第3章 桁架、组合结构计算

线上的两杆的内力
相等且性质相同。
例1 用结点法计算图中所示桁架在 半跨集中荷载作用下各杆的内力。
10kN 20kN 10kN
4 1
5
2
2m
H1=0
1
3
2
6 5 7 4 2m=8m
8
V1
V8
(1) 计算桁架的支座反力
X=0
H1=0
H1=0
10kN
20kN
4
10kN
1
1
5
2
2m
3
2
6 5 7 4 2m=8m
根据比例关系 求出 N25 。
计算3-4杆内力N34 ：
o
a
M2 =0
V25 Ⅰ H25 2 5 r1 N34 H24 4 1 3 V1 P1 V24
Ⅰ
V1 d N34 h1=V1 d N34 = h1
计算2-4杆内力N24 ：
Mo =0
o
a
V25 Ⅰ H25 2 5 r1 N34 H24 4 1 3 V1 P1 V24
10kN
20kN
10kN
4
1
5
2
H1=0
1
3
2
6 5 7 4 2m=8m
2m
8
V1
V8
V34
20kN
4
H34
3
40kN
H35
2
M5 =0
1
5
20kN
V35
H34 2 + 20 4 H34 = 20kN 20 2=0
利用比例关系
V34 = 10kN
N34 = 5 V34 = 5 ( 10) = 22.36kN
Ⅰ
V24 (2d+a)+P1(a+d) V1 a=0 V1 a P1(a+d) V24 = 2d+a
2）投影方程法： 5II 7
2
1
8
10
h1
3 P 1
4 II 6 P3 9 P4 11 P
2
h2
12
V1
求斜杆5-6的内力 N56 。
L=6d P P 2 2 P 1 P 3
V12
P4
选垂直于弦 杆的竖轴作为 投影轴。
I
2
1
5
7
8
10
h1
3 4 I P 1 P 2
h2
12
V1
6 P 9 11 P4 3
L=6d
V12
P4
用Ⅰ-Ⅰ截面截取隔离体。建 立平衡方程时，应尽量使每一个 方程只包含一个未知力。
P 1
P2
P3
计算2-5杆内力N25：以杆2-4，3-4 的交点4为矩心。为了避免求N25
的力臂r1，可将N25在结点5处分解
N34 =N3C
HA
5m
VA
4m
VB
HB
5 I
C
2
P
6
3m
4
1
I
3
HA VA
5m
A 4m
B 4m
VB
HB
用截面Ⅰ-Ⅰ截断5C和2C两杆， 并取左半部分作为隔离体。
5
1
V2C N5C H2C
Y=0
P V2C = 2
5
比例关系
3
4
1 P 4
A 1
2
P
4 2P H2C = V2C = 3 3 5 5P N2C = V2C = 3 6 （压力）
二力杆 组合结构 梁式杆 M、Q、N N
组合结构受力分析的特点： 先求二力杆的内力，并将其作 用于梁式杆上，再计算梁式杆的弯 矩、剪力和轴力。 计算二力杆的内力与分析桁 架的内力一样，可以采用结点法 及截面法。
注意：如果二力杆的一端与梁式 杆相联结，则不能引用结点平衡特殊 情况的结论来判定二力杆的内力。 P
N V H = 比例关系，可 利用 = L Ly Lx 以很简便地由N推算出H、V，或者
反过来由H推算V、N，或由V推算
H、N，而不需使用三角函数进行
计算。 5. 符号规定：杆的轴力拉力为 正，压力为负。
6. 结点平衡的特殊情况
N1 N2
N1=N2 =0
1)不共线的两杆结 N4 N1 N2 N1 点上无荷载作用时， N2 N 3 则两杆的内力都等于 N3 零。凡内力等于零的 N =N N =N
2. 联合桁架：由几个简单桁架联合 组成几何不变的铰结体系，这类桁 架称为联合桁架。 C
A
B
3. 复杂桁架：不属于前两类的静定
桁架，称为复杂桁架。
静定平面桁架的计算 结点法 数 解 法
截面法
结点法和截面法 二者的联合应用
一、结点法 1. 结点法：截取桁架结点为 隔离体，利用平面汇交力系的两 个平衡条件计算各杆的未知力。 2. 适用范围：结点法最适用 于计算简单桁架。 3. 计算顺序：逆组成次序， 依次截取各结点求解。
3.计算方法：截面法可分为力 矩方程法和投影方程法。 1）力矩方程法：给作用于隔 离体上的力系建立力矩平衡方 程以计算轴力的方法。关键是 选取合理的力矩中心。
2
1
5
7
8
10
h1
3 P 1
4
h2
12
V1
P2
6 P 9 11 P4 3
L=6d P P 2 2 P 1 P 3
V12
P4
求2-5、2-4和3-4杆内力。
N4
N3
N1=N2 =0 N1=N2
N3 =0 N2 N3
N1=N2
2)三杆结点上无荷载作用时，如其 N3 =N4 中有两杆在一直线上，则另一杆必 为零杆，而在同一直线上的两杆的 内力必相等且性质相同。
N4 3) 四杆结点上无荷 N1 N2 N1 N1 N2 N1 N2 载作用时，若其中 N2 N3 N3 两杆在一直线上， N1=N N1=N2 而另两杆在另一直 N1=N2 2 =0 N1=N2 N3 =0 线上，则在同一直 N3 =N4
杆件可简称为零杆。 N3 =0 N3 =N4
1 2 1 2
N1 N2
N1 N2
N1 N N1 N 2 2 1=N
N4
N2
N3 若两杆在同一直线上，则两杆 N1=N2 =0 N1=N2 N1=N2 的内力必相等且性质相同（指受拉 N3 =0 N3 =N4 或受压）。
N3
N1 N2
N1 N2
N1 N2 N 11=N2 N
第三章 静定桁架的计算 一、桁架的特点 对于大跨度的结构，通常可 以采用桁架。 实际桁架 理想平面桁架 为了便于计算 假设
对实际桁架的计算简图采用下列假定： (1)桁架的结点都是绝对光 滑而无摩擦的铰结点。 (2)各杆的轴线都是直线且在同 一平面，并通过铰的中心。 (3)荷载和支座反力都作用在结 点上，并位于桁架的平面内。
2
5
Ⅱ
H56
V56
Y=0
1
3
4
V1
P1
P2
Ⅱ
V1 P1 P2 V56 =0
V56 =V1 P1 P2
利用比例关系 求 N56
三、结点法与截面法的 联合应用 在桁架计算中，有时联 合应用结点法和截面法更为
方便，见例题3-4-3。
静定组合结构的计算
组合结构：由只承受轴力的二 力杆和承受弯矩、剪力和轴力的梁 式杆所组成的结构。
10kN
20kN
10kN
4
1
5
2
H1=0
1
3
2
6 5 7 4 2m=8m
2m
8
V1
V8
10kN
20kN
10kN
4
1
5
2
H1=0
1
3
2
6 5 7 4 2m=8m
2m
8
V1
V8
N25 =N21 N75 =N78 N64 =N68
按结点1→2→3→4→5→6→7的顺 序依次取各结点为隔离体进行计算。
M8 =0
V1=30kN
8
V1
V8
V1 8 10 8 20 6 10 4=0
10kN
20kN
4
10kN
1
5
2
2m
H1=0
1
3
2
6 5 7 4 2m=8m
8
M1=0
V8 =10kN
V1
V8
V8 8 20 2 10 4=0
(2)计算各杆内力 为简化计算，首先应判断零杆。 杆67，杆56和杆23为零杆。
1)计算支座反力
5
C
2
P
6
3m
4
P VA =VB = 2 HA =HB
3
1
A 取结构左半 部分为隔离体 V 4m A
HA
5m
B 4m
MC =0
VB
HB
HA 8=VA 4
P HA =+HB = 4
2)计算二力杆内力 判断零杆：
5
C
2
P
6
3m
4 B
杆25和杆36为 零杆。
3
1 A 4m
N21=N2C
由于结构荷载均对称，故
M和N图为对称图形，Q图为反 对称图形。
5
5P 4
C
6 3
4
5P 4
2
1
A
B
M图
5
5 P 12
6
C
3
4 A
P 4
5 P 12
P 4
B
Q图
5
1
V2C N5C H2C
X=0
P N5C +H2C + =0 4
1 P 4
A 1
2
P
5 N5C = P 12 （拉力） 5P （压力） N21=N2C = 6
3)计算梁式杆的内力
将二力杆的
轴力作用于梁式
5
杆A-5上。根据
梁式杆上的作用
1 P 2 1
5 P 12 2 P 3
荷载，可以画出
1 A 1 P P 梁式杆的内力图。 4 2
4. 比例关系： AB杆的杆长L及 其水平投影Lx和 竖向投影Ly组 成一个三角形， 即几何三角形。
y
x
L
A
B
N H
V
Ly
Lx
AB杆的轴力N及其水平分力H和竖 向分力V也组成一个三角形，即力三 角形。
y
x
L
A
B
N H
V
Ly
Lx
由于两个三角形各边相互平行， 所以为相似三角形，故有比例关系： N V H = = L Ly Lx
利用结点8校核
4
-22.36 -22.36 3 6 -44.72 -22.36 10 -22.36 8 1 0 0 0 40 2 40 5 20 7 20 30
kN ） N 图（单位：
10
二、截面法 1.截面法：用截面截取桁架两个 结点以上的部分作为隔离体，利 用平面一般力系的三个平衡方程 计算所截各杆的未知力。 2.适用范围：适用于联合桁架以 及简单桁架中少数杆件的计算。
为两个分力 V25 和 H25。
o
a
V25 Ⅰ H25 2 5 r1 N34 H24 4 1 3 V1 P1 V24
Ⅰ
M4 =0 o
P1d V1 2d H25 = h2
a
V25 Ⅰ H25 2 5 r1 N34 H24 4 1 3 V1 P1 V24
V1 2d+H25 h2 P1 d=0 Ⅰ
结点1：
Y=0
V13
10kN
V13 =10 V1=10 30= 20kN
由比例关系得：
H13 2 = V13 1
H13
1
N12 V1
H13 =2 V13 = 40kN
V13
N13 5 = V13 1
10kN
H13
1
N13 = 5 V13
N12 V1
= 5 ( 20) = 44.72kN （压力）
结点5： 杆56为零杆
N56 =0
X=0
10kN

N57 +20 40=0
V56
10kN
N57 =20kN
（拉力）
20kN
H56
N57
N25 =40kN
5
10kN
20kN
10kN
4
1
5
2
H1=0
1
3
2
6 5 7 4 2m=8m
2m
8
V1
V8
N68 =N64 = 22.36kN 结点6：
结点7：N78 =N75 =20kN
桁架的杆件均为二力杆，即杆 只有轴力而无弯矩与剪力。杆件应 力分布比较均匀，可以充分发挥材
料的作用。
二、桁架的分类
桁架的杆件布置必须满足
几何不变体系的组成规律，静
定桁架根据几何构造的特点，
可以分为三类：
1. 简单桁架：从一个基础或一个 基本铰接三角形开始，依次增加 二元体，按这一规律组成的桁架 称为简单桁架。
理想 的平 面桁 架
P6
A
P1
C
P2 I
VA
腹杆、节间、节间长度
P4 P5 H 上弦杆 P7 E G 斜杆 竖杆 B D 下弦杆 F VB
P3
各杆均用轴线表示，结点的 小圆圈代表铰。荷载P和支座反力 都作用在结点上。
NCD
C
D
NDC
由于CD杆处于平衡状态，故杆 端所受二力大小相等，方向相反， 作用线即为杆的轴线，这样的杆称 为二力杆。
A
F
C
G
B
D
E
AC杆为梁式杆而不是二力杆， 它还有M、N和Q。因此FD杆不为 P 零杆。
A
F
C
G
B
D
E
F
组合结构由于在梁式杆 上装置了若干个二力杆，故 可使梁式杆的弯矩减小，从 而达到节约材料及增加刚度 的目的。
例 试求图中静定组合结构的内力。
5
C P
6
3m
4 B
5
2
1 A 4m
3
3
4
5m
4m
X=0
N12 = H13 =40kN （拉力）
结点2： 杆23为零杆
N23
N21=40kN
2
N25
N23 =0
N25 =N21=40kN （拉力）
结点3：
20kN
V34
H34
40kN
3
H35 V35
20kN N23 =0
为了避免解联立方程，将N34 在结点4处分解，N35在结点5处分 解，N31在结点1处分解，以结点5 为矩心，列力矩平衡方程。
（压力）
40kN
1
V34
20kN
4
H34
3
H35
2
5
20kN
V35
V34
20kN
4
H34
3
40kN
H35
2
X=0
1
5
20kN
V35
H35 +H34 + 40=0 H35 = 40 + 20= 20kN
V34
20kN
4
H34
利用比例关系
3
40kN