大学物理哈工大版氢原子薛定谔方程的解5

这里的 ml即为前面讲的m，称为磁量子数。对应一个 l， ml有2l+1个值，即角动量的空间取向有2l+1种可能。
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氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理
如图，即为n=4(l=0,1,2,3)电子的角动量空间取向量子化的 情形
ml=Lz/h
2 1 0 -1 1 0 -1 -2
3 2 1 0 -1 -2 -3
l 1 为缔合勒盖尔多项式。 L2 n l
同时规定了 l 的取值范围，即对于某一确定n ,l 可能取n个值：l=0,1,2,…n-1
氢原子的波函数： nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , )
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氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理
讨论n、l、ml 参数的物理意义
自旋动量矩也是量子化的，它在外场方向投影Sz 只能有如下两种取值：
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氢原子薛定谔方程的解 确定氢原子的状态的四个量子数 主量子数
第十一章 量子物理
决定电子的能量。
角量子数 磁量子数 的空间取向， 自旋磁量子数 间取向，
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决定电子轨道角动量 决定轨道角动量 决定自旋角动量的空 。
-3.39eV
2
如图所示，n增大时 ， 能级间隔减小；n 很大时间隔非常小， 可看成连续变化。
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-13.6eV
1
主量子数 n
氢原子能级图
氢原子薛定谔方程的解 （2）角动量量子化
第十一章 量子物理
方程（2）得到的波函数()表明：电子绕核转动的角动 量是量子化的，其大小为：
其中：l 称为角量子数或称副量子数。用来描述波函数 的空间对称性。
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氢原子薛定谔方程的解
第十一章 பைடு நூலகம்子物理
（4）电子自旋 电子具有自旋是由施特恩和盖拉赫用实验证明的。在 相对论动力学中，由理论推导电子必须具有自旋；但在非 相对论动力学中，电子的自旋是根据实验引进的。
B K P 结果：无外场时，P上沉积一 条正对B的痕迹；有外 场时，出现几条不连 续的线状痕迹。
l
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Pl (cos )
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第十一章 量子物理
是连带的勒让德函数
ml 角度部 d ml / 2 2 im Y ( , ) Nlm (1 cos ) Pl (cos )e ml 分的解： d cos r 2r l 2l 1 2r 方程（3）的解为 Rnl N nl e na0 ( ) Ln l ( ) na0 na0 2 其中：Nnl为归一化常数， a0 2 为一常数， me
为负时，称为自旋向下。 为正时，称为自旋向上。
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氢原子薛定谔方程的解 （3）角动量的空间取向量子化
第十一章 量子物理
索末菲在1915-1916年提出：氢原子中的电子绕核作圆周 轨道运动，轨道平面在空间的取向不是任意的，而只能取 有限的特定方位，这既是轨道空间量子化假设。
方程（1）得到的波函数 ()表明：电子绕核转动的角动 量空间取向是量子化的，设：外磁场方向为Z轴方向，Lz 表示L在外场方向投影大小，则
说明：1、L只能取由l 决定的一系列分立值，即量子化。 2、不同的 n 值，只要 l=0，则L=0 3、对于同一n值，l 不同时，L有不同的值。所以 氢原子内电子的运动状态必须同时用n, l 才能 确切地表征。
一般s、p、d、f、g……等字母表示 l=0,1,2, ……，显然，对于s 态的电子来说，其动量矩L=0.
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第十一章 量子物理
在球坐标系下： x r sin cos ,
z


y r sin sin , z r cos ,
在球坐标系下的薛定谔方程：
y
x
此偏微分方程可以用分离变数法化成常微分方程 求解，即设 R(r )( )( ) 代入上式得：
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第十一章 量子物理
11.9 氢原子的薛定谔方程的解
1、 氢原子的定态薛定谔方程
氢原子中电子绕原子核的运动，相当于核不动，电 子绕核作圆周运动。若其半径为r，则其势能函数为
e2 V (r ) 4 0 r 1
定态薛定谔方程为：
由于势能只与r有关，是球对称的，而与方向无关，为了 计算方便，采用球坐标。球坐标下的拉普拉斯算符为：
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第十一章 量子物理
方程（1）的解为 ( ) Aeiml 方程（2）的解为 ( ) (1 cos )
2
ml 0,1,2
ml / 2
d
ml ml
d cos 由标准化条件决定：l=0,1,2, ••••• , 同时限定给定一 l ml只能取下列2l+1 m 0,1,2 l
N
S K原子射线；B狭缝； NS磁场；P照相板
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此实验最初用s态银原子进行， 原子射线分裂为二条，且二 者偏转上下对称。 因 s态原子 l=0本身无动量矩和磁矩。
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第十一章 量子物理
1925年伦贝克提出：电子不能看成简单的点电荷，除 绕核的磁矩外，还有固有磁矩，该磁矩称自旋磁矩。 量子力学的计算：自旋动量矩S为
（1）能量量子化 在求解方程（3）时，电子处于束缚态时，E只能取 一些分立的负值，即： 能级公式 为主量子数或称能量量子数。 n=1的能级称为基态能级
n>1的能级称为激发态能级,取值如下：
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氢原子薛定谔方程的解 Enl
-0.85eV -1.51eV
第十一章 量子物理
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