交通工程课件

由公式：P(0) et 可知，当车辆平均到达率为λ时
，P(0)为计数间隔t 内无车到达的概率。
可见，在具体的时间间隔 t 内，如无车辆到达， 则在上一次车和下一次车到达之间车头时距h至少 有t，即h≥t。
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二、连续性分布
或者说： P(0)也就是车头时距h大于或等于t 的概 率。对于任意的t ，如果在t 内没有车辆到达，上
(t )
P(ht) 1 e (t )
(t )
分布的均值M和方差D分别为：
M 1
D
1
2
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二、连续性分布
移位负指数分布的局限性： 服从移位负指数分布的车头时距愈接近τ出现的
可能性愈大。这在一般情况下是不符合驾驶员的 心理习惯和行车特点的。
车头时距分布的概率密度曲线一般总是先升后 降。
例4：对于单向平均流量为360辆/h的车流，求车头 时距大于或等于10s的概率。
解：车头时距大于或等于10s的概率也就是10s以内 无车的概率。
由λ=360/3600=0.1 P(ht ) e t
P(h10) e 0.110 0.37 同样，车头时距小于10s的概率为：
P(ht) 1 et 0.63
➢ 当一队车辆通过收费站，等待服务（收费）的车 辆和正在被服务（收费）的车辆与收费站构成一 个“排队系统”。
➢ 等候的车辆自行排列成一个等待服务的队列，这 个队列则称为“排队”。
➢ “排队车辆”或“排队（等待）时间”都是指 排队的本身。
➢ “排队系统中的车辆”或“排队系统消耗时间 ”则是在指排队系统中正在接受服务（收费）和 排队的统称。
Q=360辆/h
7.5m
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二、连续性分布
解：行人横过单向行车道所需要的时间：
t =7.5/1=7.5s
因此，只有当h≥7.5s时，行人才能安全穿越，由
于双车道道路可以充分超车，车头时距符合负指
数分布，对于任意前后两辆车而言，车头时距大
于7.5s的概率为：
Qt
3607.5
P(h7.5) e 3600 e 3600 0.4724
一次车和下一次车到达之间车头时距必然大于或
等于t ，即：
P(0) e t P(ht )
P(ht ) e t 式中：λ—车辆平均到达率（辆/s）
P(h≥t)—车头时距大于或等于t (s)的概率 车头时距小于t (s)的概率，可有下式求得：
P(ht) 1 et
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二、连续性分布
一、离散型分布
泊松分布
适用条件：车流密度不大，其他外界干扰因素基 本上不存在，即车流是随机的 。
基本公式:
P(k )
(t)k
k!
e t
式中： P(k) —在计数间隔t 内到达 k 辆车的概率; λ —平均到车率(辆/s) ；
t —每个计数间隔持续的时间(s) 。
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一、离散型分布
M=np D=np(1-p)
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一、离散型分布
例3：在一交叉口，设置左转弯信号相，经研究来车 符合二项分布，每一周期平均来车30辆，其中有 30%的左转弯车辆，试求：
✓ 到达的5辆车中，有2辆左转弯的概率； ✓ 到达的5辆车中，少于2辆左转弯的概率； ✓ 某一信号周期内没有左转弯车辆的概率。 解：1）由： p =30%，n=5，k=2
m 2
P(1)
0.0446
P( 3 )
m 3
P( 2 )
0.0892
P(4)
m 4
P( 3 )
0.1338
P(5)
m 5
P(4)
0.1606
m
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P(6) 6 P(6) 0.1606
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一、离散型分布
无车的概率为：P(0) 0.0025 小于5辆车的概率为：P(k5) 0.2850 不多于5辆车的概率为：P(k5) 0.4456 6辆及其以上的概率为：P(k6) 1 P(k5) 0.5544 至少为3辆但不多于6辆的概率为：P(3k6) 0.5442 恰好为5辆车的概率为：P(5) 0.1606
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二、连续性分布
由上例可见，设车流的单向流量为Q（辆/h）， 则λ=Q/3600，于是负指数公式可改写成：
Qt
P(ht) e 3600
负指数分布的均值M和方差D分别为：
M1
D
1
2
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二、连续性分布
车头时距服从负指数分布的车流特性 见图，曲线 是单调下降的，说明车头时距愈短，出现的概率 愈大。这种情形在不
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二、连续性分布
例5 ：在一条有隔离带的双向四车道道路上，单向 流量为360辆/h，该方向路宽7.5m，设行人步行速 度为1m/s，求1h中提供给行人安全横过单向车道 的次数，如果单向流量增加到900辆/h， 1h中提 供给行人安全横过单向车道的次数是增加还是减 少。
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令m=λt,则：
P(k )
mk k!
em
递推公式：
P(0) em
P( k 1)
m k 1
P( k )
分布的均值M和方差D都等于m
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一、离散型分布
应用举例 例1：设60辆车随机分布在10km长的道路上，其中
任意1km路段上，试求： ✓ 无车的概率； ✓ 小于5辆车的概率； ✓ 不多于5辆车的概率； ✓ 6辆及其以上的概率； ✓ 至少为3辆但不多于6辆的概率； ✓ 恰好为5辆车的概率。
对于 Q=360辆/h的车流，1h车头时距次数为360， 其中h≥7.5s的车头时距为可以安全横穿的次数：
360 0.4724 170 （次）
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二、连续性分布
当Q = 900辆/h时，车头时距大于7.5s的概率为：
Qt
9007.5
P(h7.5) e 3600 e 3600 0.1534
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一、离散型分布
例2：已知某信号灯周期为60s，某一个入口的车流 量为240辆/h，车辆到达符合泊松分布，求：
✓ 在1s、2s、3s内无车的概率； ✓ 求有95%的置信度的每个周期来车数。 解：1）1s、 2s、3s内无车的概率
λ=240/3600（辆/s ），当t=1s时， m= λt=0.067 P(0) e0.067 0.9355
能超车的单列车流中 是不可能出现的，因 为车辆的车头与车头 之间至少存在一个车 长，所以车头时距必 有一个大于零的最小 值τ。
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二、连续性分布
移位负指数分布
适用条件：用于描述不能超车的单列车流的车头 时距分布和车流量低的车流的车头时距分布。
移位负指数分布公式:
P(ht ) e (t )
来车的分布为：
P(k )
mk k!
em
4k k!
e 4
求：P(k) 0.95 的k值。
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一、离散型分布
k
P(k)
P(≤k)
k
P(k)
P(≤k)
0 0.0183 0.0183 5 0.1563 0.7852
1 0.0733 0.0916 6 0.1042 0.8894
2 0.1465 0.2381 7 0.0595 0.9489
排队论是20世纪初由丹麦电信工程师欧兰最先提 出，在二战期间排队论在战时后勤保障、军事运 输等方面得到了广泛应用，发展成为军事运筹学 的一个重要分支。
在交通工程中，排队论被用来研究车辆延迟、信 号配时、收费站、加油站等设施的设计与管理。
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二、排队论的基本概念
“排队”与“排队系统”
概述
交通流理论是发展中的科学，有很多理论在探讨 各种交通现象： ➢ 交通流量、速度和密度的相互关系及量测方法； ➢ 交通流的统计分布特性； ➢ 排队论的应用； ➢ 跟驰理论； ➢ 交通流的流体力学模拟理论； ➢ 交通波理论。
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第二节 交通流的统计分布特性
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二、排队论的基本概念
排队系统的三个组成部分:
➢ 输入过程：是指各种类型的“顾客(车辆或行人)” 按怎样的规律到达。输入方式包括：
泊松输入、定长输入、爱尔朗输入
➢ 排队规则：是指到达的顾客按怎样的次序接受服 务。排队规则包括：
等待制、损失制、混合制
➢ 服务方式： 指同一时刻多少服务台可接纳顾客， 每一顾客服务了多少时间。服务时间分布包括：
第四章 交通流理论
第一节 概述
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概述
作为交通工程学理论基础的交通流理论是运用 物理和数学的方法来描述交通特性的一门边缘科 学，它用分析的方法阐述交通现象及其机理，使 我们能更好地理解交通现象及其本质，并使城市 道路与公路的规划设计和营运管理发挥最大的功 效。
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三、M/M/1排队系统 （单通道服务系统）
M/M/1系统（单通道服务系统）的基本概念：由 于排队等待接受服务的通道只有单独的一条，因 此也叫做“单通道服务”系统。
定长分布、负指数分布、爱尔朗分布
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二、排队论的基本概念
排队系统的主要数量指标： ➢ 等待时间 ：即从顾客到达时起到他开始接受服务
时止这段时间。 ➢ 忙期：即服务台连续繁忙的时期，这关系到服务
台的工作强度。 ➢ 队长（cháng）：有排队顾客数与排队系统中顾客
之分，这是排队系统提供服务水平的一种衡量指 标。
由：P(k) Cnk pk (1 p)nk
P(2) C52 0.32 (1 0.3)52 0.309
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一、离散型分布
2）由： p =30%，n=5，k=2 根 据 ：P(k) Cnk pk (1 p)nk P(0) C50 0.30 (1 0.3)50 0.168 P(1) C510.3(1 0.3)51 0.36 P(k2) P(0) P(1) 0.528
当t=2s时， m= λt =0.133， P(0) e0.133 0.875
当t=2s时， m= λt =0. 3， P(0) e0.3 0.819
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一、离散型分布
2）有95%置信度的每个周期来车数的含义为：来 车数小于或等于k辆的概率≥95%时的k值，即：
P(k) 0.95 ，求这时的k 即λ=240/3600（辆/s ），当t=60s时，m=λt=4
3 0.1954 0.4335 8 0.0298 0.9787
4 0.1954 0.6289
P(k8) 0.95
设计上具有95%置信度的来车数不多于8辆。
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一、离散型分布
二项分布
适用条件：车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的 车流。交通流具有较小的方差时，来车符合二项 分布。 基本公式：P(k) Cnk pk (1 p)nk 式中：
3）由： p =30%，n=30，k=0
根据：P(k) Cnk pk (1 p)nk P(0) C300 0.30 (1 0.3)30 0.000023
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二、连续性分布
负指数分布
适用条件:用于描述有充分超车机会的单列车流和 密度不大的多列车流的车头时距分布。
负指数分布常与泊松分布相对应，当来车符合泊 松分布时，车头时距则符合负指数分布。
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一、离散型分布
解：这里t 理解为车辆数的空间间隔，λ为车辆平 均分布率，m 为计数空间间隔内的平均车辆数。
由λ=60/10 t=1 ，因此m =λt=6（辆）
这里m即为计数空间间隔内的平均车辆数。
P(0) em e6 0.0025
P(1)
ຫໍສະໝຸດ Baidum 1
P(0)
0.0149
P( 2 )
P（k）—在计数间隔t 内到达k 辆车的概率;
λ—平均到车率（辆/s）；
t —每个计数间隔持续的时间（s）；
n—正整数 ；
p—二项分布参数，p t / n 。
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一、离散型分布
递推公式：
P(0) (1 P)n
P( k 1)
nk k 1
p 1 p
P( k )
均值M和方差D分别为:
1h内车头时距次数为900，其中h≥7.5s的车头时 距为可以安全横穿的次数：
900 0.1534 138 （次）
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第三节 排队论的应用
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一、引言
排队论是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产 生等待行列（即排队）的现象，以及合理协调“ 需求”与“服务”关系的一种数学理论，是运筹 学中以概率论为基础的一门重要分支，亦称随机 服务系统理论。