三角函数的图像变换及应用

三角函数的图像变换及应用

1．“五点法”画正、余弦型函数的图像

(1)(2018浙江月考，6分)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在某一个周期内

答案： f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π

6，表格及图像见解答过程 解：根据表中已知数据，知A ＝5， ⎩⎨⎧π3ω＋φ＝π2

，5π6ω＋φ＝3π2

，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－π6， ∴函数的解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π

6.(2分) 表格数据补全如下表：(4分)

画出函数在一个周期内的图像如图所示．(6分)

2．常见的三角函数图像变换 a ．三角函数的图像变换

(2)(2018湖南模拟，7分)把函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π

3＋3－1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移π

3个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，求

g ⎝⎛⎭⎫π6的值．

答案：3

解：把函数f (x )＝2sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π

3＋3－1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐

标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋3－1的图像，再把得到的图像向左平移π

3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图像，∴g (x )＝2sin x ＋3－1，(5分)

∴g ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π6

＋3－1＝ 3.(7分)

(2018浙江模拟，4分)把函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1的图像向左平移π

3个单位，再将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图像，则函数g (x )的解析式为__g (x )＝2sin ⎝⎛⎭

⎫x ＋π

3． 解析：把函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1的图像向左平移π

3个单位，得到y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3＋3－1＝2sin(2x ＋π

3)＋3－1的图像，再将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π

3＋3－1的图像．∴函数g (x )的解析式为g (x )＝2sin ⎝⎛⎭

⎫x ＋π

3＋3－1.

(3)(2016北京，5分)将函数y ＝sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π

3图像上的点 P ⎝⎛⎭⎫

π4，t 向左平移s (s ＞0) 个单位长度得到点P ′，若P ′位于函数y ＝sin2x 的图像上，则( A )

A ．t ＝12，s 的最小值为π6

B ．t ＝32，s 的最小值为π6

C ．t ＝12，s 的最小值为π3

D ．t ＝32，s 的最小值为π

3

解析：由题意得t ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4－π3＝12，∴P ⎝⎛⎭⎫π4，1

2. 将点P ⎝⎛⎭⎫

π4，12向左平移s (s >0)个单位得到点P ′， ∴点P ′的坐标为⎝⎛⎭⎫π4

－s ，1

2， 又∵点P ′位于函数y ＝sin2x 的图像上， ∴1

2＝sin2⎝⎛⎭⎫π4－s ＝cos2s ， ∴2s ＝π3＋2k π或5π

3＋2k π，k ∈N ，

∴s ＝π6＋k π或5π

6＋k π，k ∈N .

∴当k ＝0时，s 的最小值为π

6

.故选A.

b ．诱导公式在三角函数图像变换中的应用

(4)(2017全国Ⅰ，5分)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π

3，则下面结论正确的是( D )

A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π

6个

单位长度，得到曲线C 2

B ．把

C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

π

12个单位长度，得到曲线C 2

C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π

6个单

位长度，得到曲线C 2

D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π

12个

单位长度，得到曲线C 2

解析：因为C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋π2＝cos(2x ＋π

6)，故把问题转化为由y ＝cos x 的图像经何种变换得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

6的图像．将y ＝cos x 的图像上各点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝cos2x 的图像，再将y ＝cos2x 的图像向左平移π

12个单位得到y ＝

cos ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π

6的图像．故选D. (5)(经典题，5分)函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ≤π)的图像向右平移π

2个单位后，与函数y

＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像重合，则φ＝__5π

6

__． 解析：(法一)函数y ＝cos(2x ＋φ)的图像向右平移π2个单位，得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2⎝⎛⎭⎫x －π2＋φ＝cos(2x －π＋φ)＝sin(2x －π

2

＋φ)的图像，

∵平移后的函数图像与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

3的图像重合， ∴2x －π2＋φ＝2x ＋π3＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝5π

6＋2k π，k ∈Z .

又∵－π≤φ≤π，∴φ＝5π6

.

(法二)函数y ＝cos(2x ＋φ)的图像向右平移π

2个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向左平移π

2

个单位，得到函数y ＝cos(2x ＋φ)的图像．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向