测量误差分析 ppt课件

算术平均值 x为
n
xx1x2 xn i1 xi
n
n
测量误差分析
算术平均值的性质 用算术平均值代替被测量的真值，则有
vi xi x
式中 vi —— xi的剩余误差； xi —— 第i个测量值，i=1，2，…，n。
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（1）剩余误差的代数和等于零，即
n
vi 0
i 1
（2）剩余误差的平方和为最小，即
子样平均值：代表由n个测定值x1, x2, …, xn 组成的子样的散布中心
x
1 n
n i1
xi
子样方差：描述子样在其平均值附近散布
程度
s2
1 n
n i1
(xi
x)2
测量误差分析
测定值子样的算术平均值是被测量真值的最 佳估计值。
算术平均值的意义
设x1、x2、…，xn为n次测量所得的值，则
在一定条件下进行等精度测量时，任何单次 测定值的误差δi可能都不等于σ，但我们认为 这列测定值具有同样的均方根误差σ；而不同 条件下进行的两列等精度测量，一般来说具 有不同的σ值。
测量误差分析
随机误差出现的性质决定了人们不可能 正确地获得单个测定值的真误差δi的数值，
而只能在一定的概率意义之下估计测量随机 误差数值的范围，或者求得误差出现于某个 区间得概率。
测量误差分析
一列等精度测量的结果可以表达为在一定 的置信概率之下，以测定值子样平均值为 中心，以置信区间半长为误差限的量 测量结果＝子样平均值±置信区间半长（置 信概率P＝？）
测量误差分析
在等精度测量条件下对某透平机械的 转速进行了20次测量，获得如下的一列测 定值（单位：r/min） 4753.1 4757.5 4752.7 4752.8 4752.1
单峰性：绝对值小的误差出现的概率大， 绝对值大的误差出现的概率小，绝对值为 零的误差出现的概率比任何其它数值的误 差出现的概率都大。
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对称性：绝对值相等而符号相反的随机 误差出现的概率相同，其分布呈对称性。
抵偿性：在等精度测量条件下，当测量 次数不断增加而趋于无穷时，全部随机 误差的算术平均值趋于零。
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正态分布的分布密度函数为
f
1
2
e22
2
式中，—— 标准误差（均方根误差）；
e —— 自然对数的底。
如用测定值x本身来表示，则
f x
1
e(x2X20)2
2
测量误差分析
lim n
1 n
n
i2
i1
测量误差分析
对于一定的被测量，在静态情况下，X0 是一定的，σ的大小表征着诸测定值的弥
λ为置信区间半长，也称为误差限 概率 P(xx)为测量经过在置信区
间 x ,x 内的置信概率。 危险率：P(xx)1
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置信区间与置信概率共同表明了测量结 果的置信度，即测量结果的可信程度。
对于同一测量结果，置信区间不同，其 置信概率是不同的。
置信区间越宽，置信概率越大；反之亦 然。
在总体上却遵循一定的统计规律。
测量误差分析
测量列中的随机误差： δi = xi－X0
式中,δi —— 测量列的随机误差，i = 1，2， 3，…，n；
xi —— 测量列的测量值； X0 —— 被测量的真值。
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随机误差分布的性质
有界性：在一定的测量条件下，测量的随 机误差总是在一定的、相当窄的范围内变 动，绝对值很大的误差出现的概率接近于 零。
测量误差分析
当对同一量进行多次等精度重复测量，得到一 系列不同的测量值，称为测量列。
利用统计学的方法，从理论上来估计随机误差 对测量结果的影响，也就是首先从测量列中求 得一个最优概值，然后对最优概值的测量误差 作出估计，得出测量值，这就是数据处理。
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一、随机误差的正态分布性质
测定值的随机性表明了测量误差的随机性质。 随机误差就其个体来说变化是无规律的，但
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将正态分布密度函数积分
x
Fx
1 e dx (x2X20)2
2
概率积分
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P(ab) b 1 e222d
a 2
P ( aa)P (a)20 a1 2e2 22d
若令a=zσ，则
P (a)P (z)2 2 0 zez 2 2dz(z)
测量误差分析
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0.447
xn
P 9 % 5 z 1 . 9 6 0 . 8 0 7 . 96
速 度 4 7 5 2 .0 0 .9 ( r/m in ) ( P 9 5 % )
4749.2 4750.6 4751.0 4753.9 4751.2
4750.3 4753.3 4752.1 4751.2 4752.3
4748.4 4752.5 4754.7 4650.0 4751.0 试求该透平机转速（设测量结果的置信概 率P＝95％）。
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x 4 7 5.20
2.0
在区间[μ－λ, μ＋λ]的概率为 P(x)
测量误差分析
P(x)表示“测定值子样平均 值这一随机变量出现于一个固定区间
内 ,”这一事件的概率；
P(xx)表示“在宽度一定作随 机变动的随机区间x ,x 内包含被 测量真值”这一事件的概率。
测量误差分析
定义区间 x,x 为测量结果的置信区 间，也称为置信限
i1
xiX0 2
n
n
n
因为真值X0为未知，所以必须用残差vi 来表示，即
n
vi2
i1
n1
n
2
xi x
i1
n1
此式称贝塞尔公式。
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假设用 对x μ进行估计的误差为
， 那 x
么 x
x
。对于某一指定的区间[－λ,
λ]，
落在该 区间内的概率为 x
P(。 ) x
同样地，可以求得测定值子样平均值x 落
n
vi2 最小
i1
测量误差分析
测定值子样平均值的均方根误差是测定值 母体均方根误差的 1 / 倍n 。
x
n
在等精度测量条件下对某一被测量进行多 次测量，用测定值子样平均值估计被测量 真值比用单次测量测定值估计具有更高的 精密度。
测量误差分析
n
n
1 22 2
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n 2
i1
2 i
散程度。
σ值越小，正态分布密度曲线越尖锐，幅 值越大；σ值越大，正态分布密度曲线越 平坦，幅值越小。
可用参数σ来表征测量的精密度，σ越小， 表明测量的精密度越高。
测量误差分析
测量误差分析
σ并不是一个具体的误差，它的数值大小只说 明了在一定条件下进行一列等精度测量时， 随机误差出现的概率密度分布情况。