第17次课41平面电磁波

2B k2B 0 B 0
E i B
3．平面电磁波Plane Electromagnetic Wave
按照激发和传播条件的不同，电磁波的场强E(x)可以有各种不同 形式．例如从广播天线发射出的球面波，沿传输线或波导走向传播 的波，由激光器激发的狭窄光束等，其场强都是亥姆霍兹方程的解
讨论一种最基本的解，它是存在于全空间中的平面波
2E
1 v2
2E t 2
0
2
B
1 v2
2B t 2
0
E x,t E x ei t
B x, t B x eit
2 E 2 E 0
v2
令 k
v
2B
2
v2
B
0
2E k 2E 0 2B k2B 0
称为时谐波的亥姆霍兹方程（其中 kv称为波矢量）
v
D 0
v E
v
v B t
B 0 v
H
v D
t
D x, t D x eit
H x, t H x eit
vv
D E B H
v
E 0
v E
v
v
i B
B 0 v
H i
v E
Maxwell’s equations在一定频率下化为
2E k2E 0 E 0
B i E
x,t
E0 ei kx t
E0是电场的振幅 ei(kx-t) 相位因子
v
由条件 E 0 得
ikevx
v E
0
，即要求Ex =0．
E x, t E0eikxt
以上为了运算方便采用了复数形式，对于实际存在的 场强应理解为只取上式的实数部分，即
E x,t E0 cos kx t
相位因子cos(kx-t)的意义 在时刻t=0，相位因子是 coskx，x＝0的平面处于波峰．
设电磁波沿X轴方向传播，其场强在与x轴正交的平面上各点具有 相同的值，即E和B仅与x，t有关，而与y，z无关．这种电磁波称为 平面电磁波，其波阵面（等相位点组成的面）为与x轴正交的平面
l
B
v
, J
x
0
A
C
在 x>>l 的条件下，
,
v J
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不为零的区域对A点来说可视为一个
“物理点”。即在A点附近，场的大小只与距离有关，与方向无关，
D 0 v
E v
v B t
B 0 vv
H J
v D
B 0 v
H
v D
t
t
v
v vv v
a) 真空情形： D 0E , B 0H
D 0
v E
v
v B t
v ( E)
v B
t
B 0 v
H
v D
t
vv
( E) 2E
t
v
0 H
0
t
t
v D
v k
取此＝垂平kx′直面，于上x为矢的量任在xv k一矢的点量任，一上kv位平的v矢面投为S影，xv，，设则在P平为kv xv
这就是介质的色散现象．
一般坐标系下平面电磁波的表示式：E x, t E0eik xt
v 式中 k是沿电磁波传播方向的一个矢量，其量值为
v
k
v 在特殊坐标系下，当 k 的方向取
为x轴时，有 k x kx ，
v 图示表示沿k 方向传播
的平面电磁波．
E x, t E0eikxt
v
xv
实际上具有各种成分的电磁波可以写为：
E x, t E eitd
D x,t E x,t B x,t H x,t
因而不能将真空中的波动方程简单地用 代 0、代0转
化为介质中的波动方程。
2、时谐电磁波（单色电磁波）
以一定频率作正弦振荡的波称为时谐电磁波（单色电 磁波）。
这种波的空间分布与时间t无关，时间部分可以表示 为电磁场对时间的依赖总是cosωt ，其复数形式为
在另一时刻 t，相因子变为cos(kx-t),波峰移至kx- t=0处， 即移至x=t/k的平面上
其相速度为 1 k
真空中电磁波的传播速度为
c 1
0 0
介质中电磁波的传播速度为
c r r
式中r和r分别代表介质的相对电容率和相对磁导率，由于它们是 频率的函数，因此在介质中不同频率的电磁波有不同的相速度，
eit cost ，i 因sin此t有 以下关系成立：
E x,t E xei t
D x, t D x eit
B x, t B x eit
H x, t H x eit
对单一频率D 、E B成 立H。介质中波动方程为：
2E 1 2E 0 v2 t 2
2B 1 2B 0 v2 t 2
§1 平面电磁波
Plane Electromagnetic Wave
1、电磁场波动方程 一般情况下，电磁场的基本方程是Maxwell’s equations：
v
v
D
v E
v
v B t
在自由空间中 （即 0 , J 0 ）， 电场和磁场互相激发， Maxwell’s equations为：
第四章
电磁波的传播
Electromagnetic Wave Propagation
引言
随时间变化的运动电荷和电流辐射电磁场，电磁场在空 间互相激发，在空间以波动的形式存在，这就是电磁波。
传播问题是指：研究电磁场在空间存在一定介质和导体 的情况下的波动。在真空与介质、介质与介质、介质与导 体的分界面上，电磁波会产生反射、折射、衍射和衰减等 等，因此传播问题本质上是边值问题。
B相C等段，是所很以大离球电面荷上ρ的，一电小流部分Jv很，远可处视的为场平可面视，为该平平面面场上。场强的大小
在这情形下亥姆霍兹方程化为一维的常微分方程
2 E k 2 E 0 E x,t E x ei t
它的一个解是
d2 dx2
E
x
k2E
x
0
E x E0eikx
场强的全表示式为 E
电磁波传播问题在无线电通讯、光信息处理、微波技 术、雷达和激光等领域都有着重要的应用。
• 本章重点：
1、电磁场波动方程、亥姆霍兹方程和平面电磁波 2、反射和折射定律的导出 3、导体内的电磁波特性、良导体条件、趋肤效应 4、了解谐振腔和波导管中电磁波的运动形式
• 本章难点：
1、导体内电磁波的运动 2、波导管中电磁波解的过程
0
0
t
t
0
v E
0 0
2 t 2
v E
2E
1 c2
2E t 2
0
c 1
00
2B 1 2B 0 c2 t 2
能否直接用到介质中？
b) 介质情形 电磁波动在介质中一般频率成分不是单一 的，可能含有各种成分。
对均匀介质 ， ()的
现象称为介质的色散。 若电磁波仅有一种
频率成分 D E ,B H