拓扑学的产生与发展

拓扑学的产生与发展
邓一凡
0401120
摘要：
拓扑学作为数学上一个重要的分支，主要是研究各种“空间”在连续性的变化下不变的性质，自从18世纪开始出现萌芽以来，对微分几何，分析学，抽象代数，经济学等其他学科产生了重大的影响。

而随着时代的发展，拓扑学更会在科学中起到更加重要的作用和影响力。

As an important branch of mathematics , Topology is to study a variety of "space" in the continuity of the invariant under changes in the nature, since the 18th century began to sprout since the differential geometry, analytical science, abstract algebra, economics, etc. other disciplines have had a significant impact. With the development of the times, topology in science will play a more important role and have more influence.
关键字：
拓扑学欧拉四色问题七桥问题庞加莱
正文：
拓扑学的定义：
（1）Topology原意为地貌，起源于希腊语Τοπολογ。

形式上讲，拓扑学主要研究“拓扑空间”在“连续变换”下保持不变的性质。

简单的说，拓扑学是研究连续性和连通性的一个数学分支。

主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量
拓扑学早期的发展：
拓扑学最初被称为形势几何学，这是莱布尼茨于1679年提出的，他预见到现在所称的组合拓扑学.最早为人所知的拓扑学定理可能是所谓的欧拉公式，这是指任何闭的凸多面体的顶点数v，棱数e和面数f有关系v-e+f=2.用现代说法，它是一个拓扑不变量，称为欧拉示性数.但据史学家考证，笛卡儿在1639年就知道它，并且莱布尼茨通过笛卡儿未发表的手稿于1675年得知这一结果.另一著名的结果是哥尼斯堡七桥问题的解决，欧拉在1736年将问题表成能否一笔画一个给定的图，并给出了一般性的解答.德国数学家高斯（Gauss，C.F.）于1827年得到曲面上曲率的积分与欧拉示性数的关系，他于1823年在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数.
利斯廷（Listing，J.B.）于1848年第一次采用了拓扑学一词，而黎曼（Riemann，B.）于1851年定义了黎曼面，引进了连通性和亏格，实际上解决了可定向闭曲面的分类问题，给拓扑学的建立以巨大的推动.1858年，默比乌斯（Mo¨bius，A.F.）和利斯廷独立地发现了单侧的曲面，现被更确切地称为不可定向曲面.默比乌斯于1863年恰当地指出形势几何学的定义.
拓扑学正式成为一门独立的学科是庞加莱（Poincaré，H.）实现的.他于1892年发表了题为“论形势分析”的短文，然后于1895年发表了题为“形势分析”的120页的长文，介绍它的概念，其中有同调、贝蒂数、相交、基本群，甚至隐含着上同调;建立了对偶定理和欧拉-庞加莱公式.随后直到1904年，他连续发表了五篇补充，为改进前述长文中的缺点创立了剖分方法，定义了挠系数，开始探讨三维流形的拓扑分类，构造出基本群不平凡而一维贝蒂数平凡的三维流形，并提出了著名的庞加莱猜想：基本群平凡的三维闭流形同胚于三维
球面.这几篇文章奠定了组合拓扑学的基础，其思想非常丰富，观念很深刻，影响很深远，尽管不够严密或缺乏证明，但后来的进展正是从此入手，将这门学科建立在严格的逻辑上而发展为后来的组合拓扑学、代数拓扑学，进而发展出微分拓扑学等学科和分支.从此以后，拓扑学得到了蓬勃的发展，也为不同学科提供了宝贵的数学支持。

拓扑学经典问题：
七桥问题
哥尼斯堡是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。

十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。

一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。

这个看起来很简单又很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。

而大数学家欧拉了解了这个问题后，经过多次计算，也得不到正确答案，忽然他想到，七桥问题是不是原本就无解呢？
在经过一年的研究之后，欧拉提交了《哥尼斯堡七桥》的论文，圆满解决了这一问题，同时开创了数学新一分支---图论。

而这也是拓扑学产生的萌芽
（1）在论文中，欧拉将七桥问题抽象出来，把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。

并由此得到了如图一样的几何图形。

若我们分别用A、B、C、D四个点表示为哥尼斯堡的四个区域。

这样著名的“七桥问题”便转化为是否能够用一笔不重复的画出过此七条线的问题了。

若可以画出来，则图形中必有终点和起点，并且起点和终点应该是同一点，由于对称性可知由B或C为起点得到的效果是一样的，若假设以A为起点和终点，则必有一离开线和对应的进入线，若我们定义进入A的线的条数为入度，离开线的条数为出度，与A有关的线的条数为A的度，则A的出度和入度是相等的，即A的度应该为偶数。

即要使得从A出发有解则A的度数应该为偶数，而实际上A的度数是5为奇数，于是可知从A出发是无解的。

同时若从B或D出发，由于B、D的度数分别是3、3，都是奇数，即以之为起点都是无解的。

四色问题：
四色问题是拓扑学发展的关键，1872年，英国著名数学家凯利正式向英国数学学会提出了这个问题，即：如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；
提出这个问题后，英国著名的律师兼数学家肯普(Alfred Kempe)和泰勒(Peter Guthrie Tait)两人分别提交了证明四色猜想的论文，当人们认为四色问题已经完美地解决时，1890年，牛津大学学生赫伍德以自己的精确计算指出了肯普在证明上的漏洞。

他指出肯普说没有极小五色地图能有一国具有五个邻国的理由有破绽。

不久，泰勒的证明也被人们否定了。

人们发现他们实际上证明了一个较弱的命题——五色定理。

就是说对地图着色，用五种颜色就够了。

后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。

到了20世纪六十年代后期，数学家海克引进一个类似于在电网络中移动电荷的方法来求构形的不可避免组。

在海克的研究中第一次以颇不成熟的形式出现的“放电法”，这对以后关于不可避免组的研究是个关键，也是证明四色定理的中心要素。

最后, 在1976年6月美国伊利诺大学哈肯在1970年着手改进之前解决四色问题的方法“放电过程”，后与阿佩尔合作编制一个很好的程序。

他们在大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明，轰动了世界。

庞加莱猜想：
庞加莱猜想是法国数学家庞加莱提出的一个猜想，是克雷数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题。

其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。

庞加莱
猜想是一个拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。

1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。

但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，被推广为：“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面(n+1维空间中与原点有单位距离的点的全体)。

”后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。

从那时起，数学家们就在为此奋斗
庞加莱猜想图示终于，在1961年的夏天，在基辅的非线性振动会议上，斯梅尔公布了自己对庞加莱猜想的五维空间和五维以上的证明，立时引起轰动。

斯梅尔由此获得1966年菲尔茨奖。

1983年，美国数学家福里德曼（Freedman）将证明又向前推动了一步。

在唐纳森工作的基础上，他证出了四维空间中的庞加莱猜想，并因此获得菲尔茨奖。

但是，再向前推进的工作，又停滞了。

而在俄罗斯，一个叫格里戈里·佩雷尔曼的数学家在花了8年时间研究这个足有一个世纪的古老数学难题后，在2002年11月和2003年7月之间，将3份关键论文的手稿粘贴到一家专门刊登数学和物理论文的网站上，并用电邮通知了几位数学家。

声称证明了几何化猜想。

到2005年10月，数位专家宣布验证了该证明。

自此，庞加莱猜想可以说是被完全地解决了。

拓扑学未来的发展方向：
量子拓扑学这一研究方向主要在于研究分子的电子密度分布函数的拓扑性质和分子结构、化学键的相关，研究分子结构和化学键的本质。

这是８０年代发展起来的新学科，是量子化学和代数拓扑学、计算机技术交叉的新学科。

这一学科的发展将促进化学基础理论的发展。

因此可以说，量子拓扑学是数学、物理、化学三者的有机结合。

（3）微分拓扑是研究微分流形与可微映射的拓扑学。

随着代数拓扑和微分几何的进步，在30年代重新兴起。

H·惠特尼（H. Whitney）在1935年给出了微分流形的一般定义，并证明它总能嵌入高维欧氏空间。

为了研究微分流形上的向量场，他还提出了纤维丛的概念，从而使许多几何问题都与同调（示性类）和同伦问题联系起来了。

摘要
（1）：中国科普博览．2013-02-20
（2）：拓扑学与几何学的桥梁伊犁师范学院学报：自然科学版-2011年第2期
（3）：Switzer ．《代数拓扑》(Algebraic Topology) ：Springer。