第一章 晶体结构 2

iπ (l ) l) +l iπ n (l h k 1+ 2+ 3+ e−− = fCl − + f Na+ e
其中 f Cl − , f Na + 分别代表 Cl − 和 Na + 的原子散射因子。 现在把这样一个基元放在fcc点阵的阵点上，用 S 代替fcc结构因子中的 f 就得到NaCl结构立方惯用晶胞的结构因子
对应于晶面族(h k l)的几何结构因子 结晶学中选取晶胞为重复单元。所以
( k − k0 ) ⋅ rj = nK hkl ⋅ rj = n ( ha * + kb* + lc* ) ⋅ (u j a + v j b + w j c ) = 2πn ( hu j + kv j + lw j )
于是，几何结构因子可表示为
波程差
2π ∆ϕ = S − S0 ⋅ r = （k − k 0) ⋅ r λ
(
)
设O处一个电子在观测点产生的振幅为Ae，则P 点的一个电子在观测点产生的振幅：
为P点的电子密度
Aeei∆ϕ
P点dV内电子的散色波在观察点的振幅:
Aee ρ ( r )dV
i∆ϕ
原子中所有电子引起的散射波在观察点的总振幅：
原子散射因子

当基元中原子数大于1时，由于来自同一原胞中各个
原子的散射波之间存在干涉，原胞中原子的分布不同， 其散射能力也就不同，因而必须考虑原胞中不同位置的 原子对X射线的散射能力。
N为晶体中原胞总数
晶体总的散射振幅
劳厄衍射方程
Ae
原胞中第j个原子的散射因子
k −k0 = G
A/Ae
晶体的 X射线衍射就是晶体中处在不同位置上的原子向外 散射的电磁波（不同相位）相互干涉的结果，是晶体原子 的有序排列，使某些方向上散射波始终互相叠加、某些方 向上的散射波始终相互抵消，而产生衍射线。因此每种晶 体的衍射花样都反映出晶体内部原子分布的规律。
一个衍射花样的特征可以概括为两个方面： 衍射线在空间的分布规律（称之为衍射几何），由晶 胞的大小和形状决定。 衍射线的强度规律，由晶胞中原子的种类、数量和位 置所决定。
π
= 1+ e
1 n + )π i （(m 2
= 1± i
Fhkl=f F1F2=4 f (1±i)
金刚石结构允许的反射是所有指数(nh nk nl) 均为偶数且 nh+nk+nl=4m或者(nh nk nl)全为奇数。 金刚石是面心立方晶格，但由于每个格点代表的不再是一个原 子，而是一个由两个同种原子组成的基元，此基元中两个原子 的散射波相互干涉的结果使fcc点阵所允许的反射又有一部分消 失。
当晶胞中有异种原子存在，则异种原子的 散射因子不同，将会得到与同种原子组成 时不同的结构因子，因而消光规律和反射 线强度都会发生变化。
金刚石结构
面心点阵结构, 每个格点代表两个碳原子, 故金 刚石结构中, 每个晶胞中有8个碳原子, 其分数坐标 分别为(0,0,0), (1/2,1/2,0), (0,1/2,1/2), (1/2,0,1/2), (1/4,1/4,1/4), (3/4,3/4, 1/4), (3/4,1/4,3/4), (1/4,3/4,3/4）
2f
=
nh+nk+nl 为偶数
0
nh+nk+nl 为奇数

Fhkl = f (1 + eiπn ( h + k ) + eiπn ( h +l ) + eiπn ( k +l ) )
4f
=
nh,nk, nl 全部为偶数或者奇数
0
nh, nk, nl 部分为偶数或者奇数
F值只与晶胞内原子种类、原子数目及原 子位置有关,与而晶胞的形状、大小无关。
虽然点群和空间群理论以及晶体点阵学说都是19世纪提出 的，但直到1912年Laue发现了晶体X射线衍射现象之后才得 以从实验上观测到晶体结构并证实了上述理论。 1982年扫描电子显微镜发明以来，直接观察晶体中的原子 排列已成为可能，但又由于物质对电子的强烈吸收作用， 目前也只能用于观察晶体表面原子的分布。
发生衍射的 Bragg 条件清楚地反映了衍射方向与晶体结 构之间的关系。
但衍射的实质是晶体中各原子散射波之间相互干 涉的结果，只是由于衍射线的方向恰好相当于原子面 对入射波的反射，才得以使用 Bragg条件，不能因此 混淆平面反射和晶体衍射之间的本质区别。
2.劳厄衍射方程
波程差
S0
k0
k0 R l
− iπ ( l2h ++ l3 − iπ ( l + ll ) ) − iπ ( l1h ++ l2k)) l) ) e − iπn ( e − iπn ( +e + e − iπn (1k +3 FG = [ fCl − + f Na+ e e − iπ (l1 +l2 +l3 ) ] • [1 + e + + ]
氯化钠结构的结构因子
NaCl结构的布拉菲点阵是fcc，基元包含一个 Cl −，位于 ( 000 ) ，一 1 1 1 个 Na + ，位于 。把这样一个基元放置在fcc点阵的阵点上，就得 到NaCl结构。这个由两个离子组成的基元的几何机构因子是
2 2 2
S=
∑
j =1
s
f je
−i 2πn ( hu j + kv j + lw j )
原子内所有电子的散射波的振幅的几何和,与一个电子的散射波的振幅之
比称为该原子的散射因子。 原子内每个电子对X射 线散射波振幅Ae 原子内所有电子对X射 线散射波振幅Aa
原子散射因子
f=Aa/Ae
r
S0
为原子中某一点P的位矢
k0
P
S
r
O
k
S 0 和 S 分别为入射方向和散射方向的单位矢 量，则P点和O点散射波之间的相位差为：
A
S
CO + OD = − R l ⋅ S 0 + R l ⋅ S = R l ⋅ S − S 0
衍射加强条件为：
(
)
C
O D
R l ⋅ S − S 0 = µλ
(
)
( µ为整数)
设A为任一格点，格矢
---劳厄衍射方程
波矢
′ a 1 + l2 ′ a 2 + l3 ′ a3 R l = l1
R l ⋅ k − k 0 = 2π μ
iπ ( h + k )n iπ ( k + l )n iπ ( h + l )n f 1 e e e + + + nπ π i ( h+ k + l ) 2 1 + e
i ( h+ k + l ) 2
nπ π
= fF1 F2
F1 = 1 + e iπ ( h+ k )n+ e iπ ( k + l )n+ e iπ ( h+ l ) n
1.6.2
1
X射线衍射方程
1.布拉格反射公式
1′
k0
θ
k
θ
2
2′
衍射加强的条件：
2d h1h2 h3 sin θ = nλ
dh h h
1 2
3
布拉格反射公式
n为整数，称为衍射级数。
A
θ θ
B
O
是否可以用可见光进行晶体衍射呢？
2d h1h2 h3 sin θ = nλ
由上式可以看出：
2d λ≤ n
F2 = 1 + e
i ( h+ k + l ) n 2
π
F1就是面心点阵的结构因子
当(nh, nk, nl) 部分为奇数或者偶数时
F1=0, Fhkl = 0
当(nh, nk, nl)全为偶数时 nh+nk+nl=4m+2时
π
F2 = 1 + e
i ( nh + nk + nl ) 2
= 1 + e( 2 m +1)πi = 1 + eπi = 0
iπ ( h + k ) n iπ ( k + l )n iπ ( h + l )n Fhkl = f 1 + e + e + e
+e
i ( h+ k + l ) 2
πn
+e
i (3 h + 3 k + l ) 2
πn
+e
i (3 h + k + 3 l ) 2
πn
+e
i ( h+ 3 k + 3 l ) 2
几何结构因子
几何结构因子反映原胞内各原子的几何分布对衍射强度的影响
散射波的总强度I正比于散射波的总振幅的平方，于是得到
即晶体的X光衍射强结构因子
X射线受原子散射
各原子的散射波间 相互干涉 原子散射因子
某些方向衍射极大 某些方向衍射极小
X射线受原子中电子 的散射
Fhkl = 0 nh+nk+nl=4m时
F1=4 , F2=2 Fhkl=8f
当(nh, nk, nl)全为奇数时 nh+nk+nl 为奇数, n(h+k)， n(k+l)， n(h+l) 全为偶数 令nh+nk+nl=2m+1, 则 F1=4