第22讲：解析几何(一)直线和圆 作业

第二十二讲 解析几何（一）直线和圆

课后作业

【1】（2008武大）圆22

:(1)(2)9C x y -++=上的点到坐标原点O 的最小距离为( )

A.1

B.1+

C.3-

D.1)

【2】（2009华南理工）已知圆222

:O x y r +=，点(,)(0)P a b ab ≠是圆O 内一点，过点P 的圆O 的最短的弦在直线1l 上，直线2l 的方程为2

bx ay r -=，那么( )

A.12//l l 且2l 与圆O 相交

B.12//l l 且2l 与圆O 相离

C.21l l ⊥且2l 与圆O 相切

D.21l l ⊥且2l 与圆O 相离

【3】（2007武大）如果直线10(R ,)ax by a b -∈+=平分圆22

:2410y C x y x -++=+的周长，那么ab 的取值范围是( ) A.1,4

⎛∞⎤- ⎥⎝

⎦

B.1,8

⎛∞⎤

- ⎥⎝

⎦

C.10,4

⎛⎤ ⎥⎝

⎦

D.10,8

⎛⎤ ⎥⎝

⎦

【4】已知三个圆两两相交，对于每两个圆，作它们的公共弦所在直线。 求证：这三条直线要么两两平行，要么三线共点。

【5】已知2sin cos 10a a θθ+-=，2sin cos 10b b θθ+-=（a b ≠）。

求证：无论,a b 取何实数，坐标原点到经过两点2

(,)a a ，2

(,)b b 的直线的距离为定值。

第二十二讲 解析几何（一）直线和圆

参考答案

【1】（2008武大）圆22

:(1)(2)9C x y -++=上的点到坐标原点O 的最小距离为( )

A.1

B.1+

C.3-

D.1)

【答案】C

【解析】圆心(1,2)C -

3r =。 故原点O 在圆内，圆上的点到原点O

的最小距离为3r d -=

【2】（2009华南理工）已知圆222:O x y r +=，点(,)(0)P a b ab ≠是圆O 内一点，过点P 的圆O 的最短的弦在直线1l 上，直线2l 的方程为2

bx ay r -=，那么( )

A.12//l l 且2l 与圆O 相交

B.12//l l 且2l 与圆O 相离

C.21l l ⊥且2l 与圆O 相切

D.21l l ⊥且2l 与圆O 相离

【答案】D

【解析】1l 过点(,)P a b ，且与OP 垂直，故22

1:0l ax by a b +--=。

于是21l l ⊥。

O 到2l

的距离2d =

=

，由于点P 在圆O 内，有222a b r +<。

从而有2d r ==

>，故2l 与圆O 相离。

【3】（2007武大）如果直线10(R ,)ax by a b -∈+=平分圆22

:2410y C x y x -++=+的周长，那么ab 的取值范围是( ) A.1,4

⎛∞⎤- ⎥⎝

⎦

B.1,8

⎛∞⎤

- ⎥⎝

⎦

C.10,4

⎛⎤ ⎥⎝

⎦

D.10,8

⎛⎤ ⎥⎝

⎦

【答案】B

【解析】由题意，直线10ax by -+=过圆心(1,2)C -。

于是有21a b +=。故2

11(12)2,4188ab b b b ⎛⎫⎛⎤=-=--+- ⎪ ⎥⎝

⎭⎝∞⎦∈。

【4】已知三个圆两两相交，对于每两个圆，作它们的公共弦所在直线。 求证：这三条直线要么两两平行，要么三线共点。 【解析】设这三个圆的方程分别为

221111:0C x y D x E y F ++++= 222222:0C x y D x E y F ++++= 223333:0C x y D x E y F ++++=

则它们两两之间的公共弦所在直线方程分别为：1121212:()()()0l D D x E E y F F -+-+-=，

2232323:()()()0l D D x E E y F F -+-+-=和3313131:()()()0l D D x E E y F F -+-+-=。

若12//l l ，则有12232312()()()()D D E E D D E E --=--

整理，变形，可得12313112()()()()D D E E D D E E --=--，于是13//l l 。 若21l l P ⋂=，设点11(,)P x y ，于是有12112112()()()0D D x E E y F F -+-+-= 和23123123()()()0D D x E E y F F -+-+-=。

两式相加后取相反数，则有331131131:()()()0l D D x E E y F F -+-+-=。 从而点P 在3l 上。

【5】已知2sin cos 10a a θθ+-=，2sin cos 10b b θθ+-=（a b ≠）。

求证：无论,a b 取何实数，坐标原点到经过两点2

(,)a a ，2

(,)b b 的直线的距离为定值。 【解析】令直线l 的方程为cos sin 10x y θθ+-=，则由已知条件，2

(,)a a ，2(,)b b 均在直线l 上。故cos sin 10x y θθ+-=就是经过两点2

(,)a a ，2(,)b b 的直线。

于是1l O d →=

=为定值。