数学建模作业 实验6数理统计实验
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实验 6 数理统计实验 1. 区间估计 解： （1）根据题意，用 R 软件求解 > X<-c(1067,919,1196,785,1126,936,918,1156,920,948) > t.test(X,al="g") 得到如下结果： One Sample t-test data: X t = 23.9693, df = 9, p-value = 9.148e-10 alternative hypothesis: true mean is greater than 0 95 percent confidence interval: 920.8443 Inf sample estimates: mean of x 997.1 由此知道这批灯泡中大约 95%的灯泡至少使用 920.8443 小时。 （2） > x<-c(1067,919,1196,785,1126,936,918,1156,920,948) >x [1] 1067 919 1196 785 1126 936 918 1156 920 948 > pnorm(1000,mean(x),sd(x)) [1] 0.5087941 x<=1000 的概率为 0.5087941， 故 x 大于 1000 的概率为 0.4912059 即这个星期生产出的灯泡能使用 1000h 以上的概率为 0.4912059。
4. 假设检验 III 解：根据题意提出假设：建立检验假设，确定检验水准：H0：p=p0=2% 即患病率相符；H1： p≠p0 即患病率不符；=0.05。 使用 R 软件进行校验： > binom.test(400,10000,p=0.002) 得到如下结果： Exact binomial test data: 400 and 10000
2. 假设检验 I 解：根据题意，用 R 软件求解 > x<-c(220, 188, 162, 230, 145, 160, 238, 188, 247, 113, 126, 245, 164, 231, 256, 183, 19 0, 158, 224, 175) > t.test(x,mu=225,alternative="less") One Sample t-test data: x t = -3.4783, df = 19, p-value = 0.001258 alternative hypothesis: true mean is less than 225 95 percent confidence interval: -Inf 208.4806 sample estimates: mean of x
警告信息： In chisq.test(Y, p = p) : Chi-squared 近似算法有可能不准 得到警告，因为 Pearson χ2 检验要求在分组后，至少要大于等于 5，而后两组中出现 的顾客数是 1，0，均小于 5，重新分组，合并频数小于 5 的组： > Z<-c(92,68,28,12) > n<-length(Z); p<-p[1:n-1]; p[n]<-1-q[n-1] > chisq.test(Z,p=p) 得到如下结果： Chi-squared test for given probabilities data: Z X-squared = 0.9113, df = 3, p-value = 0.8227 分析结果， p-值为 0.8227>0.1， 因此， 接受原假设， 即每分钟顾客数 X 服从 Poisson 分布。
8. 列联表检验 I 解：根据题意，利用 R 软件输入数据，使用 chisq.test()作检验。 > compare<-matrix(c(28,42,34,31,23,9,7,11,13,7,15,20), nr=2, dimnames=list(c("女性",
"男性"), c("配偶", "父母", "子女", "兄弟姐妹", "姻亲", "其他亲属"))) > chisq.test(compare, correct=TRUE) 得到如下结果： Pearson's Chi-squared test data: compare X-squared = 12.4666, df = 5, p-value = 0.02892 由于 p-值为 0.02892<0.05，因此拒绝原假设，认为女性和男性在关于给谁买节日礼 物最难的看法上是有显著差异的。 9. 列联表检验 II 解：根据题意，其所给数据不满足χ 2 检验条件，固使用 Fisher 精确检验。 > x<-matrix(c(9,1,3,3), nc=2) > fisher.test(x) 得到如下结果： Fisher's Exact Test for Count Data data: x p-value = 0.1181 alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1 95 percent confidence interval: 0.4313171 521.0928115 sample estimates: odds ratio 7.63506 由此计算出的 p-值=0.1181>0.05,并且区间估计得到的区间包含有 1，因此说明两个变量 是独立的，即认为左右半球恶性肿瘤的发病率并无显著差异。
number of successes = 400, number of trials = 10000, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.002 95 percent confidence interval: 0.03624378 0.04402702 sample estimates: probability of success 0.04 检验出 P-值<0.05，因此不符合原假设，即这组数据不能说明乳腺癌的患病率与家族遗传有 关。 5. 分布检验 I 解：根据题意提出假设：建立检验假设，确定检验水准：H0：结果符合自由组合规律；H1： 结果不符合自由组合规律；=0.05。 使用 R 软件进行校验，利用 pearson 卡方检验是否符合特定分布： > chisq.test(c(315,101,108,32),p=c(9,3,3,1)/16) 得到如下结果： Chi-squared test for given probabilities data: c(315, 101, 108, 32) X-squared = 0.47, df = 3, p-value = 0.9254 分析结果结果 p-值为 0.9254>0.05， 所以接受原假设， 即此结果符合自由组合规律。
6. 分布检验 II 解：根据题意提出假设：建立检验假设，确定检验水准：H0：每分钟顾客数 X 服从 Poisson 分布；H1：每分钟顾客数 X 不服从 Poisson 分布；=0.1。 使用 R 软件进行校验： 首先利用 pearson 卡方检验是否符合泊松分布： > X<-0:5;Y<-c(92,68,28,11,1,0) > q<-ppois(X, mean(rep(X,Y))); > n<-length(Y) > p<-numeric(n); > p[1]<-q[1]; > p[n]<-1-q[n-1]; > for (i in 2:(n-1)) + p[i]<-q[i]-q[i-1] > chisq.test(Y,p=p) 得到如下结果： Chi-squared test for given probabilities data: Y X-squared = 2.1596, df = 5, p-value = 0.8267
10 1
件进行检验： x<-c(6,2,8,6,1,11,10,3,4,6) ks.test(x,"pexp",0.1) 得到如下结果： One-sample Kolmogorov-Smirnov test data: x D = 0.3329, p-value = 0.2178 alternative hypothesis: two-sided 因此 P-值为 0.2178>0.05，因此接受原假设，即打进电话的时间间隔是否服从指数 分布。
因此试验组与对照组的没有显著差异。 进行成对 t 检验： > t.test(x,y,paired=TRUE) 得到如下结果： Paired t-test data: x and y t = -0.6464, df = 19, p-value = 0.5257 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: -2.373146 1.253146 sample estimates: mean of the differences -0.56 即试验组与对照组的结果也没有显著差异。 故三中检验的结果都显示两组数据均值无差异。 对比三种检验方式，如果两个样本是成对的，应该使用成对的 t 检验，如果不使用成对 t 检 验，t 值会变小，p 值会变大，准确性差了很多。 （2）方差检验： > var.test(x,y) 得到如下结果： F test to compare two variances data: x and y F = 1.5984, num df = 19, denom df = 19, p-value = 0.3153 alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1 95 percent confidence interval: 0.6326505 4.0381795 sample estimates: ratio of variances 1.598361 故两组数据方差相同。
7. 分布检验 III 解：根据打进的电话时间算出时间间隔： 1 :0 0 :0 6 6 1 :0 8 2 1 :1 6 8 1 :2 2 6 1 :2 3 1 1 1 :3 4 1 0 1 :4 4 1 1 :4 7 3 1 :5 1 4 1 :5 7 6 1
建立检验假设，确定检验水准：H0：打进电话的时间间隔服从指数分布；H1：打进 电话的时间间隔不服从指数分布；=0.05。假设指数分布的参数 λ 为 =0.1，利用 R 软
192.15 油漆工人的血小板计数与正常成年男子有差异。 p 值为 0.002516 小于 0.05，原假设不成立， 因此认为油漆作业对男子血小板含量有影响。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
3. 假设检验 II 解：根据题意：建立检验假设，确定检验水准：H0：1=2 即阿卡波糖胶囊组与拜糖平胶 囊组空腹血糖下降值总体均数相等；H1：1≠2 即阿卡波糖胶囊组与拜糖平胶囊组空 腹血糖下降值总体均数不相等；=0.05。 使用 t 检验，若两组数据方差相同时，编辑 R 软件程序如下： >x<-c(-0.70,-5.60,2.00,2.80,0.70,3.50,4.00,5.80,7.10,-0.50,2.50,-1.60,1.70,3.00,0.40,4.50,4. 60,2.50,6.00,-1.40) >y<-c(3.70,6.50,5.00,5.20,0.80,0.20,0.60,3.40,6.60,-1.10,6.00,3.80,2.00,1.60,2.00,2.20,1.20 ,3.10,1.70,-2.00) > t.test(x,y,var.equal=TRUE) 得到如下结果： Two Sample t-test data: x and y t = -0.6419, df = 38, p-value = 0.5248 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: -2.326179 1.206179 sample estimates: mean of x mean of y 2.065 2.625 分析结果，p-value=0.5248>0.05，所以接受原假设 H0，即试验组与对照组没有显著差异。 根据题意，若两组数据方差不同时，利用 R 软件进行 t 检验： > t.test(x,y) 得到如下结果 Welch Two Sample t-test data: x and y t = -0.6419, df = 36.086, p-value = 0.525 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: -2.32926 1.20926 sample estimates: mean of x mean of y 2.065 2.625
4. 假设检验 III 解：根据题意提出假设：建立检验假设，确定检验水准：H0：p=p0=2% 即患病率相符；H1： p≠p0 即患病率不符；=0.05。 使用 R 软件进行校验： > binom.test(400,10000,p=0.002) 得到如下结果： Exact binomial test data: 400 and 10000
2. 假设检验 I 解：根据题意，用 R 软件求解 > x<-c(220, 188, 162, 230, 145, 160, 238, 188, 247, 113, 126, 245, 164, 231, 256, 183, 19 0, 158, 224, 175) > t.test(x,mu=225,alternative="less") One Sample t-test data: x t = -3.4783, df = 19, p-value = 0.001258 alternative hypothesis: true mean is less than 225 95 percent confidence interval: -Inf 208.4806 sample estimates: mean of x
警告信息： In chisq.test(Y, p = p) : Chi-squared 近似算法有可能不准 得到警告，因为 Pearson χ2 检验要求在分组后，至少要大于等于 5，而后两组中出现 的顾客数是 1，0，均小于 5，重新分组，合并频数小于 5 的组： > Z<-c(92,68,28,12) > n<-length(Z); p<-p[1:n-1]; p[n]<-1-q[n-1] > chisq.test(Z,p=p) 得到如下结果： Chi-squared test for given probabilities data: Z X-squared = 0.9113, df = 3, p-value = 0.8227 分析结果， p-值为 0.8227>0.1， 因此， 接受原假设， 即每分钟顾客数 X 服从 Poisson 分布。
8. 列联表检验 I 解：根据题意，利用 R 软件输入数据，使用 chisq.test()作检验。 > compare<-matrix(c(28,42,34,31,23,9,7,11,13,7,15,20), nr=2, dimnames=list(c("女性",
"男性"), c("配偶", "父母", "子女", "兄弟姐妹", "姻亲", "其他亲属"))) > chisq.test(compare, correct=TRUE) 得到如下结果： Pearson's Chi-squared test data: compare X-squared = 12.4666, df = 5, p-value = 0.02892 由于 p-值为 0.02892<0.05，因此拒绝原假设，认为女性和男性在关于给谁买节日礼 物最难的看法上是有显著差异的。 9. 列联表检验 II 解：根据题意，其所给数据不满足χ 2 检验条件，固使用 Fisher 精确检验。 > x<-matrix(c(9,1,3,3), nc=2) > fisher.test(x) 得到如下结果： Fisher's Exact Test for Count Data data: x p-value = 0.1181 alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1 95 percent confidence interval: 0.4313171 521.0928115 sample estimates: odds ratio 7.63506 由此计算出的 p-值=0.1181>0.05,并且区间估计得到的区间包含有 1，因此说明两个变量 是独立的，即认为左右半球恶性肿瘤的发病率并无显著差异。
number of successes = 400, number of trials = 10000, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: true probability of success is not equal to 0.002 95 percent confidence interval: 0.03624378 0.04402702 sample estimates: probability of success 0.04 检验出 P-值<0.05，因此不符合原假设，即这组数据不能说明乳腺癌的患病率与家族遗传有 关。 5. 分布检验 I 解：根据题意提出假设：建立检验假设，确定检验水准：H0：结果符合自由组合规律；H1： 结果不符合自由组合规律；=0.05。 使用 R 软件进行校验，利用 pearson 卡方检验是否符合特定分布： > chisq.test(c(315,101,108,32),p=c(9,3,3,1)/16) 得到如下结果： Chi-squared test for given probabilities data: c(315, 101, 108, 32) X-squared = 0.47, df = 3, p-value = 0.9254 分析结果结果 p-值为 0.9254>0.05， 所以接受原假设， 即此结果符合自由组合规律。
6. 分布检验 II 解：根据题意提出假设：建立检验假设，确定检验水准：H0：每分钟顾客数 X 服从 Poisson 分布；H1：每分钟顾客数 X 不服从 Poisson 分布；=0.1。 使用 R 软件进行校验： 首先利用 pearson 卡方检验是否符合泊松分布： > X<-0:5;Y<-c(92,68,28,11,1,0) > q<-ppois(X, mean(rep(X,Y))); > n<-length(Y) > p<-numeric(n); > p[1]<-q[1]; > p[n]<-1-q[n-1]; > for (i in 2:(n-1)) + p[i]<-q[i]-q[i-1] > chisq.test(Y,p=p) 得到如下结果： Chi-squared test for given probabilities data: Y X-squared = 2.1596, df = 5, p-value = 0.8267
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件进行检验： x<-c(6,2,8,6,1,11,10,3,4,6) ks.test(x,"pexp",0.1) 得到如下结果： One-sample Kolmogorov-Smirnov test data: x D = 0.3329, p-value = 0.2178 alternative hypothesis: two-sided 因此 P-值为 0.2178>0.05，因此接受原假设，即打进电话的时间间隔是否服从指数 分布。
因此试验组与对照组的没有显著差异。 进行成对 t 检验： > t.test(x,y,paired=TRUE) 得到如下结果： Paired t-test data: x and y t = -0.6464, df = 19, p-value = 0.5257 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: -2.373146 1.253146 sample estimates: mean of the differences -0.56 即试验组与对照组的结果也没有显著差异。 故三中检验的结果都显示两组数据均值无差异。 对比三种检验方式，如果两个样本是成对的，应该使用成对的 t 检验，如果不使用成对 t 检 验，t 值会变小，p 值会变大，准确性差了很多。 （2）方差检验： > var.test(x,y) 得到如下结果： F test to compare two variances data: x and y F = 1.5984, num df = 19, denom df = 19, p-value = 0.3153 alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1 95 percent confidence interval: 0.6326505 4.0381795 sample estimates: ratio of variances 1.598361 故两组数据方差相同。
7. 分布检验 III 解：根据打进的电话时间算出时间间隔： 1 :0 0 :0 6 6 1 :0 8 2 1 :1 6 8 1 :2 2 6 1 :2 3 1 1 1 :3 4 1 0 1 :4 4 1 1 :4 7 3 1 :5 1 4 1 :5 7 6 1
建立检验假设，确定检验水准：H0：打进电话的时间间隔服从指数分布；H1：打进 电话的时间间隔不服从指数分布；=0.05。假设指数分布的参数 λ 为 =0.1，利用 R 软
192.15 油漆工人的血小板计数与正常成年男子有差异。 p 值为 0.002516 小于 0.05，原假设不成立， 因此认为油漆作业对男子血小板含量有影响。
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3. 假设检验 II 解：根据题意：建立检验假设，确定检验水准：H0：1=2 即阿卡波糖胶囊组与拜糖平胶 囊组空腹血糖下降值总体均数相等；H1：1≠2 即阿卡波糖胶囊组与拜糖平胶囊组空 腹血糖下降值总体均数不相等；=0.05。 使用 t 检验，若两组数据方差相同时，编辑 R 软件程序如下： >x<-c(-0.70,-5.60,2.00,2.80,0.70,3.50,4.00,5.80,7.10,-0.50,2.50,-1.60,1.70,3.00,0.40,4.50,4. 60,2.50,6.00,-1.40) >y<-c(3.70,6.50,5.00,5.20,0.80,0.20,0.60,3.40,6.60,-1.10,6.00,3.80,2.00,1.60,2.00,2.20,1.20 ,3.10,1.70,-2.00) > t.test(x,y,var.equal=TRUE) 得到如下结果： Two Sample t-test data: x and y t = -0.6419, df = 38, p-value = 0.5248 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: -2.326179 1.206179 sample estimates: mean of x mean of y 2.065 2.625 分析结果，p-value=0.5248>0.05，所以接受原假设 H0，即试验组与对照组没有显著差异。 根据题意，若两组数据方差不同时，利用 R 软件进行 t 检验： > t.test(x,y) 得到如下结果 Welch Two Sample t-test data: x and y t = -0.6419, df = 36.086, p-value = 0.525 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: -2.32926 1.20926 sample estimates: mean of x mean of y 2.065 2.625