数求值[例1] (1)设f (x )=⎩⎨⎧1-x ,x ≥0,2x ,x <0,则f (f (-2))=( )A .-1 B.14 C.12D.32(2)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ,x ≥4,f (x +1),x <4,则f (1+log 25)的值为( ) A.14 B.⎝⎛⎭⎫12错误!未找到引用源。

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.2第1课时指数函数的图象及性质课件新人教A版必修1

高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.2第1课时指数函数的图象及性质课件新人教A版必修1
由图象可知值域是(0,1],递增区间是(-∞,0],递减区间 是[0,+∞).
与指数函数有关的定义域、值域问题
求下列函数的定义域与值域:
(1)y=
;(2)y=23-|x|.
思路点拨:
指数函数y=axa>0, 且a≠1的定义域是R
―→
函数y=afxa>0,且a≠1 与fx的定义域相同
―→
值域
解:(1)由xx+ -11≥0,得 x≤-1 或 x>1.
已知指数函数f(x)的图象过点(3,8),则f(6)=________. 解析:设f(x)=ax(a>0,且a≠1). ∵函数f(x)的图象过点(3,8). ∴8=a3,∴a=2. ∴f(x)=2x. ∴f(6)=26=64. 答案:64
2.指数函数的图象和性质 a>1
图象图象
如图是指数函数:①y=ax,②y=bx,③y=cx,④ y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是( )
A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c
思路点拨:
解析:方法一:在①②中底数大于零且小于 1,在 y 轴右 边,底数越小,图象向下越靠近 x 轴,故有 b<a,在③④中底 数大于 1,在 y 轴右边,底数越大,图象向上越靠近 y 轴,故 有 d<c.故选 B.
1.指数函数的图象一定在x轴的上方.( ) 2.当a>1时,对于任意x∈R总有ax>1.( ) 3.函数f(x)=2-x在R上是增函数.( ) 答案:1.√ 2.× 3.×
指数函数的概念
函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,求a的值. 思路点拨: ax的系数为1 ―→ a为常数,a>0且a≠1 ―→ 不等式组 解:∵y=(a2-3a+3)ax 是指数函数, ∴aa>2-03且a+a≠3=1,1, 解得aa= >10或 且2a,≠1. ∴a=2.

高中数学《第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数习题2.1》462教案教学设计 一等奖名师公开课比赛优质课评比

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1教案教学课题:复习函数Y=Asin(ωx+φ)+k的图像【教学目标】(1)通过示图让学生对各函数图像有直观感受(2)引导学生观察各函数图像,引出它们之间的变化关系,各函数图像的位置、形状与字母A、ω、φ、k的关系。

【教学重点与难点】(1)各函数图像之间的变化关系(2)各函数图像的位置、形状与字母A、ω、φ、k的关系【课时安排】1课时【教学方法】问题-合作-探究【教学手段】多媒体教学【教学过程】一.引入内容在物理和工程技术的许多问题中,都要遇到形如Y=Asin(ωx+φ)的图像(其中A、ω、φ是常数)。

例如:物体作简谐振动时位移Y与时间X的关系;交流电中电流强度Y与时间X的关系等都可用这类函数表示。

从而有必要学习好Y=Asin(ωx+φ)+k这一类函数的图像。

主要解决好以下两个基本问题。

二.提出问题(先提出问题然后讲解,学生在听课时能抓住要点)1、如何由函数Y=sinx的图像经过变换得到函数Y=Asin(ωx+φ)+k的图像?2、函数Y=Asin(ωx+φ)+k的图像与字母A、ω、φ、k的关系是怎样的?2三.分析问题(引导学生将一个复杂的问题分解为若干个较为简单的问题逐个解决,进而解决整个问题)可以将上述问题分解为以下几个步骤进行:1.函数Y=Asinx与函数Y=sinx的图像关系如何?A的意义如何?2.函数Y=sinωx与函数Y=sinx的图像关系如何?ω的意义如何?3.函数Y=sin(x±φ)与函数Y=sinx的图像关系如何?φ的意义如何?4.函数Y=Asin(ωx+φ)与函数Y=sinx的图像关系如何?5.函数Y=Asin(ωx+φ)+k与函数Y=Asin(ωx+φ)的图像关系如何?k的意义如何?四.解决问题1、观察函数Y=2sinx及Y=1/2sinx的图像与Y=sinx的图像的关系。

打开演示文件“三角1”。

双击绿色“隐藏”先隐藏Y=1/2sinx的图像。

拉动线段a的一端点使其长为1,这样Y=Asinx与Y=sinx的图像重合,继续拉动使其逐渐变为2,这样Y=Asinx与Y=2sinx的图像重合。

高考数学知识点总结 第二章函数概念与基本初等函数

高考数学知识点总结 第二章函数概念与基本初等函数

第二章函数概念与基本初等函数知识点与方法1.函数解析式的求法主要有换元法和待定系数法等:利用函数的解析式研究问题时要特别注意分析自变量x与函数值y的关系,尤其要注意分段函数各段的自变量所对ƒ的解析式.已知函数解析式,计算有限个函数值的和.fl类问题一般都具有明显的规律,或者函数具有周期性,或者函数具有对称性(自变量具有某种关系,其函数值和fi定值).如£(x)=,求+的值(这$£(x)+£(1—x)=).².确定函数定义域的基本原则.(1)分式函数y=中,满足分母g(x)≠0.(²)偶次式y=(n∈N*)中,满足被开方式£(x)≥0.(3)对数函数y=log£(x)g(x)中,满足且£(x)≠1.(4)幂函数y=[£(x)]0中,满足£(x)≠0.(±)fl切函数y=tanx中,满足x≠kπ+(k∈Z).(6)在实际问题中考虑自变量的实际意义.3.函数值域(最值)的求法.(1)二次型函数——配方法.(²)©曲函数——均值н等式.(3)利用换元法转化fi二次型函数或©曲函数.(4)函数单调性法.(±)导数法.对于н等式恒成立、fl在性问题h要通过求函数最值的方法解决.4.判断函数单调性的方法.(1)定义法:一般地,设函数y=£(x)的定义域fiA,区间W⊆A,∀x1,x²∈W,(x1—x²)[£(x1)—£(x²)]>0⇔>0⇔£(x)在区间W L是增函数.若£(x)在区间W L fi增函数,x1, x²∈W,则有x1<x²⇔£(x1)<£(x²),减函数有类似结论.(注意:在涉þ到н等式的求解、证明等有关问题时可以考虑构造函数,利用函数单调性求解).(²)用已知函数单调性判断(下列函数都在¿共单调区间L): ķ增函数+增函数=增函数:ĸ减函数+减函数=减函数:③复合函数单调性:④奇(偶)函数在对称区间L的单调性相¼(相反).(3)借助图像判断函数单调性.(4)导数法:对可导函数£(x),x∈(a,b ),£′(x)≥0⇔£(x)在(a,b)L是增函数:£′(x)≤0⇔£(x)在(a,b)L 是减函数(其中导致导数fi0的点是孤立的).±.函数的奇偶性.(1)判定函数奇偶性的方法.函数具有奇偶性的必要条fl是定义域fi 关于原点对称的区间.判断函数奇偶性首先确定函数定义域.ķ定义法:∀x∈D£,£(x)±£(—x)=0: ĸ用已知函数奇偶性判定:(i)奇±奇=奇:偶±偶=偶:奇±偶=非奇非偶(非零函数): 奇×偶=奇:奇×奇=偶:偶×偶=偶.(ii)复合函数奇偶性,内偶则偶,两奇fi奇.③借助图像确定奇偶性.(²)奇偶函数的性质.ķ定义域含0的奇函数图像必过原点: ĸ奇函数若fl在最大(小)值,则它们的和fi0:③£(x)是偶函数,则有£(—x)=£(x)=£(|x|):④既奇又偶的函数的解析式必fi£(x)=0:⑤对于奇(偶)函数,已知y轴一侧的图像、解析式、单调性,能够确定y轴另一侧的图像、解析式、单调性.题目中出现x与—x的函数值问题,需考虑函数的奇偶性.(3)奇偶函数性质推广(对称性问题).已知函数£(x),x∈D.ķ满足£(a+x)=£(b—x)⇔£(x)关于直线x=对称, 特别地,£(—x)=£(x)⇔£(x)关于y轴(x=0)对称: ĸ满足£(a+x)=—£(b—x)⇔£(x)关于点,0 对称, 特别地,£(—x)=—£(x)⇔£(x)关于原点(0,0)中心对称:③函数y=£(x)与y=£(—x)的图像关于y轴对称:④函数y=£(x)与y=—£(x)的图像关于x轴对称:⑤函数y=£(a+x)与y=£(b—x)的图像关于x=对称. 6.函数的周期性.(1)定义:已知函数y=£(x),x∈D,若对任意x∈D,fl在非零fl 常数T,满足:ķ£(x+T)=£(x),周期fiT:ĸ£(x+T)=—£(x),周期fi²T:£(x+T)+£(x)=G,周期fi²T:③£(x+T)=±,周期fi²T:£(x+T)·£(x)=G(G≠0),周期FI²T:④£(x+T)=—£(x—T),周期fi4T:⑤£(x+T)+£(x—T)=£(x),周期fi6T.(²)对称性与周期性关系:若函数£(x)具有两个对称性(中心、轴)þ周期性三个性质中的两个,则必定具有第三个性质.例如:ķ若£(x)的图像关于直线x=a和x=b对称(a≠b),则£(x)是周期fi²|a—b|的周期函数.ĸ若£(x)的图像关于点(a,0)和(b,0)对称(a≠b),则£(x)是周期fi²|a—b|的周期函数.③若£(x)的图像关于直线x=aþ点(b,0)对称(a≠b),则£(x)是周期fi4|a—b|的周期函数.7.三个二次(一元二次方程、二次н等式、二次函数)间的问题可相互转化.如二次函数零点是相ƒ二次方程的,二次н等式的求解依赖于二次方程与二次函数的图像等.(1)一元二次方程.ķ判别式,求¿式, 与系数关系:ĸ的分布问题,要由判别式、对称轴、端点值三者确定.例如:(i)二次方程ax²+BX+G=0(A>0)两都大于k⇔(ii)一大于k,一小于k⇔£(k)<0.(²)二次函数的三种表现形式. y=ax²+bx+G=a(x—m)²+n=a (x—x1)(x—x²)(a≠0),其中(m,n)是顶点,x1,x²fi零点.对于限定区间L的二次函数最值要注意对称轴与区间的ƒ置关系.(3)一元二次н等式解法依赖于相ƒ方程与二次函数图像.(4)对于二次函数£(x)=ax²+bx+G,若£(x1 )=£(x²), x1≠x²,则x1+x²=—.8.关于幂、指数、对数函数问题.(1)幂函数£(x)=xα在第一象限的图像如图1—3所示,单调性fi:当α>0时,函数£(x)在(0,+∞)Lfi增函数:当α<0时,函数£(x)在(0,+∞)Lfi减函数.图1-3(²)指数与对数.a b=N⇔b=log a N(a>0,a≠1),a log a N=N,log a a b=b,=,log a m b n=log a b.(3)指数函数y=a x(a>0,a≠1)与对数函数y=log a x(a>0, a≠1).ķ互fi反函数: ĸ定义域、值域之间的关系fl好相反:③单调性:在各自定义域L,当0<a<1时,均fi减函数:当a>1 时,均fi增函数.(4)以各自的䘀算规则fi模型的抽象函数的表示法.ķ幂函数:£(xy)=£(x)£(y),£=(y≠0,£(y)≠0),£(1)=1:ĸ指数函数:£(x+y)=£(x)·£(y),£(x—y)=,£(0)=1:③对数函数:£(x y)=£(x)+£(y),£=£(x)—£(y),£(1)=0.(±)会画y=a|x|,y=log a|x|,y=|log a x|(a>0,a≠1)的图像.9.图像问题.(1)注意以下两个函数图像.ķ形如y=的函数能变fi形如y=n±的函数,其图像是关于点(m,n)对称的反比例函数图像:ĸ形如y=ax+ 的“©曲函数”,若ab>0,则fi“对勾函数”: 若ab<0,则fi单调函数.(²)图像变换.ķᒣ移变换:ĸ伸缩变换:③对称变换:函数y=£(—x)的图像与函数y=£(x)的图像关于y轴对称.函数y=—£(x)的图像与函数y=£(x)的图像关于x轴对称.函数y=—£(—x)的图像与函数y=£(x)的图像关于原点对称.④翻折变换:y=£(|x|)与y=£(x)之间的关系,y=£(x)与y=£(x)之间的关系.(3)研究问题方法.会由图像特征研究函数性质,能用性质描函数图像,养成用图像、性质分析思考问题,即数形结合思想解题的习惯.查漏补缺1. 函数是数集到数集的特殊映射,其对应法则必须满足自变量在定义域内的任意性,函数值的唯一性例8 已知集合A=(1,²,3,…,²3),求证:нfl在这fi的函数£:A→(1,²,3),使得对任意的整数x1,x²∈A,若|x1—x²|∈(1,²,3),则£(x1)≠£(x²).变式1 函数y=£(x)的图像与直线x=a(a∈R)的交点个数fi ().A.0B.1 C.0或 1 D.可多于12. 结合函数图像研究函数性质如图1—4所示,以函数fi核心,其核心内容包括函数的图像与性质,函数的图像包括基本初等函数的图像的作法þ图像变换,函数的性质主要包括函数的定义域、解析式、值域、奇偶性、单调性、周期性, 对称性þ特殊点.函数知识的外延主要体现在函数与方程(函数零点)þ函数与н等式的结合.而函数与方程(函数零点)þ函数与н等式问题可通过转化思想,利用函数图像与性质求解.图1-4例9 关于x的方程(x—a)(x—b)=²(a<b)的两实fiα, β,且α<β,试比较α,β,a,b的大小.变式1 已知函数£(x)=,若£(²—a²)>£(a),则实数a的ᒣ值范围是().(—1,²)A.(—∞,—1)∪(²,+∞) B.C.(—²,1)D.(—∞,—²)∪(1,+∞)3. 已知函数的解析式研究函数的性质给出函数的解析式,常常需要¼学们能够有意识地通过函数的解析式来研究函数的性质,如函数的奇偶性、单调性、周期性þ函数值的分布等,进而解决函数的有关问题.已知函数£(x)=x²—GOSX,对于L的任意x1 ,x²,有如下条fl:ķx1>x²:ĸ>:③|x1|>x²,其中能使£(x1 )>£(x²)恒成立的条fl序号是.4. 构造函数的解析式研究函数的性质看似与函数无关的问题,如果我们能够分析其本质特点,引入变量并根据其模型构造函数,利用函数性质求解.这才是函数的真正魅力例10 若α,β∈,且αsinα—βsinβ>0,则下列结论fl确的是().A.α>βB.α+β>0C.α<βD.α²>β²变式1 比较, ,ln 这三个实数的大小,并说明理由.变式2 比较, , 的大小.。

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§2.1函数及其表示1.函数函数两个集合A,B 设A,B是两个非空数集对应法则f:A→B 如果按某种对应法则f,使对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应名称称y=f (x),x∈A为从集合A到集合B的一个函数函数记法函数y=f (x),x∈A2.函数的三要素(1)定义域在函数y=f (x),x∈A中,x叫做自变量,所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f (x)的定义域.(2)值域对于A中的每一个x,都有一个输出值y与之对应.我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域.(3)对应法则f:A→B.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数. 概念方法微思考1.分段函数f (x )的对应法则用两个式子表示,那么f (x )是两个函数吗? 提示 分段函数是一个函数.2.请你概括一下求函数定义域的类型.提示 (1)分式型;(2)根式型;(3)指数式型、对数式型;(4)三角函数型. 3.请思考以下常见函数的值域: (1)y =kx +b (k ≠0)的值域是R . (2)y =ax 2+bx +c (a ≠0)的值域:当a >0时,值域为⎣⎡⎭⎫4ac -b 24a ,+∞;当a <0时,值域为⎝⎛⎦⎤-∞,4ac -b 24a .(3)y =kx(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}.(4)y =a x (a >0且a ≠1)的值域是(0,+∞). (5)y =log a x (a >0且a ≠1)的值域是R .题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若A =R ,B ={x |x >0},f :x →y =|x |,其对应是从A 到B 的函数.( × ) (2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数相等.( × ) (3)已知f (x )=5(x ∈R ),则f (x 2)=25.( × )(4)函数f (x )的图象与直线x =1最多有一个交点.( √ )题组二 教材改编2.以下属于函数的有________.(填序号)①y =±x ;②y 2=x -1;③y =x -2+1-x ;④y =x 2-2(x ∈N ). 答案 ④3.函数y =f (x )的图象如图所示,那么,f (x )的定义域是________;值域是________;其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________.答案 [-3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]题组三 易错自纠4.下列图形中可以表示以M ={x |0≤x ≤1}为定义域,N ={y |0≤y ≤1}为值域的函数的图象是( )答案 C解析 A 选项中的值域不满足,B 选项中的定义域不满足,D 选项不是函数的图象,由函数的定义可知选项C 正确.5.(多选)(2019·山东省济南市历城第二中学月考)下列各组函数是同一函数的是( ) A .f (x )=x 2-2x -1与g (s )=s 2-2s -1 B .f (x )=-x 3与g (x )=x -x C .f (x )=x x 与g (x )=1x 0D .f (x )=x 与g (x )=x 2 答案 AC6.函数y =x -2·x +2的定义域是________. 答案 [2,+∞)7.已知f (x )=x -1,则f (x )=____________. 答案 x 2-1(x ≥0)解析 令t =x ,则t ≥0,x =t 2,所以f (t )=t 2-1(t ≥0),即f (x )=x 2-1(x ≥0).8.(2019·湖北黄石一中模拟)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≤0,2x -1,x >0,则f (f (0))的值为________;方程f (-x )=1的解是________. 答案 1 0或-1解析 ∵f (0)=1,∴f (f (0))=f (1)=1.当-x ≤0时,f (-x )=-x +1=1,解得x =0;当-x >0时,f (-x )=2-x -1=1,解得x =-1.第1课时 函数的概念及表示法函数的概念1.下列各曲线表示的y 与x 之间的关系中,y 不是x 的函数的是( )答案 C2.(2019·武汉模拟)下列五组函数中,表示同一函数的是________.(填序号) ①f (x )=x -1与g (x )=x 2-1x +1;②f (x )=lg x 2与g (x )=2lg x ;③f (x )=x +2,x ∈R 与g (x )=x +2,x ∈Z ; ④f (u )=1+u1-u与f (v )=1+v1-v; ⑤y =f (x )与y =f (x +1). 答案 ④3.已知A ={x |x =n 2,n ∈N },给出下列关系式:①f (x )=x ;②f (x )=x 2;③f (x )=x 3;④f (x )=x 4;⑤f (x )=x 2+1,其中能够表示函数f :A →A 的是________.答案 ①②③④解析 对于⑤,当x =1时,x 2+1∉A ,故⑤错误,由函数定义可知①②③④均正确. 思维升华 (1)函数的定义要求第一个数集A 中的任何一个元素在第二个数集B 中有且只有一个元素与之对应,即可以“多对一”,不能“一对多”,而B 中有可能存在与A 中元素不对应的元素.(2)构成函数的三要素中,定义域和对应法则相同,则值域一定相同.求函数的解析式例1 求下列函数的解析式:(1)已知f (1-sin x )=cos 2x ,求f (x )的解析式; (2)已知f ⎝⎛⎭⎫x 2+1x 2=x 4+1x4,求f (x )的解析式; (3)已知f (x )是一次函数且3f (x +1)-2f (x -1)=2x +17,求f (x )的解析式; (4)定义在(-1,1)内的函数f (x )满足2f (x )-f (-x )=lg(x +1),求f (x )的解析式. 解 (1)(换元法)设1-sin x =t ,t ∈[0,2], 则sin x =1-t ,∵f (1-sin x )=cos 2x =1-sin 2x , ∴f (t )=1-(1-t )2=2t -t 2,t ∈[0,2]. 即f (x )=2x -x 2,x ∈[0,2].(2)(配凑法)∵f ⎝⎛⎭⎫x 2+1x 2=⎝⎛⎭⎫x 2+1x 22-2, ∴f (x )=x 2-2,x ∈[2,+∞). (3)(待定系数法)因为f (x )是一次函数, 可设f (x )=ax +b (a ≠0),∴3[a (x +1)+b ]-2[a (x -1)+b ]=2x +17. 即ax +(5a +b )=2x +17,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a =2,5a +b =17,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =7.∴f (x )的解析式是f (x )=2x +7.(4)(消去法)当x ∈(-1,1)时,有2f (x )-f (-x )=lg(x +1).① 以-x 代替x 得,2f (-x )-f (x )=lg(-x +1).② 由①②消去f (-x )得,f (x )=23lg(x +1)+13lg(1-x ),x ∈(-1,1).思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法.(2)换元法:已知复合函数f (g (x ))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围. (3)配凑法:由已知条件f (g (x ))=F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),便得f (x )的解析式.(4)消去法:已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (-x )之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f (x ).跟踪训练1 (1)(2020·济南月考)若f ⎝⎛⎭⎫1x =x 1-x ,则当x ≠0,且x ≠1时,f (x )等于( ) A.1x B.1x -1 C.11-x D.1x -1 答案 B解析 f (x )=1x1-1x=1x -1(x ≠0且x ≠1).(2)已知f (x )是二次函数且f (0)=2,f (x +1)-f (x )=x -1,则f (x )=________. 答案 12x 2-32x +2解析 设f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0), 由f (0)=2,得c =2,f (x +1)-f (x )=a (x +1)2+b (x +1)+2-ax 2-bx -2=x -1,即2ax +a +b =x -1,∴⎩⎪⎨⎪⎧2a =1,a +b =-1,即⎩⎨⎧a =12,b =-32.∴f (x )=12x 2-32x +2.(3)已知f (x )满足2f (x )+f ⎝⎛⎭⎫1x =3x -1,求f (x ). 解 已知2f (x )+f ⎝⎛⎭⎫1x =3x -1,① 以1x 代替①中的x (x ≠0),得 2f ⎝⎛⎭⎫1x +f (x )=3x-1,② ①×2-②,得3f (x )=6x -3x -1,故f (x )=2x -1x -13(x ≠0).分段函数命题点1 求分段函数的函数值例2 (1)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x +1,x <2,x 2+ax ,x ≥2,若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23=-6,则实数a 的值为________,f (2)=________. 答案 -5 -6解析 由题意得,f ⎝⎛⎭⎫23=3·23+1=3, 所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫23=f (3)=9+3a =-6, 所以a =-5,f (2)=4-5×2=-6.(2)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧cos πx 2,x ≤0,f (x -1)+1,x >0,则f (2)=________.答案 3解析 f (2)=f (1)+1=f (0)+2=cos ⎝⎛⎭⎫π2×0+2=1+2=3.命题点2 分段函数与方程、不等式问题例3 设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x ,x ≤0,|log 2x |,x >0,则使f (x )=12的x 的集合为__________.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,2,22 解析 由题意知,若x ≤0,则2x =12,解得x =-1;若x >0,则|log 2x |=12,解得x =122 或x =122-.故所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,2,22. 本例中,则使f (x )>12的x 的集合为________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪-1<x <22或x >2 解析 当x ≤0时,由2x >12得-1<x ≤0;当x >0时,由|log 2x |>12得0<x <22或x > 2.综上,所求x 的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪-1<x <22或x >2. 思维升华 (1)分段函数的求值问题的解题思路①求函数值:当出现f (f (a ))的形式时,应从内到外依次求值.②求自变量的值:先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验.(2)分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解,最后将讨论结果并起来. 跟踪训练2 (1)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +1,x ≥0,12x ,x <0,则f (f (-1))=________.答案 3解析 ∵f (-1)=12-1=2,∴f (f (-1))=f (2)=3.(2)(2018·全国Ⅰ改编)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x ,x ≤0,1,x >0,则满足f (x +1)<f (2x )的x 的取值范围是________. 答案 (-∞,0)解析 方法一 ①当⎩⎪⎨⎪⎧x +1≤0,2x ≤0,即x ≤-1时,f (x +1)<f (2x )即为2-(x +1)<2-2x ,即-(x +1)<-2x , 解得x <1.因此不等式的解集为(-∞,-1].②当⎩⎨⎧x +1≤0,2x >0时,不等式组无解.③当⎩⎪⎨⎪⎧ x +1>0,2x ≤0,即-1<x ≤0时,f (x +1)<f (2x )即1<2-2x ,解得x <0.因此不等式的解集为(-1,0).④当⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,2x >0,即x >0时,f (x +1)=1,f (2x )=1,不合题意.综上,不等式f (x +1)<f (2x )的解集为(-∞,0).方法二 ∵f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x,x ≤0,1,x >0,∴函数f (x )的图象如图所示.由图可知,当x +1≤0且2x ≤0时,函数f (x )为减函数,故f (x +1)<f (2x )转化为x +1>2x .此时x≤-1.当2x<0且x+1>0时,f(2x)>1,f (x+1)=1,满足f (x+1)<f (2x).此时-1<x<0.综上,不等式f (x+1)<f (2x)的解集为(-∞,-1]∪(-1,0)=(-∞,0).1.下列集合A到集合B的对应f是函数的是()A.A={-1,0,1},B{-1,0,1},f:A中的数的平方B.A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数求平方根C.A=Z,B=Q,f:A中的数取倒数D.A=R,B={正实数},f:A中的数取绝对值答案 A解析选项B中A中元素出现一对多的情况;选项C,D中均出现元素0无对应元素的情况.2.下列图象中不能作为函数图象的是()答案 B解析B项中的图象与垂直于x轴的直线可能有两个交点,显然不满足函数的定义,故选B.3.已知f ⎝⎛⎭⎫12x -1=2x -5,且f (a )=6,则a 等于( )A .-74 B.74 C.43 D .-43答案 B解析 令t =12x -1,则x =2t +2, 所以f (t )=2(2t +2)-5=4t -1,所以f (a )=4a -1=6,即a =74. 4.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +1,x ≤0,1-log 2x ,x >0,则f (f (3))等于( ) A.43 B.23 C .-43D .-3 答案 A解析 因为f (3)=1-log 23=log 223<0, 所以f (f (3))=f ⎝⎛⎭⎫log 223=22log 132+=432log 2=43. 5.(2019·衡水调研)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +1,x ≥0,3x 2,x <0,且f (x 0)=3,则实数x 0的值为( ) A .-1 B .1 C .-1或1 D .-1或-13答案 C解析 由条件可知,当x 0≥0时,f (x 0)=2x 0+1=3,所以x 0=1;当x 0<0时,f (x 0)=3x 20=3,所以x 0=-1.所以实数x 0的值为-1或1.6.如图,△AOD 是一直角边长为1的等腰直角三角形,平面图形OBD 是四分之一圆的扇形,点P 在线段AB 上,PQ ⊥AB ,且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ,设AP =x (0<x <2),图中阴影部分表示的平面图形APQ (或APQD )的面积为y ,则函数y =f (x )的大致图象是( )答案 A解析 观察可知阴影部分的面积y 的变化情况为:(1)当0<x ≤1时,y 随x 的增大而增大,而且增加的速度越来越快.(2)当1<x <2时,y 随x 的增大而增大,而且增加的速度越来越慢.分析四个答案中的图象,只有选项A 符合条件.7.(多选)下列四组函数中,f (x )与g (x )相等的是( )A .f (x )=ln x 2,g (x )=2ln xB .f (x )=x ,g (x )=(x )2C .f (x )=x ,g (x )=3x 3D .f (x )=x ,g (x )=log a a x (a >0且a ≠1)答案 CD解析 对于选项A ,f (x )的定义域为{x |x ≠0},g (x )的定义域为{x |x >0},两个函数的定义域不相同,不是相等函数;对于选项B ,f (x )的定义域为R ,g (x )的定义域为{x |x ≥0},两个函数的定义域不相同,不是相等函数;对于选项C ,g (x )=3x 3=x ,两函数的定义域和对应法则相同,是相等函数;对于选项D ,g (x )=log a a x =x ,x ∈R ,两个函数的定义域和对应法则相同,是相等函数.8.(多选)函数f (x )=x 1+x 2,x ∈(-∞,0)∪(0,+∞),则下列等式成立的是( ) A .f (x )=f ⎝⎛⎭⎫1x B .-f (x )=f ⎝⎛⎭⎫1xC.1f (x )=f ⎝⎛⎭⎫1x D .f (-x )=-f (x )答案 AD解析 根据题意得f (x )=x 1+x 2, 所以f ⎝⎛⎭⎫1x =1x 1+⎝⎛⎭⎫1x 2=x 1+x 2, 所以f (x )=f ⎝⎛⎭⎫1x ;f (-x )=-x 1+(-x )2=-x 1+x 2=-f (x ), 所以f (-x )=-f (x ).9.已知函数f (x )的定义域为(0,+∞),且f (x )=3x ·f ⎝⎛⎭⎫1x +1,则f (x )=______________.答案 -38x -18(x >0) 解析 在f (x )=3x ·f ⎝⎛⎭⎫1x +1中,将x 换成1x ,则1x换成x ,得f ⎝⎛⎭⎫1x =31x ·f (x )+1,将该方程代入已知方程消去f ⎝⎛⎭⎫1x ,得f (x )=-38x -18(x >0). 10.(2020·福州质检)函数 f (x )满足 f (x +4)=f (x )(x ∈R ),且在区间(-2,2]上,f (x )=⎩⎨⎧ cos πx 2,0<x ≤2,⎪⎪⎪⎪x +12,-2<x ≤0,则 f (f (15))的值为________.答案 22 解析 由函数f (x )满足f (x +4)=f (x )(x ∈R ),可知函数f (x )的周期是4,所以f (15)=f (-1)=⎪⎪⎪⎪-1+12=12,所以f (f (15))=f ⎝⎛⎭⎫12=cos π4=22. 11.若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )-f (-x )=3x +1,则f (1)=________.答案 2解析 令x =1,得2f (1)-f (-1)=4,①令x =-1,得2f (-1)-f (1)=-2,②联立①②得,f (1)=2.12.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3+log 2x ,x >0,x 2-x -1,x ≤0,则不等式f (x )≤5的解集为________. 答案 [-2,4]解析 由于f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3+log 2x ,x >0,x 2-x -1,x ≤0,当x >0时,令3+log 2x ≤5,即log 2x ≤2=log 24,解得0<x ≤4;当x ≤0时,令x 2-x -1≤5,即(x -3)(x +2)≤0,解得-2≤x ≤3,∴-2≤x ≤0.∴不等式f (x )≤5的解集为[-2,4].13.(2019·湖北宜昌一中模拟)设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x -b ,x <1,2x ,x ≥1.若f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫56=4,则b 等于( ) A .1 B.78 C.34 D.12答案 D解析 f ⎝⎛⎭⎫56=3×56-b =52-b , 当52-b ≥1,即b ≤32时,f ⎝⎛⎭⎫52-b =5-22b , 即5-22b =4=22,得到52-b =2,即b =12; 当52-b <1,即b >32时,f ⎝⎛⎭⎫52-b =152-3b -b =152-4b , 即152-4b =4,得到b =78<32,舍去. 综上,b =12,故选D. 14.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-2x ,x <0,x 2-2x ,x ≥0,若f (f (-2))>f (t ),则实数t 的取值范围是____________. 答案 (-4,4)解析 f (-2)=4,f (4)=8,不等式f (f (-2))>f (t )可化为f (t )<8.当t <0时,-2t <8,得-4<t <0;当t ≥0时,t 2-2t <8,即(t -1)2<9,得0≤t <4.综上所述,t 的取值范围是(-4,4).15.已知具有性质:f ⎝⎛⎭⎫1x =-f (x )的函数,我们称f (x )为满足“倒负”变换的函数,下列函数: ①f (x )=x -1x ;②f (x )=x +1x; ③f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ x ,0<x <1,0,x =1,-1x ,x >1.其中满足“倒负”变换的函数是____________.(填序号)答案 ①③解析 对于①,f (x )=x -1x,f ⎝⎛⎭⎫1x =1x -x =-f (x ),满足;对于②,f ⎝⎛⎭⎫1x =1x +x =f (x ),不满足;对于③,f ⎝⎛⎭⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ,0<1x <1,0,1x =1,-x ,1x>1, 即f ⎝⎛⎭⎫1x =⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ,x >1,0,x =1,-x ,0<x <1,故f ⎝⎛⎭⎫1x =-f (x ),满足.综上,满足“倒负”变换的函数是①③.16.根据统计,一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为f (x )=⎩⎨⎧ c x ,x <A ,c A ,x ≥A (A ,c 为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,则c =________,A =________.答案 60 16解析 因为组装第A 件产品用时15分钟, 所以c A=15,① 所以必有4<A ,且c 4=c 2=30,② 联立①②解得c =60,A =16.第2课时 函数的定义域与值域函数的定义域 求下列函数的定义域:(1)y =12-|x |+x 2-1; (2)y =25-x 2+lg cos x ;(3)y =x -12x-log 2(4-x 2); (4)y =1log 0.5(x -2)+(2x -5)0. 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 2-|x |≠0,x 2-1≥0,得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠±2,x ≤-1或x ≥1.所以函数的定义域为{x |x ≤-1或x ≥1且x ≠±2}. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 25-x 2≥0,cos x >0,得⎩⎪⎨⎪⎧-5≤x ≤5,2k π-π2<x <2k π+π2(k ∈Z ). 所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫-5,-32π∪⎝⎛⎭⎫-π2,π2∪⎝⎛⎦⎤3π2,5. (3)要使函数有意义,必须⎩⎨⎧x -12x ≥0,x ≠0,4-x 2>0,解得-2<x <0或1≤x <2,∴函数的定义域为(-2,0)∪[1,2).(4)由⎩⎪⎨⎪⎧ log 0.5(x -2)>0,2x -5≠0得⎩⎪⎨⎪⎧2<x <3,x ≠52, ∴函数的定义域为⎝⎛⎭⎫2,52∪⎝⎛⎭⎫52,3. 思维升华 (1)给定函数的解析式,求函数的定义域的依据是使解析式有意义,如分式的分母不等于零,偶次根式的被开方数为非负数,零指数幂的底数不为零,对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义域等.(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题.在解不等式组时要细心,取交集时可借助数轴,并且要注意端点值或边界值.函数的值域例1 (2019·长沙月考)求下列函数的值域:(1)y =x 2-2x +3,x ∈[0,3);(2)y =2x +1x -3; (3)y =2x -x -1;(4)y =x +1+x -1.解 (1)(配方法)y =x 2-2x +3=(x -1)2+2,由x ∈[0,3),再结合函数的图象(如图①所示),可得函数的值域为[2,6).(2)(分离常数法)y =2x +1x -3=2(x -3)+7x -3=2+7x -3,显然7x -3≠0,∴y ≠2. 故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞).(3)(换元法)设t =x -1,则x =t 2+1,且t ≥0,∴y =2(t 2+1)-t =2⎝⎛⎭⎫t -142+158, 由t ≥0,再结合函数的图象(如图②所示),可得函数的值域为⎣⎡⎭⎫158,+∞. (4)函数的定义域为[1,+∞),∵y =x +1与y =x -1在[1,+∞)上均为增函数, ∴y =x +1+x -1在[1,+∞)上为单调递增函数,∴当x =1时,y min =2,即函数的值域为[2,+∞).结合本例(4)求函数y =x +1-x -1的值域. 解 函数的定义域为[1,+∞),y =x +1-x -1=2x +1+x -1, 由本例(4)知函数y =x +1+x -1的值域为[2,+∞), ∴0<1x +1+x -1≤22, ∴0<2x +1+x -1≤2,∴函数的值域为(0,2].思维升华 求函数值域的一般方法(1)分离常数法;(2)反解法;(3)配方法;(4)不等式法;(5)单调性法;(6)换元法;(7)数形结合法;(8)导数法.跟踪训练1 求下列函数的值域:(1)y =1-x 21+x 2; (2)y =x +41-x ;(3)y =2x 2-x +12x -1⎝⎛⎭⎫x >12. 解 (1)方法一 y =1-x 21+x 2=-1+21+x 2, 因为x 2≥0,所以x 2+1≥1,所以0<21+x 2≤2. 所以-1<-1+21+x 2≤1. 即函数的值域为(-1,1].方法二 由y =1-x 21+x 2,得x 2=1-y 1+y. 因为x 2≥0,所以1-y 1+y≥0. 所以-1<y ≤1,即函数的值域为(-1,1].(2)设t =1-x ,t ≥0,则x =1-t 2,所以原函数可化为y =1-t 2+4t =-(t -2)2+5(t ≥0),所以y ≤5,所以原函数的值域为(-∞,5].(3)y =2x 2-x +12x -1=x (2x -1)+12x -1=x +12x -1=x -12+12x -12+12, 因为x >12,所以x -12>0, 所以x -12+12x -12≥2⎝⎛⎭⎫x -12·12⎝⎛⎭⎫x -12=2,当且仅当x -12=12x -12,即x =1+22时取等号. 所以y ≥2+12,即原函数的值域为⎣⎡⎭⎫2+12,+∞. 定义域与值域的应用例2 (1)(2020·广州模拟)若函数f (x )=ax 2+abx +b 的定义域为{x |1≤x ≤2},则a +b 的值为________.答案 -92解析 函数f (x )的定义域是不等式ax 2+abx +b ≥0的解集.不等式ax 2+abx +b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2},所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <0,a +ab +b =0,4a +2ab +b =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-32,b =-3, 所以a +b =-32-3=-92. (2)已知函数y =x 2+ax -1+2a 的值域为[0,+∞),求a 的取值范围.解 令t =g (x )=x 2+ax -1+2a ,要使函数y =t 的值域为[0,+∞),则说明[0,+∞)⊆{y |y =g (x )},即二次函数的判别式Δ≥0,即a 2-4(2a -1)≥0,即a 2-8a +4≥0,解得a ≥4+23或a ≤4-23,∴a 的取值范围是{a |a ≥4+23或a ≤4-23}.思维升华 已知函数的定义域、值域求参数问题.可通过分析函数解析式的结构特征,结合函数的图象、性质、转化为含参数的方程、不等式(组),然后求解.跟踪训练2 (1)若函数f (x )=ax -2 021在[2 021,+∞)上有意义,则实数a 的取值范围为________.答案 [1,+∞)解析 由于函数f (x )=ax -2 021在[2 021,+∞)上有意义,即ax -2 021≥0在[2 021,+∞)上恒成立,即a ≥2 021x 在[2 021,+∞)上恒成立,而0<2 021x≤1,故a ≥1.(2)已知函数f (x )=12(x -1)2+1的定义域与值域都是[1,b ](b >1),则实数b =________. 答案 3解析 f (x )=12(x -1)2+1,x ∈[1,b ]且b >1, 则f (1)=1,f (b )=12(b -1)2+1, ∵f (x )在[1,b ]上为增函数,∴函数值域为⎣⎡⎦⎤1,12(b -1)2+1. 由已知得12(b -1)2+1=b ,解得b =3或b =1(舍).我们把不给出具体解析式,只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数,一般用y =f (x )表示,抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质,将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身,是考查函数的良好载体.一、抽象函数的函数值例1 (1)设函数y =f (x )的定义域为(0,+∞),f (xy )=f (x )+f (y ),若f (8)=3,则 f (2)=________.答案 12解析 因为f (8)=3,所以f (2×4)=f (2)+f (4)=f (2)+f (2×2)=f (2)+f (2)+f (2)=3f (2)=3,所以f (2)=1.因为f (2)=f (2×2)=f (2)+f (2)=2f (2),所以2f (2)=1,所以f (2)=12. (2)设函数f (x )的定义域为R ,对于任意实数x 1,x 2,都有f (x 1)+f (x 2)=2f ⎝⎛⎭⎫x 1+x 22·f ⎝⎛⎭⎫x 1-x 22,f (π)=-1,则f (0)=________.答案 1解析 令x 1=x 2=π,则f (π)+f (π)=2f (π)f (0),∴f (0)=1.二、抽象函数的定义域例2 (1)(2019·皖南八校模拟)已知函数f (x )=ln(-x -x 2),则函数f (2x +1)的定义域为________.答案 ⎝⎛⎭⎫-1,-12 解析 由题意知,-x -x 2>0,∴-1<x <0,即f (x )的定义域为(-1,0).∴-1<2x +1<0,则-1<x <-12. (2)若函数f (2x )的定义域是[-1,1],则f (log 2x )的定义域为________.答案 [2,4]解析 对于函数y =f (2x ),-1≤x ≤1,∴2-1≤2x ≤2.则对于函数y =f (log 2x ),2-1≤log 2x ≤2,∴2≤x ≤4.故y =f (log 2x )的定义域为[2,4].1.函数f (x )=1(log 2x )2-1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0,12 B .(2,+∞) C.⎝⎛⎭⎫0,12∪(2,+∞) D.⎝⎛⎦⎤0,12∪[2,+∞) 答案 C 解析 由题意可知x 满足(log 2x )2-1>0,即log 2x >1或log 2x <-1,解得x >2或0<x <12,故所求函数的定义域是⎝⎛⎭⎫0,12∪(2,+∞). 2.下列函数中,与函数y =13x 定义域相同的函数为( ) A .y =1sin xB .y =ln x xC .y =x e xD .y =sin x x 答案 D解析 因为y =13x 的定义域为{x |x ≠0},而y =1sin x 的定义域为{x |x ≠k π,k ∈Z },y =ln x x的定义域为{x |x >0},y =x e x 的定义域为R ,y =sin x x的定义域为{x |x ≠0},故D 正确. 3.函数y =x -1+1的值域为( )A .(0,+∞)B .(1,+∞)C .[0,+∞)D .[1,+∞) 答案 D解析 函数y =x -1+1,定义域为[1,+∞),根据幂函数性质可知,该函数为增函数,当x =1时,该函数取得最小值1,故函数y =x -1+1的值域为[1,+∞). 4.(2019·衡水中学调研)函数f (x )=-x 2-3x +4lg (x +1)的定义域为( ) A .(-1,0)∪(0,1]B .(-1,1]C .(-4,-1)D .(-4,0)∪(0,1]答案 A 解析 要使函数f (x )有意义,应有⎩⎪⎨⎪⎧ -x 2-3x +4≥0,x +1>0,x +1≠1,解得-1<x <0或0<x ≤1,故选A.5.函数y =1+x -1-2x 的值域为( )A.⎝⎛⎭⎫-∞,32 B.⎝⎛⎦⎤-∞,32 C.⎝⎛⎭⎫32,+∞ D.⎣⎡⎭⎫32,+∞ 答案 B解析 设1-2x =t ,则t ≥0,x =1-t 22,所以y =1+1-t 22-t =12(-t 2-2t +3)=-12(t +1)2+2,因为t ≥0,所以y ≤32.所以函数y =1+x -1-2x 的值域为⎝⎛⎦⎤-∞,32,故选B. 6.(2019·佛山模拟)函数f (x )=3x3x +2x的值域为( ) A .[1,+∞)B .(1,+∞)C .(0,1]D .(0,1) 答案 D解析 f (x )=3x 3x +2x =11+⎝⎛⎭⎫23x ,∵⎝⎛⎭⎫23x >0,∴1+⎝⎛⎭⎫23x >1,∴0<11+⎝⎛⎭⎫23x <1. 7.(多选)下列函数中值域为R 的有( )A .f (x )=3x -1B .f (x )=lg(x 2-2)C .f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,0≤x ≤22x ,x >2 D .f (x )=x 3-1答案 ABD解析 A 项,f (x )=3x -1为增函数,函数的值域为R ,满足条件;B 项,由x 2-2>0得x >2或x <-2,此时f (x )=lg(x 2-2)的值域为R ,满足条件;C 项,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,0≤x ≤2,2x ,x >2,当x >2时,f (x )=2x >4, 当0≤x ≤2时,f (x )=x 2∈[0,4],所以f (x )≥0,即函数的值域为[0,+∞),不满足条件;D 项,f (x )=x 3-1是增函数,函数的值域为R ,满足条件.8.(多选)若函数y =x 2-4x -4的定义域为[0,m ],值域为[-8,-4],则实数m 的值可能为( )A .2B .3C .4D .5答案 ABC解析 函数y =x 2-4x -4的对称轴方程为x =2,当0≤m ≤2时,函数在[0,m ]上单调递减,x =0时,取最大值-4,x =m 时,有最小值m 2-4m -4=-8,解得m =2.则当m >2时,最小值为-8,而f (0)=-4,由对称性可知,m ≤4.∴实数m 的值可能为2,3,4.9.(2019·江苏)函数y =7+6x -x 2的定义域是________.答案 [-1,7]解析 要使函数有意义,则7+6x -x 2≥0,解得-1≤x ≤7,则函数的定义域是[-1,7].10.函数f (x )=3x +2x,x ∈[1,2]的值域为________. 答案 [5,7]解析 令g (x )=3x +2x=3⎝⎛⎭⎫x +23x ,x >0, 易证g (x )在⎣⎡⎭⎫23,+∞上是增函数, ∴f (x )在[1,2]上为增函数,从而得f (x )的值域为[5,7].11.(2020·石家庄模拟)若函数 f (x )=x -2+2x ,则 f (x )的定义域是________,值域是________.答案 [2,+∞) [4,+∞)解析 x -2≥0⇒x ≥2,所以函数f (x )的定义域是[2,+∞);因为函数y =x -2,y =2x 都是[2,+∞)上的单调递增函数,故函数f (x )=x -2+2x 也是[2,+∞)上的单调递增函数,所以函数f (x )的最小值为f (x )min =f (2)=4,故函数f (x )=x -2+2x 的值域为[4,+∞).12.函数y =x 2+2x +3x -1(x >1)的值域为________. 答案 [26+4,+∞)解析 令x -1=t >0,∴x =t +1.∴y =(t +1)2+2(t +1)+3t =t 2+4t +6t =t +6t+4 ≥2 6+4,当且仅当t =6t即t =6时等号成立. ∴函数的值域为[26+4,+∞).13.若函数y =f (x )的定义域为[0,2],则函数g (x )=f (2x )x -1的定义域是( ) A .[0,1)B .[0,1]C .[0,1)∪(1,4]D .(0,1)答案 A 解析 函数y =f (x )的定义域是[0,2],要使函数g (x )有意义,可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2,x -1≠0,解得0≤x <1,故选A.14.定义新运算“★”:当m ≥n 时,m ★n =m ;当m <n 时,m ★n =n 2.设函数f (x )=(2★x )x -(4★x ),x ∈[1,4],则函数f (x )的值域为____________.答案 [-2,0]∪(4,60]解析 由题意知,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -4,x ∈[1,2],x 3-4,x ∈(2,4],当x ∈[1,2]时,f (x )∈[-2,0];当x ∈(2,4]时,f (x )∈(4,60],故当x ∈[1,4]时,f (x )∈[-2,0]∪(4,60].15.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ -x 2+2x ,0≤x ≤5,1-⎝⎛⎭⎫14x ,a ≤x <0的值域为[-15,1],则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,-2]B .[-2,0)C .[-2,-1]D .{-2} 答案 B解析 当0≤x ≤5时,f (x )=-x 2+2x =-(x -1)2+1,所以-15≤f (x )≤1;当a ≤x <0时,f (x )=1-⎝⎛⎭⎫14x 为增函数,所以1-⎝⎛⎭⎫14a ≤f (x )<0,因为f (x )的值域为[-15,1],所以⎩⎪⎨⎪⎧1-⎝⎛⎭⎫14a ≥-15,a <0,故-2≤a <0,故选B. 16.(多选)若一系列函数的解析式和值域相同,但定义域不相同,则称这些函数为“同值函数”,例如函数y =x 2,x ∈[1,2]与函数y =x 2,x ∈[-2,-1]即为“同值函数”,给出下面四个函数,其中能够被用来构造“同值函数”的是( )A .y =[x ]([x ]表示不超过x 的最大整数,例如[0.1]=0)B .y =x +x +1C .y =1x-log 3x D .y =⎪⎪⎪⎪x +1x +1答案 AD解析 根据题意,“同值函数”需满足:对于同一函数值,有不同的自变量与其对应. 因此,能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调.对于选项A ,y =[x ],定义域为R ,在定义域内不是单调函数,有不同的自变量对应同一函数值,故A 可以构造“同值函数”;对于选项B ,y =x +x +1,为定义在[-1,+∞)上的单调增函数,故B 不可以构造“同值函数”;对于选项C ,y =1x -log 3x ,为定义在(0,+∞)上的单调减函数,故C 不可以构造“同值函数”; 对于选项D ,y =⎪⎪⎪⎪⎪⎪x +1x +1,不是定义域上的单调函数, 有不同的自变量对应同一函数值,故D 可以构造“同值函数”.所以能够被用来构造“同值函数”的是A ,D.。

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