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用图像法解追及问题

（说明：六种情况下，两物同时、同地、同向出发）

（一）

匀

加

速

追

匀

速

时（二）

匀

速

追

匀

减

速

（三）

匀

加

速

追

匀

减

速

v

V1

x

V2

0 t 0 t 1、 t=t

以前，后面的物

体与前面间的物体

间的距离增大。

v 2、 t=t 0 时，两物体相距V 最远为 x0x 。

1

x 3、 t=t

以后，后面的物V2 体与前面物体韹距

离减小。

4、能追及且只能相遇

一次。

0 t 0 t

5、说明：x0为在t0时

间内做匀速运动的

物体通过的距离。

v

V1

x

V2

t 0t

（四）

匀

减

速

追

匀

速

v

V2

V x 开始追及时，后面1 的物体与前面物体间的

距离在减小，当两物体

0 t 1t 0t 2 t 速度相等时，即 t t0时

刻：

（五）

匀

速

追

匀

减

v

V1

x

V2

1、若x x0，则恰能

追及，两物体只能相

遇一次，这民是避免

相撞的临界条件。

2、若x x0，则不能

追及，此时两物体有

最小距离为

速

（六）

匀

减

速

追

匀

匀

加

速

x0 x 。

0 t 1t 0t 2 t

x x0，则相遇

3、若

两次，设 t1时刻

x1 x0，两物体第v

一次相遇，则 t 2时

刻两物体第二次相V2 遇。

x

V

1

0 t 1 t 0 t 2 t

例题：甲、乙两质点同时开始在彼此靠近的两水平轨道上同向运动，甲在前，乙在后，相距

为 x。甲的初速度为零，加速度为 a，做匀加速直线运动。关于两质点在相遇前的运动，某同学作如下分析：

设两质点相遇前，它们韹距离为x ，则x 1 at2 x v0t ，当 t v

0时，两质点的

2 a

的距离x 有最小值，也就是两质点速度相等时，两质点间的距离最近。

你觉得他的分析是否正确？如果认为是正确的，请求出它们间的最小距离；如果不正确，请说明理由，并作出正确分析。

思维导图：

交点此时相遇

x v02 /(2 a) 只能相遇一次

作 A 表

v-t 示速

x v02 /(2 a) 此时 v乙＞ v甲可以相遇

度相

二次

等

x v02 /(2 a)

不能相遇

解析：乙在后匀速，甲在前匀加速，相遇前两者之间的距离变化规律是不确定的，这完全取决于两质点间的初始距离x 与v0、 a 之间的大小关系，所以该同学的分析不正确。

分别作出两者的速度－时间图像如图所示。

v

交点 A 表明此时两者的速度相等。（ 1）

v

0 ) 恰好相遇，则阴甲若此时( 对应的时刻为

a

0 A 乙影面积即为 x，即x v02 ，从图上看，再以后

V 2a

x

X

v甲＞ v乙，不再相遇，相遇前距离一直减小到零；

0 t 1 V0/a t 2 t （ 2）若x v02 时，相遇时 v甲

2a

距离一直减小，以后乙在前，距离变大直到 A 点， A 点后，v甲＞v乙，距离又变小直到二次

相遇；（ 3）若x v

02时，两者具有相同速度，甲仍在前，乙在后，还没有相遇，距离还是2a

x v02 ，以后 v甲＞ v乙，就更不能相遇了。相同速度时有最小距离，即x v02 。

2a 2a

注意：弄清追及和被追物体因速度变化而引起两者间距离的变化过程，是解追及和相遇问题的关键，而两者速度相等是相距最远（或最近）的临界条件。

此题也可用解析法：

根据题意：甲、乙相遇的须满足：x 1 a t 2 v0t , 即1 at2 v0t x 0

2 2

（ 1）当 b2 4ac v02 4 1 ax 0 ，即满足 x v02 ，方程有两解，即甲、乙相遇

2 2a

两次；

（ 2）当 b 2 4ac 2 4 1

0 ，即 x

v02

时，甲、乙相遇一次；

v0 ax

2a 2

（ 3）当 b2 4ac v02 4 1

ax 0 ，即 x v02 时，方程无解，甲、乙不能相遇。

2 2a