多角度解一道三角形面积最值题

2
3
p p a p b p c .
2
abc ab 注：若 a 0, b 0, c 0 ，则 abc .可类比： a 0, b 0 时， ab . 3 2
变式 3.满足条件 AB 2 ， AC
sin B sin C
cosB C cosB C cosB C cos A 1 cos A ，(当且仅当 B C 时等 2 2 2 1 cos A sin B sin C 2
2
号成立)， S ABC
1
3 2 2 3 . 2 4
点 C 是以 3,0 为圆心， 2 2 为半径的圆，观察点 C 的运动
轨迹易知，当 ABC 的高为圆的半径时，面积最大，此时 S ABC
图2
1 22 2 2 2 . 2
结语 数学是一门充满趣味性的学科，正所谓“条条大路通罗马” ，在数学解题的过程中，不仅可以找 到答案，还可以沿途欣赏有关数学的美景.答案有终点，数学没有终点，数学解题研究，只有进行时， 没有完成时.
2 BC 的 ABC 面积的最大值为__________.
解：如图 2，建立平面直角坐标系，设 A 1,0 , B 1,0 , C x, y ， 若满足 AC
2 BC ，有
x 12 y 2
2 2
2
x 12 y 2 ，
整理得点 C 的轨迹方程为： x 3 y 8 ，
2 2
2
2
2
2
2
1 ac sin B 3 . 2
1 2 2 sin 60 3 . 2 3l 2 . 36
拓展 2.结论：三角形周长为 l 时，等边三角形面积最大，面积最大为 证明：设 a, b, c 为 ABC 的三边，周长为 l ，由海伦公式得，
S2
ll l l l a b c l 2a l 2b l 2c 22 2 2 16 l l 2a l 2b l 2c 16 3
解法 3.几何法： 解：如图 1，在圆 O 内作圆心角 BOC ，联结 BC ，设弦 BC 1 ， 易知任意圆周角 A
S ABC
1 ah ，当 A 点绕圆周运动时，底边 BC 即 a 1 不变， 2 高 h 随 A 点的变化而变化，当且仅当 A 为 A 时， h 最大，此时 B C 75 ，则 hmax
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反思
1 BOC 30 ， ABC 即题设三角形. 2
1 2 3 a 1 tan 75 2 3 ，故 S max ah . 2 2 2 4


图1
解法 1 通过余弦定理，结合重要不等式，求边 bc 积的最大值，再根据面积公式 S
1 bc sin A 2
得出面积最大值，典型且直接；解法 2 通过正弦定理，根据面积公式得出 S sin B sin C ，通过对代 数式 sin B sin C 不同的处理方式，整合了两个恒等式、一个基本不等式、一个性质，分别从四个角度 展现了不等式的优美，体现了数学的通性与灵活性；解法 3 更是通过几何再现，更直观地演绎了取等 号的条件，即当其为等腰三角形时面积最大，更好地阐释了几何与代数之间的联系. 2.变式与拓展 变式 1.已知 ABC 的内角 A, B, C 的对边为 a, b, c ，若 B
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， b 2 ，求 ABC 面积的最大值. 3
解：由余弦定理 b a c 2ac cos B 得 4 a c ac . 由重要不等式得 a c ac 2ac ac ac ，故 ac 4 ， S ABC 拓展 1.结论：若三角形一角及其对边一定时，等腰三角形面积最大. 变式 2.若 ABC 周长为 6 ，则 ABC 面积的最大值为__________. 猜想：当且仅当 ABC 为等边三角形时面积最大，则 S max
ab 角度②.利用基本不等式 ab . 2 sin B sin C sin B 0, sin C 0 ， sin B sin C .(当且仅当 sin B sin C 时等号成立). 2 B C ， B C ， 即 S ABC
2 6 2 8 4 3 2 3 2 sin 75 sin B sin C 2 4 16 4 2 2
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sin B sin C 实际上，在 sin B sin C 的基础上，对于式子 sin B sin C 还可以有两种不同 2
2 2
2
2
2
2ຫໍສະໝຸດ Baidu
2




1 2 3 . 2 3
由面积公式， S ABC
1 bc 2 3 2 3 bc sin A ，故 ABC 面积的最大值为 . 2 4 4 4
解法 2.利用正弦定理：
a sin B a sin C a 2 sin B sin C 解：由正弦定理有 b ，c ，故 bc 4 sin B sin C . sin A sin A sin 2 A
的处理方式，如下：
2
BC B C (试推导证明) cos 2 2 BC B C B C (当且仅当 B C 时等号 sin B sin C 2 sin cos 2 sin 75 cos 2 sin 75 ， 2 2 2
角度③.利用恒等式 sin B sin C 2 sin 成立)， S ABC
2 2 6 2 2 3 sin B sin C 2 sin 75 . sin B sin C 2 2 4 4 2
注：你能解释角度①和角度③中等号成立的条件吗？ 角度④.利用凸函数的性质：若 f x 在区间 D 上为凸函数，则对 x1 , x2 ,..., xn D ， 满足
多角度解一道三角形面积最值题
山东省滕州实验高中 （277500） 马波
题目：已知 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，若 A 1.解法探究 解法 1.利用余弦定理、结合重要不等式：
， a 1 ，求 ABC 面积的最大值. 6
解：由余弦定理 a b c 2bc cos A 得 1 b c 3bc . 由重要不等式得 b c 3bc 2bc 3bc 2 3 bc ， 即 2 3 bc 1 ，故 bc
3 3

（ abc
abc ，当且仅当 a b c 时等号成立） 3
3
3l 2 l l l4 ， S max . 36 16 3 432
海伦公式：若 a, b, c 为 ABC 的三边，设 p
a b c ，则 S
f x1 f x2 ... f xn x x ... xn f 1 2 . n n sin B sin C BC sin sin 75 . 2 2
2
由凸函数的性质
S ABC
2 3 sin B sin C 2 . sin B sin C sin 75 2 4
由面积公式， S ABC
1 bc sin A sin B sin C . 2 a 2 sin B sin C . 2 sin A
注：根据正弦定理，可推导出面积公式的另一种形式，即 S ABC 角度①.利用恒等式 sin B sin C
cosB C cosB C (试推导证明) 2