3.2.1 实际问题中导数的意义

f ( x ) 0 0
得 f ( x ) 的单调增区间；
得 f ( x ) 的单调减区间。
引言
前面主要学习利用导数帮助我们研究了函数的 单调性和极值，导数的应用不止这些，它在日常生 活工作和科学研究中有着广泛的应用。 我们在日常生活和科学领域中遇到的许多量，
都可以用导数的概念来理解。比如在物理中，速度
复习回顾
函数 y f ( ຫໍສະໝຸດ Baidu ) 中 y 关于 x 的平均变化率为：
y x f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0 f ( x0 x ) f ( x0 ) x
当 x 1 x 0 即 x 0 时，若平均变化率趋于一
个固定值 ，则称这个值为函数 y f ( x )在 x0点的瞬 时变化率。
小结
＊ 导数在实际问题中的意义： 具体问题具体分析
导数表示瞬时变化率，实际中可表示功率，速度 和降雨强度等。
在讨论实际问题时：
当导数 当
f ( x ) 为正数时，实际意义是自变量每增 ( x )
加一个单位时，函数值增加（或升高）f 值减小（或降低） f
( x ) 个单位。
个单位；
f ( x ) 为负数时，自变量每增加一个单位，则函数
f (1 2 0 ) f (1 0 0 ) 120 100
(1 2
120 10
0 .3 ) (1 0 20
2
100 10
0 .3 )
=
0 .1 0 5 ( 万 元 / m )
当建筑面积从100平米增加到120平米时，每增 加 1 平米，成本平均约增加1050元。
（2）求导得 ∴
式为
f (t )
1 0t
，求
f ( 4 0 )并解释其实际意义。
解析
建筑成本 建造一幢面积为 x m 2的房屋需要成本 y 万元，y 是 x 的函数，设函数为
y f (x) x 10 x 10 0 .3
（1）当 x 从100变到120时，建筑成本 y 关于建
筑面积 x 的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？
结束
（1）当 t 从 1s 变到 3s 时，功 W 关于 t 的平均 解： 变化率为
W ( 3 ) W (1 ) 31 21 11 31 5 (J / s)
它表示从 1s 到 3s 这个人平均每秒做功 5J 。 （2）求导可得 ∴
W ( t ) 3 t 1 2 t 1 6
f ( 1 0 0 )
f ( x )
1 10
20
1 x
2
1 10

1 200
0 .1 0 5 ( 万 元 / m )
当建筑面积为100平米时，成本增加的速度为
1050元 / m
2
，即面积为100平米时，每增加1平米的
建筑面积，成本就要增加1050元。 练习
( 1 ) ，W ( 2 ) ，解释其实际意义。
解析
降雨强度
下表为一次降雨过程中某段时间内记录下的降雨
量数据：t (单位：min) ，y(单位：mm)
降雨量 y 是时间 t 的函数 y = f (t)， （1）分别计算当 t 从0到10，从50到60时，y 关于 t 的平均变化率，比较它们的大小，并解释实际意义； （2）假设得到降雨量 y 关于时间 t 的函数近似表达
数学上称这个瞬时变化率为 y f ( x ) 在 x0 点的 导数，用 f ( x0 ) 表示，记作 y
f ( x ) lim
x 0
x
复习回顾
＊ 用导数求函数的单调区间： （1）求 f
( x ) ，并判断 f ( x )
的符号；
（2）解不等式 解 f ( x )
（2）求 f ( 1 0 0 ) 并解释其实际意义。
解析
动手做一做
在自行车比赛中，运动员的位移 s (单位：m) 与比赛时间 t (单位：s)的函数关系是
s 10t 5t
2
求 s ( 2 0 ) 并解释其实际意义。
s( 20) 210( m / s )
它表示第20秒时的瞬时速度是 210 m/s。
降雨强度
1 ( m m / m in )
y (6 0 ) y (5 0 ) 60 50

24 22 60 50
0 . 2 ( m m / m in )
它们分别表示从0到10分和从50到60分两个时
间段内，平均每分降雨量为1 mm和0.2 mm。
前10分钟的降雨强度比后10分钟的大，这说明 刚开始的10分钟比后10分钟的雨下得大。
（2）求导得
∴
f ( t )
5 10t
f ( 4 0 )
5 10 40

5 20
0 . 2 5 ( m m / m in )
它值得是 t = 40 分这一时刻，降雨量 y 关于 t 的 瞬时变化率，即降雨强度为 0.25 mm/min。
问题 3
解： （1）x 从100变到120时，y 关于 x 的平均变化率为：
W ( 2 ) 4 J / s
2
W ( 1 ) 7 J / s
W’(1)，W’(2)表示 t = 1 和 t = 2 时这人每秒做的 功为 7J 和 4J 。 问题 2
解： （1）t 从0变到10时，和从50变到60时，降雨量
y 关于时间的变化率分别为：
y (1 0 ) y ( 0 ) 10 0 10 0 10 0
是路程关于时间的导数，线密度是质量关于长度的 导数，功率是功关于时间的导数等等；在生活中， 降雨强度是降雨量关于时间的导数……
功与功率
某人拉动一个物体前进，他所做的功W (单位：J)
是时间 t (单位：s)的函数，设函数为
W W (t ) t 6t 1 6t
3 2
（1）求 t 从 1s 到 3s 时，W 关于 t 的平均变化率， 并解释其实际意义； （2）求 W