第三节 圆的方程

y＋1 x
表示过点A(0，－1)和圆(x－2)2＋(y
－1)2＝1上的动点P(x，y)的直线的斜率．当且仅当直线与圆
相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值．设切线方
程为y＝kx－1，即kx－y－1＝0，则
|2k－2| k2＋1
以由y＝－x和x－y＝0联立得交点坐标为(0,0)，由y＝－x和x－y
－4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－
1)，故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
(3)设圆C的圆心为(a，b)(b>0)，由题意得a＝2b>0，且a2＝
( 3)2＋b2，解得a＝2，b＝1.
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
2．形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距 的最值问题．
3．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点 到定点的距离的平方的最值问题．
考向(二) 建立函数关系求最值
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[例3] (2020·福建厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2
＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)，则
法二：(待定系数法)设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－ 返回 b)2＝r2，
由题意得2－－2－a2a＋2＋－3－－5b－2b＝2＝r2，r2， a－2b－3＝0，
解得ab＝＝－－12，， r2＝10，
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10. 法三：(待定系数法)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋
F＝0，则圆心坐标为－D2 ，－E2 .
由题意得4－＋D29＋－22D×－－3EE2＋－F3＝＝00，， 4＋25－2D－5E＋F＝0，
解得DE＝＝42，， F＝－5.
故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
(2)x－y＝0和x－y－4＝0之间的距离为|－24|＝2
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2，所以圆
的半径为 2 .又因为y＝－x与x－y＝0，x－y－4＝0均垂直，所
－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离d＝156，又|AB|＝ 32＋42
＝5，所以△ABP的面积的最小值为12×5×156－1＝121. 答案：121
2．已知实数x，y满足(x－2)2＋(y－1)2＝1，则z＝y＋x 1的最大值 返回 与最小值分别为________和________．
解析：由题意，得
＋(y＋a)2＝－
3 4
a2－a＋1，因为该方程表示圆，所以－
3 4
a2
－a＋1>0，即3a2＋4a－4<0，所以－2<a<23.
答案：－2，23
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4．若坐标原点在圆(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，则实数m的 取值范围是________． 解析：∵点(0,0)在(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，∴(0－ m)2＋(0＋m)2＜4，解得－ 2＜m＜ 2. 答案：(－ 2， 2)
[答案] (1)(x＋1)2＋(y＋2)2＝10 (2)(x－1)2＋(y＋1)2＝2
(3)(x－2)2＋(y－1)2＝4
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[解题技法] 1．求圆的方程常见的三种类型 (1)已知不共线的三点． (2)已知两点及圆心所在的直线． (3)已知直线与圆的位置关系．
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2．求圆的方程的两种方法 几何 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而 法 写出方程 待定 ①根据题意，选择标准方程与一般方程； 系数 ②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； 法 ③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程
圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为
________．
解析：x2＋y2－2y＝0可化为x2＋(y－1)2＝
1，则圆C为以(0,1)为圆心，1为半径的
圆．如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆
于点P，连接BP，AP，这时△ABP的面积
最小，直线AB的方程为
x 4
＋
y －3
＝1，即3x
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[常用结论] (1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充
A＝C≠0， 要条件是B＝0，
D2＋E2－4AF＞0. (2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x
－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
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[基础自测] 一、走进教材 1．(必修2P124A组T1改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是
b＝－a＋1，
则
a－12＋b－12＝|a＋b2－2|，
解得ba＝＝1212.，
所以r＝
1－122＋1－122＝
2 2.
故所求圆的方程为x－122＋y－122＝12.
答案：x－122＋y－122＝12
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考点二 与圆有关的最值问题
定向精析突破
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考向(一) 借助几何性质求最值 [例2] 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则 (1)xy的最大值和最小值分别为________和________； (2)y－x的最大值和最小值分别为________和________； (3)x2＋y2的最大值和最小值分别为_______和_______．
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5．已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝4，则3x2＋4y2的最大值为 ________． 解析：由(x－2)2＋y2＝4，得y2＝4x－x2≥0，得0≤x≤4， 所以3x2＋4y2＝3x2＋4(4x－x2)＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋ 64(0≤x≤4)，所以当x＝4时，3x2＋4y2取得最大值48. 答案：48
[提醒] 解答圆的有关问题时，应注意数形结合，充 分运用圆的几何性质．
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3．确定圆心位置的方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
[跟踪训练]
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1．若不同的四点A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)共圆，则
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(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．如图所示，
当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此
时 |2－0＋b| ＝ 2
3 ，解得b＝－2± 6 ，所以y－x的最大值为－2
＋ 6，最小值为－2－ 6.
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(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何 知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最 小值．又圆心到原点的距离为2，所以x2＋y2的最大值是(2＋
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二、走出误区 常见误区：①忽视表示圆的充要条件D2＋E2－4F>0致误； ②错用点与圆的位置关系判定致误；③忽视圆的方程中变量 的取值范围致误．
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3．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值 范围是________．
解析：方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0可化为 x＋a2 2
________，半径是________．
解析：由 x2＋y2－4x＋6y＝0，得(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以 圆心坐标为(2，－3)，半径为 13. 答案：(2，－3) 13
2．(必修2P120例3改编)过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直 返回 线x＋y－2＝0上的圆的方程是________． 解析：法一：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r，因为圆心 C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.因为|CA|2＝|CB|2，所 以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2.所以a＝1，b＝ 1.所以r＝2.所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 法二：因为A(1，－1)，B(－1,1)，所以AB的中垂线方程为y ＝x.由xy＝＋xy－2＝0， 得yx＝＝11，， 所以圆心坐标为(1,1)，r＝ 1－12＋1＋12＝2.则圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 答案：(x－1)2＋(y－1)2＝4
―→ PA
―→ ·PB
的最大值为
________． [解析] 由题意，知―PA→＝(2－x，－y)，―P→B ＝(－2－x，
－y)，所以―PA→·―P→B ＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，
故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以
―→ PA
―→ ·PB
＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程x2＋(y－
a的值为________．
解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
分别代入A，B，C三点坐标，
得215－＋D5＋D＋F＝F＝0，0， 9＋9－3D＋3E＋F＝0，
D＝－4，
解得E＝－235， F＝－5.
所以A，B，C三点确定的圆的方程为x2＋y2－4x－235y－5＝0.
因为D(a,3)也在此圆上，所以a2＋9－4a－25－5＝0.
所以a＝7或a＝－3(舍去)．即a的值为7.
答案：7
2．已知圆心在直线y＝－x＋1上，且与直线x＋y－2＝0相切于 返回 点(1,1)的圆的方程为________________________．
解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
(3)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C 截x轴所得弦的长为2 3，则圆C的标准方程为___________．
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[解] (1)法一：(几何法)设点C为圆心，因为点C在直线x －2y－3＝0上，
所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)． 又该圆经过A，B两点， 所以|CA|＝|CB|， 即 2a＋3－22＋a＋32＝ 2a＋3＋22＋a＋52， 解得a＝－2， 所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝ 10. 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
[解析] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆 返回
心， 3为半径的圆．
(1)xy的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设xy＝
k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或
最小值，此时
|2k－0| k2＋1
＝
3 ，解得k＝±
3
.所以
y x
的最大值为
3，最小值为－ 3.
3)2＝1，易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，―PA→·―P→B 的值最大，
最大值为6×4－12＝12.
[答案] 12
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[解题技法] 根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知 识或基本不等式求最值．
[跟踪训练]
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1．(2020·山东济宁模拟)已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是
第三节 圆的方程
高考有范围
命题有规律
最新考纲阐述
5年高考统计
考向预测
1.掌握确定圆的几何
2018·全国卷
要素，掌握圆的标
准方程与一般方 Ⅱ·T19(2)(圆的方程) 命题
2017·全国卷
角度
程．
2.初步了解用代数方 Ⅲ·T20(圆的方程)
2015·全国卷
法处理几何问题的
核心
思想.
Ⅰ·T14(圆的方程) 素养
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[提醒] 当 D2＋E2－4F>0 时，此方程表示的图形是圆；当 D2＋E2－4F＝0 时，此方程表示一个点－D2 ，－E2；当 D2＋ E2－4F<0 时，它不表示任何图形．
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2．点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，圆心C的坐标为 (a，b)，半径为r，设M的坐标为(x0，y0)．
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考点 分类突破 课堂讲练
理解透 规律明 变化究其本
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考点一 求圆的方程
师生共研过关
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[例1] (1)(一题多解)圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点 A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为____________．
(2)已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，且圆心在直 线y＝－x上，则圆C的方程为____________．
1.圆的方程 2.与圆有关的
轨迹问题 3.与圆有关的
最值问题
数学素养、 直观想象
目录
01
知识 逐点夯实
重点准 疑点清 结论要熟记
课前 自修
02
考点 分类突破
理解透 规律明 变化究其本
课堂 讲练
03
课时过关检测
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知识 逐点夯实 课前自修
重点准 疑点清 结论要熟记
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[知识梳理]
1．圆的定义与方程
3)2＝7＋4 3，x2＋y2的最小值是(2－ 3)2＝7－4 3. [答案] (1) 3 － 3 (2)－2＋ 6 －2－ 6 (3)7＋4 3
7－4 3
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[解题技法] 借助几何性质求与圆有关的最值问题，根据代数式的几何 意义，借助数形结合思想求解． 1．形如μ＝ xy－－ba 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的 最值问题．