拉压杆的变形与叠加原理
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FN 1 P 2 P 20kN sin 30
（拉伸）
30 FN2 P
A
（压缩） FN 2 FN1 cos 30 1.73P 17.3kN
24
2．应变能计算。
V
C ① 30 B A
F l F l 2 EA1 2 EA2
2 N1 1
2 N2 2
2 2 FN1 l1 FN 2 l1 cos 30 2 EA1 2 EA2
C ①
3．求A点位移。
变形后的A点是分别 以C点和B点为圆心，以 CD 和 BE 为半径所作圆弧 的交点A"。
B
②
30
E
A
D
A"
P A'
由于变形很小，上述弧线可近似地用切线代替， 于是过D点和E点，分别作CD和BE的垂线，其交点 A′即可视为A的新位置。
19
因此，A点的水平位移和 垂直位移为：
Ax AE l 2 0.6mm l 1 l 2 Ay AF FG sin 30 tan 30 1 0.6 3.04mm 0.5 0.577
取d=8.7mm
13
[例3] 如图所示涡轮叶片，当涡轮等 d 速旋转时承受离心力作用。叶片横 截面面积为A，弹性模量为E，单位 R 0 体积的质量为，涡轮的角速度为， R 1 试计算叶片上的正应力与轴向变形。
解：1、叶片的外力
dF a dm
2 R0
dF
n n x
A
E D
F
G
应该强调指出，在小变形条件下，通常可按结构原 有几何形状和尺寸计算支反力和内力，也可采用以切线 代圆弧的方法确定位移。利用小变形概念，可以使许多 问题的分析计算大为简化。
20
§6.9 拉压和剪切应变能
F1
A B
构件因变形而贮存的能量，叫做应变 能或变形能，用V表示。
对于由零开始地缓慢加载，由能量守恒 定律可知，贮存在构件内的应变能V，在数 值上等于外力所作的功W ，即，W= V。
dx
3、叶片的变形
微段dx的变形
R0
n n
dl x dx
x
E
FN x dx dx EA
x
E 6E
x
FN(x)
叶片的总变形
l
R0 R1 R0 R1
dl x dx
R0 R1
R0 R1
dx
3 0
R0 R1
b
b
E
FN b
EA
( p )
为泊松(Poisson)比
三个弹性 常数之间 的关系：
E G 2 1
6
三、分段均匀和非均匀拉压杆的变形 只适用于计算在长度l内FN FN l —— 及EA均为常值的情况，即 l EA 在l长度内变形是均匀。
l1
F1 A B
dFN dF d 2 d n-n截面上的正应力： A A
d l 叶片的变形：
dF R1 EA
0
2 2 R1 d
E
3、所有离心力作用效果的总和 2 R R 2 2 n-n的正应力： d d R0 x2 x x 2 叶片的总变形： 2 2
由此可见，几个载荷同时作用时产生的总 效果，等于各个载荷单独作用时产生的效果的 总和。此原理称为叠加原理。（线性范围）
10
[ 例 1] 如图螺栓内径为 d=10.1mm, 拧紧后在计算长度l=80mm内产生的 总伸长量为 l=0.03mm 。螺栓材料 的 弹 性 模 量 E=210GPa ， 泊 松 比 =0.3 。试计算螺栓内的应力、螺 栓的预紧力和螺栓的横向变形。 解：拧紧后螺栓内的轴向正应变为 l 0.03 0.000375 l 80
l1 F A l2 F C
B
解：分析。这是一个刚度设计问题，需要通过计 算变形来确定杆的直径。因此首先需要计算杆的 变形与其直径之间的关系。
12
F=4kN，l1=l2=100mm，E=200GPa， [l]=0.10mm。 1、计算轴力
l1 l2 F A B C F
FN1 2F
FN2 F
F FN 由 A A
l l
F
b
b +b l + l l
F
E
得
FN l l EA
( p )
——胡克定律
EA——拉压刚度（抗拉刚度）
5
二、拉压杆的横向变形
横向正应变
b b
F
E
b
b +b l + l l
F
试验表明
d d 0.0001125 10.1mm 0.00114mm
11
[ 例 2] 如 图 所 示 圆 截 面 杆 ， 已 知 F=4kN ， l1=l2=100mm ， E=200GPa ，为保证杆件正常工作， 要求其轴向总伸长量不超过 0.10mm ，即许用变形 [l]=0.10mm。试求截面直径d。
如果变形是分段均匀的， 则总变形按右式分段求和：
FN i li l i 1 Ei Ai
8
n
杆变形的计算方法2
l
l F A B A B
如果变形是非均匀的，例如考虑 自重的竖杆、变截面杆等，轴力 N(x)或截面积A(x)是x的函数。
l dl x dx
l l
则总变形按右式积分求和：
2
Ad
A
2
2
A d
R0
dx
2、叶片的内力与应力（截面法Fx=0）
FN ( x ) A d
x
n n
x
FN(x)
FN ( x ) 2 2 ( x) R0 x2 A 2
2Байду номын сангаас
R
2 0
x2
14
FN ( x ) 2 2 2 ( x) R x 0 A 2
E 210 10 9 0.000375 78.8 10 6 Pa 78.8MPa
F A 78.8 106 (10.1 10 3 ) 2 / 4 6310N 6.31kN
0.3 0.000375 0.0001125
FN x dx EA
2
2E
R
2 0
x 2 dx
2
2R
2 3 R0 R1 R13
15
另法：叠加原理
解：1、叶片的外力
dF a dm 2 Ad 2 A d
d
dF
n n
R0
R1
x
2、dF单独作用效果
A
B
l AC
FN1l1 FN 2 l 2 F2 F1 l1 F2 l 2 l1 l 2 EA EA EA EA
l AC
FN1l1 FN 2 l 2 F2 F1 l1 F2 l 2 l1 l 2 EA1 EA2 EA1 EA2
26
二、拉压与剪切应变能密度
dV
dxdz dy dxdydz 2 2
目的：刚度问题；拉压静不定问题 方法：几何法，叠加法，能量法
3
一、拉压杆的轴向变形
工程上使用的大多 数材料，其应力应变关 系的初始阶段都是线弹 性的，亦即当应力低于 材料的比例极限时，应 力与应变成正比，这就 是胡克定律，可以写成
F
F
b a
e p
o
Ｅ
1
4
E
( p )
胡克定律
2、计算轴向变形
FN1l1 8Fl1 l1 EA E d 2
总伸长：
FN2 l2 4Fl2 l 2 EA E d 2
12Fl1 l l1 l2 2 E d 3、刚度设计要求： l [l]
d 12Fl1 8.7 103 m E l
②
P
20 10
3
2
2
2 200 10 9 200 10 6 15.18N m
17.3 10
3
2
2 3 / 2
2 200 10 9 250 10 6
25
3 ．位移计算。设节点 A 的铅 垂位移为，由于与P同向， 则外力所作的功为W=P/2，由 能量守恒定律可得
0
l d l
R0 R1
R0
R1 d
E
R1
2
2R 6E
3 0
2 3R0 R1 R13
16
五、桁架的节点位移
桁架是由二力杆铰接，外力作用在 节点的结构模型。其变形通常用节点的 位移来表示。
[例4]图示桁架，①②杆材 料为钢，E＝200GPa， 横 截面积 A1 ＝ 200mm2 ， A2 ＝ 250mm2，①杆长l1＝2m。 试求P＝10kN时，节点A的 位移。
§6.8 拉压杆的变形与叠加原理 当杆件承受轴向载荷时， 其轴向和横向尺寸均发生变 化。杆件沿轴线方向的变形 称为轴向变形；垂直于轴线 方向的变形称为横向变形。
F F
1
下面我们 将所圈区 域放大
集装箱运载桥
A
轴向 拉杆
C
B
D
P
2
刚度问题
C ① 30 B ② P A FR1
拉压静不定问题
F
FR2
利用应变能的概念，可以作出构件或结 构的变形或位移计算，从而解决构件或结构 的刚度或静不定等问题，这种方法就称为应 变能法或能量法。
21
一、轴向拉压应变能 条件：载荷从 0开始缓慢的 增加。
dW Pd l
W
l1 0
Pd l
W等于P-l曲线下的面积。当p时，有
l2 F2 C
A
l1
F1 B
l2
F2 C
AB : N 1 F2 F1
BC : N 2 F2
FN1l1 F2 F1 l1 l1 EA EA
FN2 l 2 F2 l 2 l 2 EA EA
7
杆变形的计算方法1
l1 F1 l2 F2 C A
l1
F1 B
l2
F2 C
2．计算变形
FN1l1 20 10 3 2 10 3 l1 1mm （伸长） 3 EA1 200 10 200
A
FN 2 l 2 17.3 10 3 1.73 10 3 l 2 0.6mm（缩短） 3 EA2 200 10 250
l1 AD （伸长） l 2 AE （缩短）
1 W P l 2
22
1 对于线弹性情况，p时， W 2 P l
对于在长度 l 内、 N=P 及 EA 均为常 值的情况，即均匀拉伸：
FN l Pl l EA EA
利用以上两式以及能量守恒定律有：
FN l 1 1 W P l N l V 2 2 2 EA
FN ( x )dx EA( x ) l
9
四、叠加原理
l1 l2
F1
F1
A B C
F2
=
A
B
C F2
A
B
C
l AC
F1l1 EA
F2 l1 l2 l AC EA
l AC l AC l AC
F2 l1 l 2 EA
F1l1 F2 F1 l1 F2 l 2 EA EA EA
2
从上式可以看出， V恒为正。
23
[例4] 图 a 所示桁架，① ② 杆 材料为钢质， E ＝ 200GPa ．横 截 面 积 A1 ＝ 200mm2 ， A2 ＝ 250mm2， ①杆长l1＝2m。 试 用能量法求P＝10kN时，节点A 的垂直位移。
C ① 30 B A
②
P
解： 1 ．求轴力。由节点 A的平衡条件可得 杆①、杆②的轴力分别为 FN1
C ① 30 B A
②
P
W P / 2 V
2V 2 15.18 m 0.00304m 3.04mm 从而有： 3 P 10 10
为正，说明 与 P 同向的假设是正确的。由于 V 恒为 正，因此当只有一个外载荷P作功时，必与P同向。
！这里介绍的能量法只能求载荷方向的位移。
C ① 30 B A
②
P
17
解：1．求轴力 由节点 A 的平衡条件可得 杆①、杆②的轴力分别为
FN 1 P 2 P 20kN sin 30
C ① 30 B A
②
P FN1 30 FN2 P
18
（拉伸）
（压缩） FN 2 FN1 cos 30 1.73P 17.3kN
（拉伸）
30 FN2 P
A
（压缩） FN 2 FN1 cos 30 1.73P 17.3kN
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2．应变能计算。
V
C ① 30 B A
F l F l 2 EA1 2 EA2
2 N1 1
2 N2 2
2 2 FN1 l1 FN 2 l1 cos 30 2 EA1 2 EA2
C ①
3．求A点位移。
变形后的A点是分别 以C点和B点为圆心，以 CD 和 BE 为半径所作圆弧 的交点A"。
B
②
30
E
A
D
A"
P A'
由于变形很小，上述弧线可近似地用切线代替， 于是过D点和E点，分别作CD和BE的垂线，其交点 A′即可视为A的新位置。
19
因此，A点的水平位移和 垂直位移为：
Ax AE l 2 0.6mm l 1 l 2 Ay AF FG sin 30 tan 30 1 0.6 3.04mm 0.5 0.577
取d=8.7mm
13
[例3] 如图所示涡轮叶片，当涡轮等 d 速旋转时承受离心力作用。叶片横 截面面积为A，弹性模量为E，单位 R 0 体积的质量为，涡轮的角速度为， R 1 试计算叶片上的正应力与轴向变形。
解：1、叶片的外力
dF a dm
2 R0
dF
n n x
A
E D
F
G
应该强调指出，在小变形条件下，通常可按结构原 有几何形状和尺寸计算支反力和内力，也可采用以切线 代圆弧的方法确定位移。利用小变形概念，可以使许多 问题的分析计算大为简化。
20
§6.9 拉压和剪切应变能
F1
A B
构件因变形而贮存的能量，叫做应变 能或变形能，用V表示。
对于由零开始地缓慢加载，由能量守恒 定律可知，贮存在构件内的应变能V，在数 值上等于外力所作的功W ，即，W= V。
dx
3、叶片的变形
微段dx的变形
R0
n n
dl x dx
x
E
FN x dx dx EA
x
E 6E
x
FN(x)
叶片的总变形
l
R0 R1 R0 R1
dl x dx
R0 R1
R0 R1
dx
3 0
R0 R1
b
b
E
FN b
EA
( p )
为泊松(Poisson)比
三个弹性 常数之间 的关系：
E G 2 1
6
三、分段均匀和非均匀拉压杆的变形 只适用于计算在长度l内FN FN l —— 及EA均为常值的情况，即 l EA 在l长度内变形是均匀。
l1
F1 A B
dFN dF d 2 d n-n截面上的正应力： A A
d l 叶片的变形：
dF R1 EA
0
2 2 R1 d
E
3、所有离心力作用效果的总和 2 R R 2 2 n-n的正应力： d d R0 x2 x x 2 叶片的总变形： 2 2
由此可见，几个载荷同时作用时产生的总 效果，等于各个载荷单独作用时产生的效果的 总和。此原理称为叠加原理。（线性范围）
10
[ 例 1] 如图螺栓内径为 d=10.1mm, 拧紧后在计算长度l=80mm内产生的 总伸长量为 l=0.03mm 。螺栓材料 的 弹 性 模 量 E=210GPa ， 泊 松 比 =0.3 。试计算螺栓内的应力、螺 栓的预紧力和螺栓的横向变形。 解：拧紧后螺栓内的轴向正应变为 l 0.03 0.000375 l 80
l1 F A l2 F C
B
解：分析。这是一个刚度设计问题，需要通过计 算变形来确定杆的直径。因此首先需要计算杆的 变形与其直径之间的关系。
12
F=4kN，l1=l2=100mm，E=200GPa， [l]=0.10mm。 1、计算轴力
l1 l2 F A B C F
FN1 2F
FN2 F
F FN 由 A A
l l
F
b
b +b l + l l
F
E
得
FN l l EA
( p )
——胡克定律
EA——拉压刚度（抗拉刚度）
5
二、拉压杆的横向变形
横向正应变
b b
F
E
b
b +b l + l l
F
试验表明
d d 0.0001125 10.1mm 0.00114mm
11
[ 例 2] 如 图 所 示 圆 截 面 杆 ， 已 知 F=4kN ， l1=l2=100mm ， E=200GPa ，为保证杆件正常工作， 要求其轴向总伸长量不超过 0.10mm ，即许用变形 [l]=0.10mm。试求截面直径d。
如果变形是分段均匀的， 则总变形按右式分段求和：
FN i li l i 1 Ei Ai
8
n
杆变形的计算方法2
l
l F A B A B
如果变形是非均匀的，例如考虑 自重的竖杆、变截面杆等，轴力 N(x)或截面积A(x)是x的函数。
l dl x dx
l l
则总变形按右式积分求和：
2
Ad
A
2
2
A d
R0
dx
2、叶片的内力与应力（截面法Fx=0）
FN ( x ) A d
x
n n
x
FN(x)
FN ( x ) 2 2 ( x) R0 x2 A 2
2Байду номын сангаас
R
2 0
x2
14
FN ( x ) 2 2 2 ( x) R x 0 A 2
E 210 10 9 0.000375 78.8 10 6 Pa 78.8MPa
F A 78.8 106 (10.1 10 3 ) 2 / 4 6310N 6.31kN
0.3 0.000375 0.0001125
FN x dx EA
2
2E
R
2 0
x 2 dx
2
2R
2 3 R0 R1 R13
15
另法：叠加原理
解：1、叶片的外力
dF a dm 2 Ad 2 A d
d
dF
n n
R0
R1
x
2、dF单独作用效果
A
B
l AC
FN1l1 FN 2 l 2 F2 F1 l1 F2 l 2 l1 l 2 EA EA EA EA
l AC
FN1l1 FN 2 l 2 F2 F1 l1 F2 l 2 l1 l 2 EA1 EA2 EA1 EA2
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二、拉压与剪切应变能密度
dV
dxdz dy dxdydz 2 2
目的：刚度问题；拉压静不定问题 方法：几何法，叠加法，能量法
3
一、拉压杆的轴向变形
工程上使用的大多 数材料，其应力应变关 系的初始阶段都是线弹 性的，亦即当应力低于 材料的比例极限时，应 力与应变成正比，这就 是胡克定律，可以写成
F
F
b a
e p
o
Ｅ
1
4
E
( p )
胡克定律
2、计算轴向变形
FN1l1 8Fl1 l1 EA E d 2
总伸长：
FN2 l2 4Fl2 l 2 EA E d 2
12Fl1 l l1 l2 2 E d 3、刚度设计要求： l [l]
d 12Fl1 8.7 103 m E l
②
P
20 10
3
2
2
2 200 10 9 200 10 6 15.18N m
17.3 10
3
2
2 3 / 2
2 200 10 9 250 10 6
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3 ．位移计算。设节点 A 的铅 垂位移为，由于与P同向， 则外力所作的功为W=P/2，由 能量守恒定律可得
0
l d l
R0 R1
R0
R1 d
E
R1
2
2R 6E
3 0
2 3R0 R1 R13
16
五、桁架的节点位移
桁架是由二力杆铰接，外力作用在 节点的结构模型。其变形通常用节点的 位移来表示。
[例4]图示桁架，①②杆材 料为钢，E＝200GPa， 横 截面积 A1 ＝ 200mm2 ， A2 ＝ 250mm2，①杆长l1＝2m。 试求P＝10kN时，节点A的 位移。
§6.8 拉压杆的变形与叠加原理 当杆件承受轴向载荷时， 其轴向和横向尺寸均发生变 化。杆件沿轴线方向的变形 称为轴向变形；垂直于轴线 方向的变形称为横向变形。
F F
1
下面我们 将所圈区 域放大
集装箱运载桥
A
轴向 拉杆
C
B
D
P
2
刚度问题
C ① 30 B ② P A FR1
拉压静不定问题
F
FR2
利用应变能的概念，可以作出构件或结 构的变形或位移计算，从而解决构件或结构 的刚度或静不定等问题，这种方法就称为应 变能法或能量法。
21
一、轴向拉压应变能 条件：载荷从 0开始缓慢的 增加。
dW Pd l
W
l1 0
Pd l
W等于P-l曲线下的面积。当p时，有
l2 F2 C
A
l1
F1 B
l2
F2 C
AB : N 1 F2 F1
BC : N 2 F2
FN1l1 F2 F1 l1 l1 EA EA
FN2 l 2 F2 l 2 l 2 EA EA
7
杆变形的计算方法1
l1 F1 l2 F2 C A
l1
F1 B
l2
F2 C
2．计算变形
FN1l1 20 10 3 2 10 3 l1 1mm （伸长） 3 EA1 200 10 200
A
FN 2 l 2 17.3 10 3 1.73 10 3 l 2 0.6mm（缩短） 3 EA2 200 10 250
l1 AD （伸长） l 2 AE （缩短）
1 W P l 2
22
1 对于线弹性情况，p时， W 2 P l
对于在长度 l 内、 N=P 及 EA 均为常 值的情况，即均匀拉伸：
FN l Pl l EA EA
利用以上两式以及能量守恒定律有：
FN l 1 1 W P l N l V 2 2 2 EA
FN ( x )dx EA( x ) l
9
四、叠加原理
l1 l2
F1
F1
A B C
F2
=
A
B
C F2
A
B
C
l AC
F1l1 EA
F2 l1 l2 l AC EA
l AC l AC l AC
F2 l1 l 2 EA
F1l1 F2 F1 l1 F2 l 2 EA EA EA
2
从上式可以看出， V恒为正。
23
[例4] 图 a 所示桁架，① ② 杆 材料为钢质， E ＝ 200GPa ．横 截 面 积 A1 ＝ 200mm2 ， A2 ＝ 250mm2， ①杆长l1＝2m。 试 用能量法求P＝10kN时，节点A 的垂直位移。
C ① 30 B A
②
P
解： 1 ．求轴力。由节点 A的平衡条件可得 杆①、杆②的轴力分别为 FN1
C ① 30 B A
②
P
W P / 2 V
2V 2 15.18 m 0.00304m 3.04mm 从而有： 3 P 10 10
为正，说明 与 P 同向的假设是正确的。由于 V 恒为 正，因此当只有一个外载荷P作功时，必与P同向。
！这里介绍的能量法只能求载荷方向的位移。
C ① 30 B A
②
P
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解：1．求轴力 由节点 A 的平衡条件可得 杆①、杆②的轴力分别为
FN 1 P 2 P 20kN sin 30
C ① 30 B A
②
P FN1 30 FN2 P
18
（拉伸）
（压缩） FN 2 FN1 cos 30 1.73P 17.3kN