第8章梁地强度与刚度
建筑力学第8章杆件的变形和刚度校核
9
8.3 平面弯曲梁的变形计算———叠加法（查表法） 从上一节例题可以看出，由于梁的变形微小， 而且梁的材料是在线弹性范围内工作的，因此梁的 挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。这样，梁 上某一荷载所引起的变形，不受同时作用的其他荷 载的影响，即各荷载对弯曲变形的影响是各自独立 的。因此，梁在几项荷载（集中力、集中力偶或分 布力）同时作用下某一截面的挠度和转角，就分别 等于每一项荷载单独作用下给截面的挠度和转角的 叠加。当每一项荷载所引起的转角在同一平面内（ 例如均在 xy平面内），其挠度都在同一方向上（ 例如均在 y轴方向）时，叠加就是代数和。
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小结 本章主要研究扭转轴和平面弯曲梁的变形计算 和刚度校核问题。 1）扭转轴的变形计算及刚度条件为
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2）平面弯曲梁的变形计算可用积分法和叠加 法进行。用积分法求解梁变形就是正确列出各段梁 的弯矩方程，代入挠曲线近似微分方程，积分一次 得到转角方程，再积分一次得到挠曲线方程，然后 正确应用边界条件和连续条件确定积分常数。积分 法是求梁变形的基本方法，虽然计算比较烦琐，但 在理论上是比较重要的。
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2
图 8.2
3
图 8.3
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8
正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文 正文正文正文正文正文正文正文正文正文正文
第8章 杆件的变形和刚度校核
为了避免受扭的轴产生过大的变形，除了要 保证强度条件以外，还要满足刚度要求。工程中 ，通常是用单位长度扭转角 θ 来限制轴的扭转变 形。因此，其刚度条件为
第8章 梁的强度与刚度
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
解：画出梁的弯矩图如图，最大弯矩在梁中
点。 由
矩形截面弯曲截面系数：
h=2b=0.238m 最后取h=240mm,b=120mm
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
第二十六讲 弯曲正应力强度计算（二）
目的要求：掌握脆性材料的弯曲正应力强度
计算。
教学重点：脆性材料的弯曲正应力强度计算。
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解：（1）求出梁的支座反力为 FA=0.75kN,FB=3.75kN （2）作梁的弯矩图如图（b） （3）分别校核B、C截面 B截面
可见最大拉应力发生在C截面的下边缘。 以上校核知：梁的正应力强度满足。 C截面
可见最大拉应力发生在C截 的下边缘。 以上校核知：梁的正应力强度满足。
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二、纯弯曲时梁的正应力：
１、中性层和中性轴的概念： 中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长， 有的变短。其中有一层既不伸长也不缩短， 这一层称为中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴。
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
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三、 选择合理的截面：
１、截面的布置应该尽可能远离中性轴。 工字形、槽形和箱形截面都是很好的选择。 ２、脆性材料的抗拉能力和抗压能力不等， 应选择上下不对称的截面，例如T字形截面。
教学难点：脆性材料的正应力分布规律及
弯曲正应力强度条件的建立。
《工程力学》——沙市大学建筑工程系
一、 脆性材料梁的弯曲正应力分析
1、脆性材料的弯曲梁其截面一般上下不对称，例如T字形截
面梁。
08第八章 弯曲变形
二、梁计算简图 1支座形式与支反力 作用在梁上的外力，包括载荷和支座反力 载荷和支座反力。工程中常见支座有以下 载荷和支座反力 三种形式: （1）固定铰支座。如图8-3（a）所示，固定铰支座限制梁在支承处 固定铰支座。 固定铰支座 任何方向的线位移，其支座反力可用2个正交分量表示，沿梁轴线方 向的XA和垂直于梁轴线方向的YA。 （2）活动铰支座。如图8-3（b）所示，活动铰支座只能限制梁在支 活动铰支座。 活动铰支座 承处垂直于支承面的线位移，支座反力可用一个分量FRA表示。 （3）固定端。如图8-3（c）所示，固定端支座限制梁在支承处的任 固定端。 固定端 何方向线位移和角位移，其支座反力可用3个分量表示，沿梁轴线方 向的XA和垂直于梁轴线方向的YA，以及位于梁轴平面内的反力偶 MA。
解：（1）列弯矩方程 选取A为坐标原点，坐标轴如图8-13所示。在截 面x处切开，取左段为研究对象，列平衡方程： （2）作弯矩图 由弯矩方程可知，弯矩M为x的一次函数，所以 弯矩图为一条斜直线。（由两点可画出一条直线）
例8-7图8-14（a）所示悬臂梁，在全梁上受集度 为q的均布载荷作用。作该梁的弯矩图。
例8-1：如图8-8所示悬臂梁，求图中1-1和2-2截 面上的剪力和弯矩。
解： （1） 计算1-1上的剪力和弯矩。 假想在1-1截面处把梁截开，考虑左段梁的平衡， 剪力和弯矩按正方向假设。
得：
（2） 计算2-2上的剪力和弯矩。假想在2-2截面 处把梁截开，考虑左段梁的平衡，剪力和弯矩按 正方向假设。
弯矩图如图8-11（b）所示，由于在C点处有集中力 偶Mo作用，C点左侧与C点右侧弯矩不变，有突变， 突变值即为集中力偶Me。如b>a，则最大弯矩发生 在集中力偶作用处右侧横截面上 。
例8-5：图8-12（a）所示简支梁，在全梁上受集 度为q的均布载荷，作此梁的弯矩图。
周建方版材料力学习题解答[第八章9]分析
![周建方版材料力学习题解答[第八章9]分析](https://img.taocdn.com/s3/m/cbb06210a417866fb94a8e07.png)
8-49现用某种黄铜材料制成的标准圆柱形试件做拉伸试验。
已知临近破坏时，颈缩中心部位的主应力比值为113321::::=σσσ；并已知这种材料当最大拉应力达到770MPa 时发生脆性断裂，最大切应力达到313MPa 时发生塑性破坏。
若对塑性破坏采用第三强度理论，试问现在试件将发生何种形式的破坏？并给出破坏时各主应力之值。
解： 令主应力分别为：σσ31=，σσσ==32脆性断裂时，由第一强度理论=1r σσσ31==770MPa所以，塑性破坏时，由第三强度理论 所以故，试件将发生脆性断裂。
破坏时MPa 7701=σ，MPa 25732==σσ8-50 钢制圆柱形薄壁压力容器（参见图8-13），其平均直径mm d 800=，壁厚mm 4=δ，材料的M P a ][120=σ，试根据强度理论确定容器的许可内压p 。
解：在压力容器壁上取一单元体，其应力状态为二向应力状态。
p pd 504'==δσ ，p pd1002"==δσ 其三个主应力为p 100"1==σσ， p 50'2==σσ，03=σ据第三强度理论所以 ，MPa p 2.13≤，许可内压MPa p 2.13= 据第四强度理论所以，MPa p 39.14≤，许可内压MPa p 39.14=8-51 空心薄壁钢球，其平均内径mm d 200=，承受内压MPa p 15=，钢的MPa ][160=σ。
试根据第三强度理论确定钢球的壁厚δ。
解：钢球上任一点应力状态如图示 其三个主应力为：σσσ==21，03=σ而 MPa MPa d p R R p δδδδππσ4342.0152222=⨯=⋅=⋅⋅=据第三强度理论 所以 mm m 69.41069.41601433=⨯=⨯≥-δ 8-52 图8-77所示两端封闭的铸铁圆筒，其直径mm d 100=，壁厚mm 10=δ，承受内压MPa p 5=，且在两端受压力kN F 100=和外扭矩m kN T ⋅=3作用，材料的许用拉应力MPa ][40=+σ，许用压应力MPa ][160=-σ，泊松比250.=ν，试用莫尔强度理论校核其强度。
工程力学第8章 变形及刚度计算
39
40
解 （1）静力方面 取结点 A为研究对象，分析其受 力如图 8.15（b）所示，列出平衡方程：
（2）几何方面
（3）物理方面 由胡克定律，有：
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（4）补充方程 式（u）代入式（t），得：
再积分一次，得挠度方程
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例8.5 图8.7所示等截面简支梁受集中力F作用，已 知梁的抗弯刚度为EI，试求C截面处的挠度yC和A截面 的转角θA。
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解 取坐标系如图所示，设左、右两段任一横截面 形心的坐标、挠度和转角分别为x1，y1，θ1和x2，y2， θ2。梁的支反力为
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2
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8.1.2 横向变形及泊松比 定义
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8.2 圆轴扭转时的变形和刚度计算
8.2.1 圆轴扭转时的变形 在7.6节中提到，圆轴扭转时的变形可用相对扭转角 φ来表示，而扭转变形程度可用单位长度扭转角θ来表示。 由7.6.2节中的式（d），即
6
8.2.2 刚度计算 有些轴，除了满足强度条件外，还需要对其变形加 以限制，如机械工程中受力较大的主轴。工程中常限制 单位长度扭转角θ不超过其许用值，刚度条件表述为
（3）物理方面 由胡克定律，可得：
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（4）补充方程 将式（q）代入式（p），可得：
（5）求解 联立求解方程（o）和（r），可得：
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由上例可以看出解超静定问题的一般步骤为： （1）选取基本体系，列静力平衡方程； （2）列出变形谐调条件； （3）物理方面，将杆件的变形用力表示； （4）将物理关系式代入变形谐调条件，得到补充 方程； （5）联立平衡方程和补充方程，求解未知量。
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（1）静力方面 选取右端约束为多余约束，去掉该约束并代之以多 余支反力FB，如图8.14（b）所示，称为原超静定问题 的基本体系。所谓基本体系，是指去掉原超静定结构的 所有多余约束并代之以相应的多余支反力而得到的静定 结构。列出其平衡方程为：
梁的强度和刚度计算
Sz;
dT 'bdx;
x 0, N1 N2 dT 0;
' dMSz , dM Q, ' ;
dxI zb dx
QS z ;
I zb
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矩形截面剪应力计算公式：
QS
* z
式中:Q—横截面上的剪力；
Izb
Iz—横截面对其中性轴的惯性矩； b—所求剪应力作用点处的截面宽度；
763 5.2
146 .7cm3;W2
z y2
763 8.8
86.7cm3;
(3)C截面的正应力强度校核:
max
W2 Mc
86.7 10
6
310
34.7MPa ; max
W1 MD
146.7 10
6
310
20.5MPa ;
3
3
(4)D截面的正应力强度校核:
max
W1 MD
146.7 10
6
4.810
32.7MPa ; max
W2 MD
86.7 10 6 4.810
55.3MPa ;
3
3
(5)最大拉应力发生在C截面的下边缘处,最大压应力发生在D
截面的下边缘处,其值分别为: max 34.7MPa; max 55.3MPa;
令Wz
Iz ; ymax
Wz ___ 抗弯截面系数（模量），反映截面抵抗弯曲变形的能力；单位：m3, mm3.
矩形截面：Wz
bh2 6
工程力学(静力学和材料力学)第2版课后习题答案 范钦珊主编 第8章 弯曲刚度
课
后 答
案
网
解：由挠度表查得：
FP al 180° × 3 EI π Wal 180° = ⋅ 3 EI π 20000 × 1 × 2 × 64 180° = ⋅ 3 × 200 × 109 × π d 4 π ≤ 0 .5 ° d ≥ 0.1117 m，取 d = 112mm。
θB =
ww w
6 ( 246 + 48) ×10 × 200 ×10 × π × 32 × 10−12
2
co
m
8—3 具有中间铰的梁受力如图所示。试画出挠度曲线的大致形状，并说明需要分几段 建立微分方程，积分常数有几个，确定积分常数的条件是什么？（不要求详细解答）
习题 8－3 图
后 答
案
网
习题 8－4 图
课
习题 8－4a 解图
解： (a)题 1.
wA = wA1 + wA 2
wA1 =
⎛l⎞ q⎜ ⎟ ⎝2⎠
87图示承受集中力的细长简支梁在弯矩最大截面上沿加载方向开一小孔若不考虑应力集中影响时关于小孔对梁强度和刚度的影响有如下论述试判断哪一种是正确的
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工程力学
（静力学与材料力学）
习题详细解答
(第 8 章) 范钦珊 唐静静
课
后 答
案
网
2006-12-18
ww w
1
.k hd
aw .
co
m
（教师用书）
−3 9 4
(
.k hd
解：由挠度表查得 F ba 2 wC = P l − a 2 − b2 6lEI
(
)
习题 8－9 图
8
aw .
)
9第八章 杆件变形分析与刚度
2, 由强度条件可得: 由强度条件可得:
由刚度条件可得: 由刚度条件可得:
所以,空心轴的外径应不小于 所以,空心轴的外径应不小于147mm. .
8.5.2 杆件的刚度设计 从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出, 从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出, 弯曲变形与弯矩大小,跨度长短,支座条件, 弯曲变形与弯矩大小,跨度长短,支座条件,梁 有关. 截面的惯性矩 ,材料的弹性模量 有关.故提高 梁刚度的措施为: 梁刚度的措施为: 1) 改善结构受力形式,减小弯矩 ; 改善结构受力形式, 2) 增加支承,减小跨度 ; 增加支承, 3) 选用合适的材料,增加弹性模量 .但因各 选用合适的材料, 种钢材的弹性模量基本相同, 种钢材的弹性模量基本相同,所以为 提高梁的刚 度而采用高强度钢,效果并不显著; 度而采用高强度钢,效果并不显著; 4) 选择合理的截面形状,提高惯性矩 ,如工字形 形状,
4,由于实际无变形,所以: ,由于实际无变形,所以:
解得: 解得:
已知α=30.,杆长 杆长L=2m,直径 直径d=25mm, 【例8.3 】已知 直径 , E=210GPa,P=100kN,求节点 的位移. 求节点A的位移 , 求节点 的位移.
【解】
§8.2 圆轴的扭转变形
圆截面直杆在扭转时,小变形情况下, 圆截面直杆在扭转时,小变形情况下,可认为各 横截面之间的距离保持不变,仅绕轴线作相对转动, 横截面之间的距离保持不变 , 仅绕轴线作相对转动 , 表示. 两横截面间相对转过的角度称为 扭转角 , 用 φ表示 . 表示 取一微段dx研究,设徽段d 的相对扭转角为dφ, 取一微段 x研究,设徽段dx的相对扭转角为 ,沿 轴线方向的变化率为dφ/dx . 在线弹性范围内 , 由 轴线方向的变化率为 x 在线弹性范围内, 5-22) 式(5-22)可知 :
工程力学第8章 变形及刚度计算
结构构件在满足强度要求条件下，若其变形过大， 会影响正常使用。本章将学习杆件的变 形及刚度计算。
1
8.1 轴向拉压杆的变形
杆件在发生轴向拉伸或轴向压缩变形时，其纵向尺 寸和横向尺寸一般都会发生改变，现分别予以讨论。 8.1.1 轴向变形 图8.1所示一等直圆杆，变形前原长为l，横向直径 为d；变形后长度为l′，横向直径为d′，则称
8.8 题8.8图所示一直径为d的圆轴，长度为l，A端 固定，B端自由，在长度方向受分布力偶m 作用发生扭 转变形。已知材料的切变模量为G，试求B端的转角。
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8.9 某传动轴，转速 n=150 r/min，传递的功率 P =60 kW，材料的切变模量为 G =80GPa，轴的单位长度 许用扭转角［θ］=0.5（°）/m，试设计轴的直径。
30
例 8.9 简支梁受力如图 8.11所示
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8.4 简单超静定问题
8.4.1 超静定问题的概念 前面几章所研究的杆或杆系结构，其支座反力和内 力仅仅用静力平衡条件即可全部求解出来，这类问题称 为静定问题（staticallydeterminateproblem）。例如，图 8.12所示各结构皆为静定问题。在工程实际中，有时为 了提高强度或控制位移，常常采取增加约束的方式，使 静定问题变成了超静定问题或静不定问题 （staticallyindeterminateproblem）。超静定问题的特点 是，独立未知力的数目大于有效静力平衡方程式的数目， 仅仅利用静力平衡条件不能求出全部的支座反力和内力。
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8.5 高为l的圆截面锥形杆直立于地面上，如题8.5图 所示。已知材料的重度γ和弹性模量E，试求杆在自重作 用下的轴向变形Δl。
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梁的刚度计算
梁得强度与刚度验算
1．如图1所示一根简支梁长m,梁得自重为;钢材得等级与规格(,),，，,均为已知。梁上作用恒荷载,荷载密度为,荷载分项系数为1、2,截面塑性发展系数为,。试验算此梁得正应力及支座处剪应力。
图1
解:
(1）计算作用在梁上得总弯矩
需要计算疲劳得梁，按弹性工作阶段进行计算,宜取。
(2)梁得抗剪强度
一般情况下,梁同时承受弯矩与剪力得共同作用。工字形与槽形截面梁腹板上得剪应力分布如图5-3所示。截面上得最大剪应力发生在腹板中与轴处。在主平面受弯得实腹式梁,以截面上得最大剪应力达到钢材得抗剪屈服点为承载力极限状态。因此,设计得抗剪强度应按下式计算
ﻩﻩﻩﻩ(5-7）
式中:——腹板计算高度边缘同一点上得弯曲正应力、剪应力与局部压应力。按式（5－5)计算，按式(5-6)计算,按下式计算
ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ(5-８)
——净截面惯性矩；
y——计算点至中与轴得距离;
均以拉应力为正值,压应力为负值;
——折算应力得强度设计值增大系数。当异号时,取=１、2;当同号或＝0取＝１、1。
ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ（5-5）
式中:V——计算截面沿腹板平面作用得剪力设计值;
S——中与轴以上毛截面对中与轴得面积矩；
I——毛截面惯性矩;
tw——腹板厚度;
fv——钢材得抗剪强度设计值。
图５－３腹板剪应力
当梁得抗剪强度不满足设计要求时,最常采用加大腹板厚度得办法来增大梁得抗剪强度。型钢由于腹板较厚,一般均能满足上式要求,因此只在剪力最大截面处有较大削弱时,才需进行剪应力得计算。
梁得强度与刚度计算
１．梁得强度计算
梁得强度包括抗弯强度、抗剪强度、局部承压强度与折算应力,设计时要求在荷载设计值作用下,均不超过《规范》规定得相应得强度设计值。
材料力学第8章梁的位移分析与刚度设计
材料力学第8章梁的位移分析与刚度设计梁的位移分析与刚度设计是材料力学中的重要内容，本章将详细讨论这一主题。
首先，我们将学习如何计算梁在受力作用下的位移，然后将介绍梁的刚度设计。
梁的位移分析是研究在给定外力作用下梁的变形情况。
梁的位移是描述梁形变的一个重要参数，它可以反映梁的刚度特性。
在计算梁的位移时，我们需要应用位移-力关系。
梁的位移可以通过积分方法求解。
首先，我们可以根据梁的几何形状和外力作用情况建立梁的运动方程。
然后，可以利用平衡方程进行求解。
在求解过程中，我们需要考虑梁的边界条件和材料的力学特性，如杨氏模量和截面积。
一般情况下，我们可以将梁的位移分为两个部分：切向位移和法向位移。
切向位移是梁沿梁轴方向的位移，用u表示。
法向位移是梁在横截面上的位移，用v表示。
通过计算这两个位移，可以得到梁的整体位移。
梁的位移分析对于工程设计非常重要。
它可以帮助我们了解梁的形变情况，从而设计更合理的结构。
此外，梁的位移还可以用于计算应力和应变，进一步分析梁的受力情况。
梁的刚度设计是根据梁的位移要求设计梁的刚度。
刚度是指梁对力的抵抗能力，可以表示梁的刚度特性。
在刚度设计中，我们需要根据梁的应力要求确定梁的截面形状和尺寸。
刚度设计的目标是使梁在承受一定荷载下的变形满足设计要求。
在设计过程中，我们需要考虑梁的强度和刚度，以确保梁的安全性和稳定性。
此外，我们还需要考虑经济性，尽可能减少材料的使用量。
在刚度设计中，我们可以使用材料的力学性质和梁的几何尺寸来计算梁的刚度。
常用的方法有弹性理论法和极限平衡法。
在弹性理论法中，我们可以根据梁的几何形状和外力作用，利用弹性力学公式计算梁的刚度。
在极限平衡法中，我们可以根据荷载条件和材料的破坏特性，计算梁的刚度限制。
总结起来，梁的位移分析与刚度设计是材料力学中的重要内容。
通过位移分析，我们可以了解梁的形变情况，并计算应力和应变。
刚度设计则可以帮助我们设计梁的刚度，确保结构的安全性和稳定性。
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《工程力学》试题库第一章静力学基本概念4. 试计算图中力F对于O点之矩。
解：M O(F)=07. 试计算图中力F对于O点之矩。
解： M O(F)= -Fa8.试计算图中力F对于O点之矩。
解：M O(F)= F(l＋r)19. 画出杆AB的受力图。
24. 画出销钉A的受力图。
物系受力图26. 画出图示物体系中杆AB、轮C、整体的受力图。
29. 画出图示物体系中支架AD、BC、物体E、整体的受力图。
30. 画出图示物体系中横梁AB、立柱AE、整体的受力图。
32. 画出图示物体系中梁AC、CB、整体的受力图。
第二章平面力系3. 图示三角支架由杆AB，AC铰接而成，在A处作用有重力G，求出图中AB，AC所受的力（不计杆自重）。
解:（1）取销钉A画受力图如图所示。
AB、AC杆均为二力杆。
（2）建直角坐标系，列平衡方程：∑F x＝0，-F AB+F AC cos60°＝0∑F y＝0，F AC sin60°-G＝0（3）求解未知量。
F AB＝0.577G（拉）F AC＝1.155G（压）4.图示三角支架由杆AB，AC铰接而成，在A处作用有重力G，求出图中AB，AC所受的力（不计杆自重）。
解（1）取销钉A画受力图如图所示。
AB、AC杆均为二力杆。
（2）建直角坐标系，列平衡方程：∑F x＝0，F AB-F AC cos60°＝0∑F y＝0，F AC sin60°-G＝0（3）求解未知量。
F AB＝0.577G（压）F AC＝1.155G（拉）6. 图示三角支架由杆AB，AC铰接而成，在A处作用有重力G，求出图中AB，AC所受的力（不计杆自重）。
解（1）取销钉A画受力图如图所示。
AB、AC杆均为二力杆。
（2）建直角坐标系，列平衡方程：∑F x＝0，-F AB sin30°+F AC sin30°＝0∑F y＝0， F AB cos30°+F AC cos30°-G＝0（3）求解未知量。
第8章弯曲刚度(完整版)
因此，对于某根具体的梁，只要列出它的弯矩 方程M = M(x)，将其代入 EIw( x ) M ( x ) ，对
x连续积分后有：
EIw M ( x ) dx C1 EIw [ M ( x ) dx ] dx C1 x C 2
利用梁的位移条件确定式中的积分常数，就得转角 方程 = (x) = w'(x)和挠度方程 w = w (x) ，从而也 就可以求某个具体横截面处的转角和挠度了。
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弯曲刚度
5
1.梁的曲率与位移
根据上一章所得 到的结果，弹性范围 内的挠度曲线在一点 的曲率与这一点处横 截面上的弯矩、弯曲
刚度之间存在下列关
系：
M ＝ EI
1
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弯曲刚度
6
2.挠度与转角的相互关系 梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变， 这种位置的改变称为位移。梁的位移包括三部分：
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弯曲刚度
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（2）位移边界条件
积分法中常数由梁的约束条件与连续条件确定。约束 条件是指约束对于挠度和转角的限制： 在固定铰支座和辊轴支座处，约束条件为挠度等于
零：w=0;
在固定端处，约束条件为挠度和转角都等于零： w=0， θ ＝0。 连续条件是指，梁在弹性范围内加载，其轴线将弯曲 成一条连续光滑曲线，因此，在集中力、集中力偶以及
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弯曲刚度
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3.研究梁的挠度和转角的目的：
(1) 对梁作刚度校核，即检查梁弯曲时的最大 挠度是否超过按要求所规定的容许值；
(2) 解超静定梁。如下图所示梁。
F1 A FA FC
C
F2 B FB
结构力学 第八章
根据工字形截面的特点,可知,截面的最大弯曲正应力为
σ max
8-2、受集度为 q 的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为α=30o， 如图所示。己知该梁材料的弹性模量 E=10GPa；梁的尺寸为 l=4m，h=160mm；b=120mm；许用应力 [σ]=l20MPa;许可挠度[w]=l/1150。试校核梁的强度和刚度。
max My = F2 l = 1.0 × 0.8 = 0.8 ( kN .m )
14 号工字钢的抗弯截面模量分别为
Wz = 102cm3 ;
Wy = 16.1cm3
max 3 × 103 0.8 ×103 M zmax M y = + = + = 79.1× 106 ( Pa ) −6 −6 102 × 10 16.1×10 Wz Wy
8-10、受拉构件形状如图，己知截面尺寸为 40mm×5mm，承受轴向拉力 F=l2kN。现拉杆开有切口，如不 计应力集中影响，当材料的[σ]=100MPa 时，试确定切口的最大许可深度，并绘出切口截面的应力变 化图。
38MPa
100 MPa A-A 截面应力分布图
解、由于切口的存在，在切口截面载荷为偏心力，切口截面上的轴力和弯矩分别为
3 3 2⎤ ⎡1 ⎤ ⎡1 I zC = ⎢ ( 4a )( 2a ) + ( 4a )( 2a ) a 2 ⎥ + ⎢ a ( 4a ) + ( 4a )( a )( 2a ) ⎥ = 32a 4 ⎣12 ⎦ ⎣12 ⎦ 1 1 3 I yC = ( 2a )( 4a ) + ( 4a ) a 3 = 11a 4 12 12
2
, FN = qx x = qx sin α
第8章 梁的弯曲变形及其刚度计算(练习题)
在自由端承受集中力P作用的悬臂梁AB长度为l，
EI为常数。试求其转角与挠度方程，以及最大的转角
θmax与挠度ymax。
第8章 梁的弯曲变形及其刚度计算(练习题)
一、单项选择题
1、通常我们用（
A.挠度和转角 答案：A
）度量梁的弯曲变形。
C.角应变 D.应变
B.单位长度扭转角
bh3 8b 4 I1 12 12
hb 2b 1 I2 I1 12 12 4
3 4
bh2 4b 3 W1 6 6
hb 2 2b 3 1 W2 W1 6 6 2
wmax 2 4wmax 1
max 2 2 max 1
第8章 梁的弯曲变形及其刚度计算(练习题)
就能减小 max 。而梁的最大挠度和转角却与整个梁的 EI 都有关， 局部加大
第8章 梁的弯曲变形及其刚度计算(练习题)
2、如图所示，高宽比h/b=2的矩形截面梁，若将梁的横截 面由竖放改为平放，其它条件不变，则梁的最大挠度和最大正
应力分别为原来的——倍。
A.2和2 B.4和2 F
F
C.4和4
D.8和4
c h
z
y b
第8章 梁的弯曲变形及其刚度计算(练习题)
答案：B
wmax 与 EI 成反比， max 与 W 成反比。
一、单项选择题
3、在等直梁的最大弯矩所在截面附近，局部加大横截面的尺寸（ ）。
A.仅对提高梁的强度是有效的 C.对提高梁的强度和刚度都有效 B. 仅对提高梁的刚度是有效的 D. 对Wz
，式中 W z 是 M max 所在截面的抗弯截面系数，加大它 并不能显著地减小变形。 I
第8章-梁的变形分析与刚度问题
（3）弹簧铰支座（弹簧系数 ） ）弹簧铰支座（弹簧系数k） w F 例如： 例如： T = k wB = F / 2 F B A x l F l FT x = 0, w = 0 x = 2l, w = −
2k
常见的分段点连续条件： 常见的分段点连续条件： （1）连续的挠曲轴上的分段点 ） 连续挠曲线上任意一点只有一个挠度、一个转角。 连续挠曲线上任意一点只有一个挠度、一个转角。 个分段点处： 第i个分段点处： 个分段点处 Mi(x) Mi+1(x) i xi wi(x) wi+1(x) (2) 中间铰处 A w1(x) l B w2(x) l C x 挠度连续 转角连续
分段表示， （若梁的M(x)分段表示，上式也应分段表示） 若梁的 分段表示 上式也应分段表示）
1 ∴ ≈ ±w′′( x) M>0 ρ( x) M ( x) ± w′′( x) = w′ (x) > 0 EI
计算梁的位移的积分法
挠曲线近似微分方程
d 2 w M ( x) = 2 dx EI
(13.12)
1b 3 1 3 EIw2 = Fx2 − F( x2 − a) + C2 x2 + D2 6l 6
例题
例 题 13-6
3.定解条件： 定解条件： 定解条件
w
A
w1(x)
a
EI
F w2(x) b
C l
B
FA
x1 x2
x
FB
解得常数为： 解得常数为：
例题
例 题 13-6
4.求最大转角： 求最大转角： 求最大转角
称为叠加原理 称为叠加原理
2.弯曲位移计算的载荷叠加法 利用基本变形表 弯曲位移计算的载荷叠加法 利用基本变形表13.2
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第八章梁的强度与刚度
1. 矩形截面简支梁受载如图所示，试分别求出梁竖放和平放时产生的最大正应
力。
2. 外伸梁用№16a号槽钢制成，如图所示。
试求梁内最大拉应力和最大压应力，
并指出其作用的截面和位置。
3.求图示各图形对形心轴z的截面二次矩。
4. 求图示各图形对形心轴z的截面二次矩。
5.求图示截面对水平形心轴z的截面二次矩。
6. 外伸梁受均布荷载作用，q=12kN/m，[σ]=160MPa。
试选择此梁的工字钢
型号。
7. 空心管梁受载如图所示。
已知[σ]=150MPa，管外径D=60mm，在保证安全
的条件下，求内经d的最大值。
8. 铸铁梁的荷载及横截面尺寸如图所示，已知I z=7.63×10-6m4，[σt]=30MPa，
[σc]=60MPa，试校核此梁的强度。
9. 简支梁受载如图所示，已知F=10kN，q=10kN/m，l=4m，a=1m，
[σ]=160MPa。
试设计正方形截面和矩形截面（h=2b），并比较它们截面面积的大小。
10.由№20b工字钢制成的外伸梁，在外伸端C处作用集中力F，已知
[σ]=160MPa，尺寸如图所示，求最大许可荷载[F]。
11. 压板的尺寸和荷载情况如图所示，材料系钢制，σs=380MPa，取安全系数
n=1.5。
试校核压板的强度。
12. 试计算图示矩形截面简支梁1-1截面上a点和b点的正应力和切应力。
13. 图示外伸梁采用№16号工字钢制成，求梁内最大正应力和切应力。
14.一单梁桥式行车如图所示。
梁为№28b号工字钢制成，电动葫芦和起重重
量总重F=30kN，材料的[σ]=140MPa，[τ]=100MPa。
试校核梁的强度。
15.工字钢外伸梁，如图所示。
已知[σ]=160MPa，[τ]=90MPa，试选择合适的
工字钢型号。
16. 用叠加法求图示各梁中指定截面的挠度和转角，设梁的抗弯刚度EI z为常量。
17. 用叠加法求图示各梁中指定截面的挠度和转角，设梁的抗弯刚度EI z为常量。
18. 用叠加法求图示各梁中指定截面的挠度和转角，设梁的抗弯刚度EI z为常量。
19. 用叠加法求图示各梁中指定截面的挠度和转角，设梁的抗弯刚度EI z为常量。
20. 简化后的电机轴受荷载及尺寸如图所示。
轴材料的E=200GPa，直径
d=130mm，定子与转子间的空隙（即轴的许用挠度）δ=0.35mm，试校核轴的刚度。
21. 工字钢悬臂梁如图所示。
已知q=15kN/m，l=2m，E=200GPa，
[σ]=160MPa，最大许用挠度[ω]=4mm，试选取工字钢型号。
22. 试求图示超静定梁的支座反力，并画弯矩图，设EI z为已知常数。
23.试求图示超静定梁的支座反力，并画弯矩图，设EI z为已知常数。