学而思寒假七年级尖子班讲义第1讲平行线四大模型

目录

Contents

第1讲平行线四大模型 (1)

第2讲实数三大概念 (17)

第3讲平面直角坐标系 (33)

第4讲坐标系与面积初步 (51)

第5讲二元—次方程组进阶 (67)

第6讲含参不等式（组） (79)

1平行线四大模型

知识目标

目标一熟练掌握平行线四大模型的证明

目标二熟练掌握平行线四大模型的应用

目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造

秋季回顾平行线的判定与性质

l、平行线的判定

根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．

判定方法l：

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

简称：同位角相等，两直线平行．

判定方法2：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．

简称：内错角相等，两直线平行，

判定方法3：

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，

如上图：

若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；

若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；

若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．

另有平行公理推论也能证明两直线平行：

平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

2、平行线的性质

利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反

过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同

旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．

性质1：

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．

简称：两直线平行，同位角相等

性质2：

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.

简称：两直线平行，内错角相等

性质3：

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．

简称：两直线平行，同旁内角互补

本讲进阶平行线四大模型

点P

在EF右侧，在AB、CD

内部

“铅笔”模型

结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；

结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.

模型二“猪蹄”模型（M模型）

点P在EF左侧，在AB、CD

内部

“猪蹄”模型

结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；

结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.

模型三“臭脚”模型

点P在EF右侧，在AB、CD

外部

“臭脚”模型

结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.

模型四“骨折”模型

点P在EF左侧，在AB、CD

外部

“骨折”模型

结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；

结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明

（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°

.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．

（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.

（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP ,求证AE //CF .

模块一平行线四大模型应用

例1

（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．

(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．

(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .

(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．

练

(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．

(2) （七一中学2015-2016七下3月月考）

如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .

例2

如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.

练

如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n

1∠ABF ，∠FDC =n

1∠FDE .

(1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若

n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；

(3)直接写出∠C 、∠F

的关系 （用含n 的等式表示）.

例3

如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .

练

如图，己知AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.

例4

如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．

练

（武昌七校 2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE ⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN 的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．

A. 120°

B. 135°

C. 145°

D. 150°

模块二平行线四大模型构造

例5

如图，直线AB∥CD，∠EFA= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则

∠GHM= .

练

如图，直线AB∥CD，∠EFG=100°，∠FGH=140°，则∠AEF+ ∠CHG= .