双曲线简单几何性质

双曲线的简单几何性质

【知识点1】双曲线22a x -2

2b y ＝1的简单几何性质

(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.

(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.

(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且c 2＝a 2+b 2.

(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y ＝±a b

x ，或令双曲线标准方程22a x -2

2b y ＝1中的1

为零即得渐近线方程.

(5)离心率e ＝a c

＞1，随着e 的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.

(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x 2-y 2＝a 2(a≠0),它的渐近线方程为y ＝±x,离心率e ＝2.

(7)共轭双曲线：方程22a x -22b y ＝1与22a x -2

2

b y ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和

相等的焦距，但需注意方程的表达形式.

注意：（1）与双曲线22a x -22b y ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为22a x -2

2b y ＝λ(λ≠0

且λ为待定常数)

（2）与椭圆22a x +2

2b y ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-22a x -λ-22b y ＝1(λ＜

a 2,其中

b 2-λ＞0时为椭圆， b 2＜λ＜a 2时为双曲线)

（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2

的距离之比等于常数e ＝a c

(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准

线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2

，与椭圆相同.

1、写出双曲线方程125492

2

-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程

2、已知双曲线的渐近线方程为x y 4

3

±=，求双曲线的离心率

3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程

4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为4

3

，求双曲线的标准方程。

5、求与双曲线22

1169

x y -

=共渐近线，且经过()

23,3A -点的双曲线的标准方及离心率． 【知识点2】弦长与中点弦问题

（1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ， A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则弦长

]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+=

]4)[()11(1

1212

212

122

y y y y k y y k -+⋅+

=-⋅+

=,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想.

（2）．中点弦问题：处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x 1，

y 1)、B(x 2,y 2)为椭圆122

22=+b y a x （a>b>0）上不同的两点，M(x 0，y 0)是AB 的中点，则K AB K OM =22a b -；对于双曲线12222

=-b

y a x （a>0，b>0），类似可得：K AB K OM =22a b ；对于y 2=2px （p

≠0）抛物线有K AB ＝2

12y y p +；另外，也可以用韦达定理来处理.

【题型一】直线与双曲线的交点问题：过平面内任一点P 作直线与双曲线

22

22

1(0,0)x y a b a b -=>>只有一个交点，这样的直线有几条（几何角度） 6、若y=kx-1与双曲线224x y -=只有一个公共点,求k 的范围.

【变1】有两个公共点【变2】无公共点【变3】与右支有两个公共点【变4】与右支只有一个公共点

7、过双曲线2

2

12

y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于A,B 两点,若|AB|=4,这样的直线有几条

【题型2】双曲线离心率的求法

一、根据离心率的范围，估算e ：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率e ∈()01，，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1来解决。

8、已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一

条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为________．

9、已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双

曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为________．

二、直接求出a 、c ，求解e ：已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用离心率公式

e c

a

=

来解决。 10、点P （－3，1）在椭圆x a y b 222

21+=（a b >>0）的左准线上，过点P 且方向为a →=-()

25，的光线经直线y =-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为【 】.

A.

3

3

B. 13

C.

22

D.

12

三、构造a ，c 齐次式，解出e ：根据题设条件关系式，借助a b c 、、之间的关系，沟通a c 、的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解方程得出离心率e 。

11、已知F F 12、是双曲线x a y b

222

21-=()a b >>00，的两焦点，以线段F F 12为边作正三角形

MF F 12，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是【 】.

A. 423+

B. 31-

C.

31

2

+ D. 31+

12、过双曲线x a y b

222

2-＝1()a b >>00，的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N

两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于__________。

四、寻找a 与c 的关系式：由于离心率是c 与a 的比值，故不必分别求出a 、c 的值，可寻找a 与c 的关系式，即a 用c 来表示即可解决。