效用函数
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(2) 即使有一个明确的标度可以测量后果， 按这个标度测得的量也可能并不反映后果对 决策人的真正价值。
3.1 引言
例3.1 考虑钱对同一个人的价值。假设一个学生手头紧张，正好有机会挣 100元钱，但是所要做的是他相当讨厌的工作。
（1）如他经济情况差，他会认为100元钱的实际价值足够大，所要做的 工作即使是相当讨厌的，他仍会去干；
第3章 效用函数
3.1 引言 3.2 效用的定义和公理系统 3.3 效用函数的构造 3.4 风险与效用 3.5 货币的效用 3.6 阿莱斯悖论(Allais’s paradox)
3.1 引言
在定量评价可能的行动的各种后果时， 会遇到两个主要问题:
(1) 后果本身是用语言表述，可能没有任何 合适的直接测量标度。
1.0
1000 优于
0.5 0
在例3.2的决策问题中，后果集 C={1000, 2500, 0},采取行 动a1和a2时的展望分别是:
P1=<1.0, 1000; 0,2500; 0,0> P2=<0, 1000; 0.5,2500; 0.5,0>
(4) 展望(prospect)
展望既考虑各种后果Ci,又考虑了各种后果出现的概率 (客观概率pi或主观概率πi), 全面地描述了在决策问题中 采取某种行动的可能前景。
一、效用的基本概念与符号
(3) 弱序“≥” 记作aRb，含义是“a不劣于b”，亦即a
优于或者无差异于b。
一、效用的基本概念与符号
(4) 展望(prospect)
展望指决策的可能的前景，即各种后果及后果出
现的概率的组合，记作P= <p1,c1; p2,c2;…; pr,cr; > .
2500 0.5
二、效用的定义
根据上述讨论和记号，可以初步给出效用函数的定义 如下。
定义3.1 在集合P上的实值函数u，若它和P上的优先关 系≥一致，即：
若 P1,P2属于 P ，P1≥ P2当且仅当u(P1)≥u(P2) ，则 称u为效用函数。
•把效用函数定义在展望集P上而不是定义在后果集C上， 是为了使效用函数能够反映决策人对风险的态度。
3.1 引言
由上面例子可知：在进行决策分析时，存在如何描述 或表达后果对决策人的实际价值，以便反映决策的人 心目中各种后果的偏好次序（preference order）的问 题。
偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，它与决策 人所处的社会地位、经济地位、文化素养、心理和生 理（身体）状态有关。
Gustason认为，要避免矛盾，必须对期望值概念进 行限制，其一是限制其结果的数目；其二是把其结果 值的大小限制在一定的范围内。
这是典型的结果有限论，这一观点是从实际出发的。 因为实际上，游戏的投掷次数总是有限的数。
比如对游戏设定某一个投掷的上限数L，在投掷到这个 数的时候，如果仍然没有成功，也结束游戏，不管你 还能再投多少，就按照L付钱。因为你即便不设定L， 实际上也总有投到头的时候，人的寿命总是有限的， 任何原因都可以使得游戏中止。现在设定了上限，期 望值自然也就可以计算了。
3.2.3 效用的公理化定义和效用的存在性
3.2.3 效用函数的存在性
3.2.4 基数效用与序数效用
基数：为实数，如1，2，3,π 序数：如第一，二，…，4，3，2，1
基数性效用函数与序数效用函数区别：
基数效用定义在展望集P上(考虑后果及其概率分布),是实数； 序数效用定义在后果集C上，不涉及概率，可以是整正数.
⑴ 概率当量法
2．离散型后果的效用设定
后果为离散型随机变量时，后果集C 中元素为有限个，构造后果集上的 效用函数有两方面的内容: (1)确定各后果之间的优先序; (2)确定后果之间的优先程度。
离散型后果效用值的设定可以采用 概率当量法，简称NM法。
NM法步骤如下：
例3.6
例3.6 天气预报说球赛时可能有雨，一个足球爱好者要决定是否去球场看球。
（2）如他先有了10000元，要为100元钱去干这份让他讨厌的工作， 他就很可能不干了。
实际价值
0
100
钱 100000 100100
这个例子说明：即使是数值量表示的后果，它对决策人的实际价值仍有待确定。
3.1 引言
例3.2 决策人面临图3.1中决策树所示的选择：
①确定收入礼品1000元；
②参与一次抽奖：有50%的机会得0元，50%的机会得2500元。
圣彼得堡悖论的解释2：
(二)风险厌恶论
圣彼得堡悖论对于奖金额大小没有限制。 比如连续投掷40次才成功的话，奖金为1.1万亿元。但是这一奖
金出现的概率极小，1.1万亿次才可能出现一次。实际上，游戏 有一半的机会，其奖金为 2元，四分之三的机会得奖4元和2元。 奖金越少，机会越大，奖金越大，机会越小。 Hacking（1980）所说：花25元的费用冒险参与游戏将是非常 愚蠢的，虽有得大奖的机会，但是风险太大。 因此，考虑采用风险厌恶因素的方法可以消解矛盾。Pual Weirich就提出在期望值计算中加人一种风险厌恶因子，并得出 了游戏费用的有限期望值，认为这种方法实际上解决了该悖论。
圣彼得堡悖论的解释3：
(三)效用上限论
也有一种观点认为奖金的效用可能有一个上限，这样，期望效用 之和就有了一个极限值。Menger认为效用上限是惟一能消解该悖论 的方法。设效用值等于货币值，上限为100 单位，则游戏的期望效用 为7.56l25，如表3所示。
圣彼得堡悖论的解释4：
(四)结果有限论
满足程度越高，效用越大； 满足程度越低，效用越小。
对效用的理解:《最好吃的东西》
兔子和猫争论，世界上什么东西最好吃。 兔子说，“世界上萝卜最好吃。萝卜又甜又脆又解渴，我一想起
萝卜就要流口水。” 猫不同意，说，“世界上最好吃的东西是老鼠。老鼠的肉非常嫩，
嚼起来又酥又松，味道美极了！” 兔子和猫争论不休、相持不下，跑去请猴子评理。 猴子听了，不由得大笑起来：“瞧你们这两个傻瓜蛋，连这点儿
圣彼得堡悖论的解释1：
(一)边际效用递减论
Daniel Bernoulli在提出这个问题的时候就给出一种解决办 法。他认为游戏的期望值计算不应该是金钱，而应该是金钱的期
望效用，即利用众所周知的“期望效用递减律”，将金钱的效用 测度函数用货币值的对数来表示:效用=log(货币值)，如表 2所 示。所有结果的效用期望值之和将为一个有限值log(4)≈ 0.60206，如果这里的效用函数符合实际，则理性决策应以4元 为界。
礼品a1 抽奖a2
1.0
1000 有人选确定性的1000元的收入。抽
奖的期望值虽大，风险也大，实际价
值还不如保险的1000元。
2500
0.5
而有人认为礼品不如抽奖，因为
抽奖提供了获得2500元的机会。
0.5 0
图3.1 例3.2的决策树
这个例子说明：决策人的风险态度影 响其对后果的实际价值判断。
看球 a1 看电视a2
(1 ) ( 2 )
( 1 ) ( 2 )
c1下雨看球 c2无雨看球 c3下雨看电视 c4无雨看电视
首先作该问题的决策树如图所示。由题意可知决策人对四种后果优劣的排序是： c2c3c4c1。
步骤:
第一步: 令u(c1)=0, u(c2)=1。 第二步: 询问决策人，下雨在家看电视这种后果与去球
பைடு நூலகம்递性推导:
P1
P2
αP1+(1-α)P1 αP2+(1-α)P2
αP1+(1-α)P3 αP2+(1-α)P3
公理3.3表明两个有序的展望各有相同的比例 (1 ) 被相等的量 (1 )P3 替代后，优先关系不变.
例3.3 横过马路问题:效用有界性证明
3.3 效用函数的构造
1．估计效用函数值的方法 2．离散型后果的效用设定 3．连续型后果的效用函数构造 4．用解析函数近似效用曲线
1．估计效用函数值的方法
⑴ 概率当量法 ⑶ 增益当量法
⑵ 确定当量法 ⑷ 损失当量法
从纯理论角度看，这四种方法并没有实质性的区别； 但是实验结果表明，使用确定当量法时决策人对最优 后果（增益）的保守性和对损失的冒险性都比概率当 量法严重(Hershey，1982）；采用增益当量法与损 失当量法时产生的误差也比用概率当量法大，因此只 要有可能，应该尽可能使用概率当量法。
3.2.2 效用存在性公理
定义3.1给出了效用函数的最基本性质，这就是 可以根据它的大小来判断展望P的优劣。
但是这样的效用函数是否一定存在呢?回答是 不一定。
至于决策人的价值判断在满足什么条件时存在 与之一致的效用函数，von NeumannMorgenstern (1944)给出了效用的存在性公理， 又称理性行为公理。
复合展望
一、效用的基本概念与符号
(5) 抽奖与确定当量 由机会点和该机会点发出的n个机会枝的概率及相应后
果构成的图形称为抽奖（lottery），抽奖又称彩票。
1.0
C1
p
C2
1-p
C3
若C1 ~ (p, C2; (1-P),C3), 则称 确定性后果C1为抽奖(p, C2; (1P),C3)的确定当量（certainty equivalent）。
基数效用反映偏好强度(正线性变换下唯一， 即原数列可变换 为:b+c, 2b+c, 3b+c, 100b+c; 其中 b, c ∈R1, b＞0. ）
序数效用不反映偏好强度，(保序变换下唯一), 原序数列可变 换为16,9,4,1；或 8,6,4,2,或10,7,6,1等.
3.2.4 基数效用与序数效用
效用就是偏好的量化，是数(实值函数)。
1738年，Daniel Bernoulli就指出：若一个人面临从给定 行动集(风险性展望集)中作选择的决策问题，如果他知 道与给定行动有关的将来的自然状态，且这些状态出现 的概率已知或可以估计，则他应选择对各种可能后果的 偏好的期望值最高的行动。
一、效用的基本概念与符号
3.2 效用的定义和公理系统
3.2.1 效用的定义 3.2.2 效用存在性公理 3.2.3 效用的公理化定义和效用的存在性 3.2.4 基数效用与序数效用
3.2.1 效用的定义
效用（utility）：消费者从消费商品中得 到的满足程度。
效用完全是消费者的一种主观心理感受。
基数(cardinal number)效用：边际效用分析方法
总效用（TOTAL UTILITY，TU） ：消费者在一定时间内 从一定数量商品的消费中所得到的效用量的总和 ;
边际效用（MARGINAL UTILITY，MU）：消费者在一定 时间内增加一单位商品的消费所得到的效用量的增量.
序数(ordinal number)效用：无差异曲线分析方法 希克斯认为，效用的数值表现只是为了表达偏好的 顺序，并非效用的绝对数值。现在比较通用的是序 数效用。
(1) 严格序“ ” a b(或者记作aPb)的含义是“a优于b”( a
is preferred to b )；也就是说，若非外界因素 的强迫，决策人只会选择a而不会选择b。
一、效用的基本概念与符号
(2) 无差异“～” a～b(或记作aIb)的含义是“a无差异于b”
(a is indifference to b)；也就是说，决策人 对选择或同样满意。
圣彼得堡悖论 (St. Petersburg Paradox/game)
圣彼得堡悖论是数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）的表 兄尼古拉·伯努利(Nicolaus Bernoulli)在1738提出的一个概率 期望值悖论，它来自于一种掷币游戏，即圣彼得堡游戏(表1)。
问题：你愿意花100元来参加一次圣彼得堡游戏吗？
常识都不懂！世界上最好吃的东西是什么？是桃子！桃子不但美 味可口，而且长得漂亮。我每天做梦都梦见吃桃子。” 兔子和猫听了，全都直摇头。那么，世界上到底什么东西最好吃？
以上的故事说明效用完全是个人的心理感觉。 不同的偏好决定了对同一种商品效用大小的不同评价。
3.2.1 效用的定义
在决策理论中，后果对决策人的实际价值，即决策人对 后果的偏好次序是用效用(utility)来描述的。
3.1 引言
例3.1 考虑钱对同一个人的价值。假设一个学生手头紧张，正好有机会挣 100元钱，但是所要做的是他相当讨厌的工作。
（1）如他经济情况差，他会认为100元钱的实际价值足够大，所要做的 工作即使是相当讨厌的，他仍会去干；
第3章 效用函数
3.1 引言 3.2 效用的定义和公理系统 3.3 效用函数的构造 3.4 风险与效用 3.5 货币的效用 3.6 阿莱斯悖论(Allais’s paradox)
3.1 引言
在定量评价可能的行动的各种后果时， 会遇到两个主要问题:
(1) 后果本身是用语言表述，可能没有任何 合适的直接测量标度。
1.0
1000 优于
0.5 0
在例3.2的决策问题中，后果集 C={1000, 2500, 0},采取行 动a1和a2时的展望分别是:
P1=<1.0, 1000; 0,2500; 0,0> P2=<0, 1000; 0.5,2500; 0.5,0>
(4) 展望(prospect)
展望既考虑各种后果Ci,又考虑了各种后果出现的概率 (客观概率pi或主观概率πi), 全面地描述了在决策问题中 采取某种行动的可能前景。
一、效用的基本概念与符号
(3) 弱序“≥” 记作aRb，含义是“a不劣于b”，亦即a
优于或者无差异于b。
一、效用的基本概念与符号
(4) 展望(prospect)
展望指决策的可能的前景，即各种后果及后果出
现的概率的组合，记作P= <p1,c1; p2,c2;…; pr,cr; > .
2500 0.5
二、效用的定义
根据上述讨论和记号，可以初步给出效用函数的定义 如下。
定义3.1 在集合P上的实值函数u，若它和P上的优先关 系≥一致，即：
若 P1,P2属于 P ，P1≥ P2当且仅当u(P1)≥u(P2) ，则 称u为效用函数。
•把效用函数定义在展望集P上而不是定义在后果集C上， 是为了使效用函数能够反映决策人对风险的态度。
3.1 引言
由上面例子可知：在进行决策分析时，存在如何描述 或表达后果对决策人的实际价值，以便反映决策的人 心目中各种后果的偏好次序（preference order）的问 题。
偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，它与决策 人所处的社会地位、经济地位、文化素养、心理和生 理（身体）状态有关。
Gustason认为，要避免矛盾，必须对期望值概念进 行限制，其一是限制其结果的数目；其二是把其结果 值的大小限制在一定的范围内。
这是典型的结果有限论，这一观点是从实际出发的。 因为实际上，游戏的投掷次数总是有限的数。
比如对游戏设定某一个投掷的上限数L，在投掷到这个 数的时候，如果仍然没有成功，也结束游戏，不管你 还能再投多少，就按照L付钱。因为你即便不设定L， 实际上也总有投到头的时候，人的寿命总是有限的， 任何原因都可以使得游戏中止。现在设定了上限，期 望值自然也就可以计算了。
3.2.3 效用的公理化定义和效用的存在性
3.2.3 效用函数的存在性
3.2.4 基数效用与序数效用
基数：为实数，如1，2，3,π 序数：如第一，二，…，4，3，2，1
基数性效用函数与序数效用函数区别：
基数效用定义在展望集P上(考虑后果及其概率分布),是实数； 序数效用定义在后果集C上，不涉及概率，可以是整正数.
⑴ 概率当量法
2．离散型后果的效用设定
后果为离散型随机变量时，后果集C 中元素为有限个，构造后果集上的 效用函数有两方面的内容: (1)确定各后果之间的优先序; (2)确定后果之间的优先程度。
离散型后果效用值的设定可以采用 概率当量法，简称NM法。
NM法步骤如下：
例3.6
例3.6 天气预报说球赛时可能有雨，一个足球爱好者要决定是否去球场看球。
（2）如他先有了10000元，要为100元钱去干这份让他讨厌的工作， 他就很可能不干了。
实际价值
0
100
钱 100000 100100
这个例子说明：即使是数值量表示的后果，它对决策人的实际价值仍有待确定。
3.1 引言
例3.2 决策人面临图3.1中决策树所示的选择：
①确定收入礼品1000元；
②参与一次抽奖：有50%的机会得0元，50%的机会得2500元。
圣彼得堡悖论的解释2：
(二)风险厌恶论
圣彼得堡悖论对于奖金额大小没有限制。 比如连续投掷40次才成功的话，奖金为1.1万亿元。但是这一奖
金出现的概率极小，1.1万亿次才可能出现一次。实际上，游戏 有一半的机会，其奖金为 2元，四分之三的机会得奖4元和2元。 奖金越少，机会越大，奖金越大，机会越小。 Hacking（1980）所说：花25元的费用冒险参与游戏将是非常 愚蠢的，虽有得大奖的机会，但是风险太大。 因此，考虑采用风险厌恶因素的方法可以消解矛盾。Pual Weirich就提出在期望值计算中加人一种风险厌恶因子，并得出 了游戏费用的有限期望值，认为这种方法实际上解决了该悖论。
圣彼得堡悖论的解释3：
(三)效用上限论
也有一种观点认为奖金的效用可能有一个上限，这样，期望效用 之和就有了一个极限值。Menger认为效用上限是惟一能消解该悖论 的方法。设效用值等于货币值，上限为100 单位，则游戏的期望效用 为7.56l25，如表3所示。
圣彼得堡悖论的解释4：
(四)结果有限论
满足程度越高，效用越大； 满足程度越低，效用越小。
对效用的理解:《最好吃的东西》
兔子和猫争论，世界上什么东西最好吃。 兔子说，“世界上萝卜最好吃。萝卜又甜又脆又解渴，我一想起
萝卜就要流口水。” 猫不同意，说，“世界上最好吃的东西是老鼠。老鼠的肉非常嫩，
嚼起来又酥又松，味道美极了！” 兔子和猫争论不休、相持不下，跑去请猴子评理。 猴子听了，不由得大笑起来：“瞧你们这两个傻瓜蛋，连这点儿
圣彼得堡悖论的解释1：
(一)边际效用递减论
Daniel Bernoulli在提出这个问题的时候就给出一种解决办 法。他认为游戏的期望值计算不应该是金钱，而应该是金钱的期
望效用，即利用众所周知的“期望效用递减律”，将金钱的效用 测度函数用货币值的对数来表示:效用=log(货币值)，如表 2所 示。所有结果的效用期望值之和将为一个有限值log(4)≈ 0.60206，如果这里的效用函数符合实际，则理性决策应以4元 为界。
礼品a1 抽奖a2
1.0
1000 有人选确定性的1000元的收入。抽
奖的期望值虽大，风险也大，实际价
值还不如保险的1000元。
2500
0.5
而有人认为礼品不如抽奖，因为
抽奖提供了获得2500元的机会。
0.5 0
图3.1 例3.2的决策树
这个例子说明：决策人的风险态度影 响其对后果的实际价值判断。
看球 a1 看电视a2
(1 ) ( 2 )
( 1 ) ( 2 )
c1下雨看球 c2无雨看球 c3下雨看电视 c4无雨看电视
首先作该问题的决策树如图所示。由题意可知决策人对四种后果优劣的排序是： c2c3c4c1。
步骤:
第一步: 令u(c1)=0, u(c2)=1。 第二步: 询问决策人，下雨在家看电视这种后果与去球
பைடு நூலகம்递性推导:
P1
P2
αP1+(1-α)P1 αP2+(1-α)P2
αP1+(1-α)P3 αP2+(1-α)P3
公理3.3表明两个有序的展望各有相同的比例 (1 ) 被相等的量 (1 )P3 替代后，优先关系不变.
例3.3 横过马路问题:效用有界性证明
3.3 效用函数的构造
1．估计效用函数值的方法 2．离散型后果的效用设定 3．连续型后果的效用函数构造 4．用解析函数近似效用曲线
1．估计效用函数值的方法
⑴ 概率当量法 ⑶ 增益当量法
⑵ 确定当量法 ⑷ 损失当量法
从纯理论角度看，这四种方法并没有实质性的区别； 但是实验结果表明，使用确定当量法时决策人对最优 后果（增益）的保守性和对损失的冒险性都比概率当 量法严重(Hershey，1982）；采用增益当量法与损 失当量法时产生的误差也比用概率当量法大，因此只 要有可能，应该尽可能使用概率当量法。
3.2.2 效用存在性公理
定义3.1给出了效用函数的最基本性质，这就是 可以根据它的大小来判断展望P的优劣。
但是这样的效用函数是否一定存在呢?回答是 不一定。
至于决策人的价值判断在满足什么条件时存在 与之一致的效用函数，von NeumannMorgenstern (1944)给出了效用的存在性公理， 又称理性行为公理。
复合展望
一、效用的基本概念与符号
(5) 抽奖与确定当量 由机会点和该机会点发出的n个机会枝的概率及相应后
果构成的图形称为抽奖（lottery），抽奖又称彩票。
1.0
C1
p
C2
1-p
C3
若C1 ~ (p, C2; (1-P),C3), 则称 确定性后果C1为抽奖(p, C2; (1P),C3)的确定当量（certainty equivalent）。
基数效用反映偏好强度(正线性变换下唯一， 即原数列可变换 为:b+c, 2b+c, 3b+c, 100b+c; 其中 b, c ∈R1, b＞0. ）
序数效用不反映偏好强度，(保序变换下唯一), 原序数列可变 换为16,9,4,1；或 8,6,4,2,或10,7,6,1等.
3.2.4 基数效用与序数效用
效用就是偏好的量化，是数(实值函数)。
1738年，Daniel Bernoulli就指出：若一个人面临从给定 行动集(风险性展望集)中作选择的决策问题，如果他知 道与给定行动有关的将来的自然状态，且这些状态出现 的概率已知或可以估计，则他应选择对各种可能后果的 偏好的期望值最高的行动。
一、效用的基本概念与符号
3.2 效用的定义和公理系统
3.2.1 效用的定义 3.2.2 效用存在性公理 3.2.3 效用的公理化定义和效用的存在性 3.2.4 基数效用与序数效用
3.2.1 效用的定义
效用（utility）：消费者从消费商品中得 到的满足程度。
效用完全是消费者的一种主观心理感受。
基数(cardinal number)效用：边际效用分析方法
总效用（TOTAL UTILITY，TU） ：消费者在一定时间内 从一定数量商品的消费中所得到的效用量的总和 ;
边际效用（MARGINAL UTILITY，MU）：消费者在一定 时间内增加一单位商品的消费所得到的效用量的增量.
序数(ordinal number)效用：无差异曲线分析方法 希克斯认为，效用的数值表现只是为了表达偏好的 顺序，并非效用的绝对数值。现在比较通用的是序 数效用。
(1) 严格序“ ” a b(或者记作aPb)的含义是“a优于b”( a
is preferred to b )；也就是说，若非外界因素 的强迫，决策人只会选择a而不会选择b。
一、效用的基本概念与符号
(2) 无差异“～” a～b(或记作aIb)的含义是“a无差异于b”
(a is indifference to b)；也就是说，决策人 对选择或同样满意。
圣彼得堡悖论 (St. Petersburg Paradox/game)
圣彼得堡悖论是数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）的表 兄尼古拉·伯努利(Nicolaus Bernoulli)在1738提出的一个概率 期望值悖论，它来自于一种掷币游戏，即圣彼得堡游戏(表1)。
问题：你愿意花100元来参加一次圣彼得堡游戏吗？
常识都不懂！世界上最好吃的东西是什么？是桃子！桃子不但美 味可口，而且长得漂亮。我每天做梦都梦见吃桃子。” 兔子和猫听了，全都直摇头。那么，世界上到底什么东西最好吃？
以上的故事说明效用完全是个人的心理感觉。 不同的偏好决定了对同一种商品效用大小的不同评价。
3.2.1 效用的定义
在决策理论中，后果对决策人的实际价值，即决策人对 后果的偏好次序是用效用(utility)来描述的。