等效单摆2

一、等效摆长

例1如图1所示，三根细线于O点处打结，两根细线的另一端均固定在同一水平面上相距L的A、B两点上，使△ABO成直角三角形，∠BAO=30°。已知OC线长为L，下端C点系着一个小球，下列说法正确的是（）

A．让小球在纸面内振动，其周期

B．让小球在纸面内振动，其周期

C．让小球在垂直纸面方向振动，其周期

D．让小球在垂直纸面方向振动，其周期

解析：让小球在纸面内摆动，在摆角很小时，单摆以O点为圆心，摆长为L，

周期为：。

让摆球在垂直纸面内摆动，摆球以OC的延长线与AB的交点为中心摆动，摆长为；

，周期为：。

故正确的选项为A。

点评：关于等效摆长的求解，首先是确定等效悬点，再求出等效悬点到摆球重心的距离。

二、等效重力加速度

例2光滑斜面倾角为θ，斜面上有一辆挂有单摆的小车，如图2所示，在小车下滑过程中单摆同时摆动，已知摆长为L，求单摆作简谐运动的周期。

解析：单摆不摆动时，与小车相对静止一起沿斜面向下作加速运动，加速度

为，悬线与斜面垂直，如图3所示，此时悬线拉力为：

故单摆做简谐运动时的等效重力加速度

故作简谐运动的周期为。

点评：关于等效重力加速度的求解，先确定等效平衡位置，再利用在等效平

衡位置时，处于相对静止状态时悬线的拉力F求出等效重力加速度。如单摆处于向上加速（或向下减速）及向下加速（或向上减速）的状态时，等效重力加速度。

三、等效运动

例3如图4所示，将小球甲、乙、丙（都可视为质点）分别从A、B、C三点同时由静止释放，最后都到达竖直面内圆弧的最低点D。其中甲是从圆心A出发做自由落体运动；乙沿弦轨道从一端B到达另一端D；丙沿圆弧轨道从C点运动到D，且C点很靠近D点。如果忽略一切摩擦阻力，那么下列判断正确的是（）

A．甲球最先到达D点，乙球最后到达D点

B．甲球最先到达D点，丙球最后到达D点

C．丙球最先到达D点，乙球最后到达D点

D．甲球最先到达D点，无法判断哪个球最后到达D点

解析：设圆的半径为R，甲球做自由落体运动，到达D点的时间为；乙沿弦轨道作加速运动，利用等时圆性质可得到达D点的时间为；丙

沿圆弧轨道运动，其运动等效为单摆运动，到达D点时间为，它们三者的时间关系为t B＞t C＞t A，则甲球最先到达D点，乙球最后到达D点，故正确的选项为A。

点评：当质点沿圆弧运动时，圆的半径远大于圆弧的长度，运动的圆心角小于10度，其运动可等效为单摆