扭转时横截面上的应力
第三节扭转时横截面上的应力
一、应力分布规律
为了建立扭转的强度条件，在求出了圆轴各截面上的扭矩值后，还需要进一步研究扭转应力的分布规律，因而需要研究扭转变形。下面通过一个具体的实例来看看扭转变形。
取一根橡胶圆棒，为观察其变形情况，试验前在圆棒的表面画出许多圆周线和纵向线，形成许多小矩形，见上图。在轴的两端施加转向相反的力偶矩m A、m B，在小变形的情况下，可以看到圆棒的变形有如下特点：
1．变形前画在表面上的圆周线的形状、大小都没有改变，两相邻圆周线之间的距离也没有改变；
2．表面上的纵向线在变形后仍为直线，都倾斜了同一角度γ，原来的矩形变成平行四边形。两端的横截面绕轴的中心线相对转动了一个角度?，叫做相对扭转角，见下图。观看动画，理解微元体的获得。
通过观察到的表面现象，可以推理得出以下结果：
★各横截面的大小、形状在变形前后都没有变化，仍是平面，只是相对地转过了一个角度，各横截面间的距离也不改变，从而可以说明轴向纤维没有拉、压变形，所以，在横截面上没有正应力产生；
★圆轴各横截面在变形后相互错动，矩形变为平行四边形，这正是前面讨论过的剪切变形，因此，在横截面上应有剪应力；
★变形后，横截面上的半径仍保持为直线，而剪切变形是沿着轴的圆周切线方向发生的。所以剪应力的方向也是沿着轴的圆周的切线方向，与半径互相垂直。
由此知道扭转时横截面上只产生剪应力，其方向与半径垂直。
下面进一步讨论剪应力在横截面上的分布规律。
为了观察圆轴扭转时内部的变形情况，找到变形规律，取受扭转轴中的微段dx来分析(上图a)。假想O2DC截面象刚性平面一样地绕杆轴线转动d?，轴表面的小方格ABCD歪斜成平行四边形ABC'D'，轴表面A点的剪应变就是纵线歪斜的角γ，而经过半径O2D上任意点H的纵向线EH在杆变形后倾斜了一个角度γρ，它也就是横截面上任一点E处的剪应变。应该注意，上述剪应变都是在垂直于半径的平面内的。设H点到轴线的距离为ρ，由于构件的变形通常很小，即
所以 (a)
由于截面O2DC象刚性平面一样地绕杆轴线转动，图上△O2HH'与△O2DD'相似，得
(b)
将式(b)代入(a)式得(1-40)
上式表明，圆轴扭转时，横截面上靠近中心的点剪应变较小；离中心远的点剪应变较大；轴表面点的剪应变最大。各点的剪应变γρ与离中心的距离ρ成正比。
根据剪切虎克定律知道剪应力与剪应变成正比，即τ=G·γ。在弹性范围内剪应变γ越大，则剪应力τ也越大；横截面上离中心为ρ的点上，其剪应力为τρ；轴表面的剪应力为τ。因此有τρ= G·γρ，τ=G·γ
代入（1-40）式可得(1-41)
上式即说明了圆轴扭转时横截面上剪应力分布的规律是：横截面上各点的剪应力与它们离中心的距离成正比。圆心处剪应力为零，轴表面的剪应力τ最大。分布情况如下图所示。
演示动画
在横截面上剪应力也与剪应变有相同的分布规律。即
(1-42)
二、横截面上剪应力计算公式与最大剪应力
要计算剪应力，只知道了横截面上剪应力分布规律还不够，还必须分析截面上的扭矩M与剪应力τ之间的关系。在截面上任取一距中心为ρ的微面积d A，作用在微面积上的力的总和τρ·d A，对中心O的力矩等于τρ·d A·ρ。截面上这些力矩合成的结果应等于扭矩M，即
将式（1-42）代入得
令，称做截面的极惯性矩。则上式可以改写为
再令，称做抗扭截面模量。则得到
(1-43)
将式(1-43)代入式(1-42)，可得出横截面上任一点的剪应力计算公式
(1-44)
三、极惯性矩Jρ与抗扭截面模量Wρ的计算
极惯性矩Jρ与抗扭截面模量Wρ是与截面尺寸和形状有关的几何量，可以按下述方法计算。
(1) 对实心圆轴来说，如上图，可以取一圆环形的微面积d A，则d A=2π·ρ·dρ，因此
(2) 对内径为d，外径为D的空心圆轴，它的极惯性矩Jρ与抗扭截面模量Wρ分别为
，
令d/D=α，则
应当注意的是：圆形截面的极惯性矩是外圆与内圆的极惯性矩之差；而它的抗扭截面模量却不是外圆与内圆的抗扭截面模量之差。
下面是两道例题，供读者参照。
例1-22.设搅拌轴的转速为n＝50r/min，搅拌功率为N=2kW，搅拌轴的直径d=40mm，求轴内的最大应力。
解析：
轴的外力偶矩为N·m
抗扭截面模量为N·m
杆在扭转时的最大剪应力为
MP a
例1-23.有一实心圆轴，直径为d=81mm；另一空心轴的内径为d=62mm，外径为D=102mm，这两根轴的截面积相同，等于51.5c m2。试比较这两根轴的抗扭截面模量。
解析：
实心轴N·m
空心轴N·m
由此可见，在材料相同、截面积相等的情况下，空心轴比实心轴的抗扭能力强，能够承受较大的外力矩。在相同的外力矩情况下，选用空心轴要比实心轴省材料。这从圆截面的应力分布也可以看出，实心轴圆周上的最大剪应力接近于许用剪应力时，中间部分剪应力还与许用剪应力相差很远，中间的材料大部分没有充分发挥它的作用。但空心轴比实心轴加工制造困难，造价也高，在实际工作中，要具体情况具体分析，合理地选择截面的形状与尺寸。
杆件的强度计算公式资料讲解
杆件的强度、刚度和稳定性计算 1.构件的承载能力，指的是什么？ 答：构件满足强度、刚度和稳定性要求的能力称为构件的承载能力。 (1)足够的强度。即要求构件应具有足够的抵抗破坏的能力，在荷载作用下不致于发生破坏。 (2)足够的刚度。即要求构件应具有足够的抵抗变形的能力，在荷载作用下不致于发生过大的变形而影响使用。 (3)足够的稳定性。即要求构件应具有保持原有平衡状态的能力，在荷载作用下不致于突然丧失稳定。 2.什么是应力、正应力、切应力？应力的单位如何表示？ 答：内力在一点处的集度称为应力。 垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用σ表示；相切于截面的应力分量称切应力或切向应力，用τ表示。 应力的单位为Pa。 1 Pa=1 N／m2 工程实际中应力数值较大，常用MPa或GPa作单位 1 MPa=106Pa 1 GPa=109Pa 3.应力和内力的关系是什么？ 答：内力在一点处的集度称为应力。 4.应变和变形有什么不同？ 答：单位长度上的变形称为应变。单位纵向长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。单位横向长度上的变形称横向线应变，以ε/表示横向应变。 5.什么是线应变？什么是横向应变？什么是泊松比？ 答：（1）线应变 单位长度上的变形称纵向线应变，简称线应变，以ε表示。对于轴力为常量的等截面直杆，其纵向变形在杆内分布均匀，故线应变为 l l? = ε （4-2） 拉伸时ε为正，压缩时ε为负。线应变是无量纲（无单位）的量。 （2）横向应变 拉(压)杆产生纵向变形时，横向也产生变形。设杆件变形前的横向尺寸为a，变形后为a1，则横向变形为 a a a- = ? 1 横向应变ε/为
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⑴横向线m —m 和n —n 任为直线且与正向线正交，但绕某点相对转动了一个微小角度。 ⑵纵向线a —a 和b —b 弯成了曲线，且a —a 线缩短，而b —b 线伸长。 由于梁内部材料的变化无法观察，因此假设横截面在变形过程中始终保持为平面，这就是纯梁弯曲时的；平面假设。可以设想梁由无数条纵向纤维组成，且纵向纤维间无相互的挤压作用，处于单向受拉或受压状态。 从图2-54b 中可以看出，；梁春弯曲时，从凸边纤维伸长连续变化到凹边纤维缩短，期间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这一纵向纤维层称为中性层（见图2-54c ）。中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时，横截面绕中心轴绕动了一个角度。 由上述分析可知，矩形截面梁弯曲时的应力分布有如下特点： ⑴中性轴的线应变为零，所以其正应力也为零。 ⑵距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克定律，它们的正应力也必相等。 ⑶在图2-54b 所示的受力情况下，中性轴上部分各点正应力为压应力（即负值），中性轴下部分各点正应力为拉应力（即正值）。 ⑷横截面上的正应力沿y 轴呈线性分布，即ky =σ（k 为特定常数），如图2-55、图2-56所示。最大正应力（绝对值）在离中性轴最远的上、下边缘处。 由于距离中性层上、下的纵向纤维的线应变与到中性层的距离y 成正比，当其正应力不超过材料的比例极限时，由胡克定律可知 y E y E E ?=?=?=ρρεσ 2-24 对于指定的横截面，ρE 为常数（即为上述k 的值）看，由于此时梁轴线的曲率
材料力学习题册答案-第3章 扭转
第三章扭转 一、是非判断题 1.圆杆受扭时，杆内各点处于纯剪切状态。（×） 2.杆件受扭时，横截面上的最大切应力发生在距截面形心最远处。（×） 3.薄壁圆管和空心圆管的扭转切应力公式完全一样。（×） 4.圆杆扭转变形实质上是剪切变形。（×） 5.非圆截面杆不能应用圆截面杆扭转切应力公式，是因为非圆截面杆扭转时“平截面假设”不能成立。（√） 6.材料相同的圆杆，他们的剪切强度条件和扭转强度条件中，许用应力的意义相同，数值相等。（×） 7.切应力互等定理仅适用于纯剪切情况。（×） 8.受扭杆件的扭矩，仅与杆件受到的转矩（外力偶矩）有关，而与杆件的材料及其横截面的大小、形状无关。（√） 9.受扭圆轴在横截面上和包含轴的纵向截面上均无正应力。（√） 10.受扭圆轴的最大切应力只出现在横截面上。（×） 11.受扭圆轴内最大拉应力的值和最大切应力的值相等。（√） 12.因木材沿纤维方向的抗剪能力差，故若受扭木质圆杆的轴线与木材纤维方向平行，当扭距达到某一极限值时，圆杆将沿轴线方向出现裂纹。（×）
二、选择题 1.内、外径之比为α的空心圆轴，扭转时轴内的最大切应力为τ，这时横截面上内边缘的切应力为 （ B ） A τ； B ατ； C 零； D （1- 4α）τ 2.实心圆轴扭转时，不发生屈服的极限扭矩为T ，若将其横截面面积增加一倍，则极限扭矩为（ C ） 0 B 20T 0 D 40T 3.两根受扭圆轴的直径和长度均相同，但材料C 不同，在扭矩相同的情况下，它们的最大切应力τ、τ和扭转角ψ、ψ之间的关系为（ B ） A 1τ=τ2, φ1=φ2 B 1τ=τ2, φ1≠φ2 C 1τ≠τ2, φ1=φ2 D 1τ≠τ2, φ1≠φ2 4.阶梯圆轴的最大切应力发生在（ D ） A 扭矩最大的截面； B 直径最小的截面； C 单位长度扭转角最大的截面； D 不能确定。 5.空心圆轴的外径为D ，内径为d, α=d ／D,其抗扭截面系数为 （ D ） A ()3 1 16 p D W πα= - B ()3 2 1 16 p D W πα= - C ()3 3 1 16 p D W πα= - D ()3 4 1 16 p D W πα= - 6.对于受扭的圆轴，关于如下结论： ①最大剪应力只出现在横截面上； ②在横截面上和包含杆件的纵向截面上均无正应力；
梁弯曲时横截面上的正应力
在确定了梁横截面的内力之后，还需要进一步研究横截面上的应力与截面内力之间的定量关系，从而建立梁的强度设计条件，进行强度计算。 1、纯弯曲与横力弯曲 从火车轴的力学模型为图2-53a 所示的外伸梁。画其剪力、弯矩图（见图2-53b 、c ）,在其AC 、BD 段内各横截面上有弯矩M 和剪力F Q 同时存在，故梁在这些段内 发生弯曲变形的同时还会发生剪力变形，这种变形称为剪力弯曲，也称为横力弯曲。在其CD 段内各段截面，只有弯矩M 而无剪力F Q ，梁的这种弯曲称为纯弯曲。 2、梁纯弯曲时横截面上的正应力 如图2-54a 所示，取一矩形截面梁，弯曲前在其表面两条横向线m —m 和n —n ，再画两条纵向线a —a 和b —b ，然后在其两端外力偶矩M ，梁将发生平面纯弯曲变形（见图2-54b)。此时可以观察到如下变形现象： ⑴横向线m —m 和n —n 任为直线且与正向线正交，但绕某点相对转动了一个微小角度。 ⑵纵向线a —a 和b —b 弯成了曲线，且a —a 线缩短，而b —b 线伸长。 由于梁内部材料的变化无法观察，因此假设横截面在变形过程中始终保持为平面，这就是纯梁弯曲时的；平面假设。可以设想梁由无数条纵向纤维组成，且纵向纤维间无相互的挤压作用，处于单向受拉或受压状态。 从图2-54b 中可以看出，；梁春弯曲时，从凸边纤维伸长连续变化到凹边纤维缩短，期间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这一纵向纤维层称为中性层（见图2-54c ）。中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时，横截面绕中心轴绕动了一个角度。 由上述分析可知，矩形截面梁弯曲时的应力分布有如下特点： ⑴中性轴的线应变为零，所以其正应力也为零。 ⑵距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克定律，它们的正应力也必相等。 ⑶在图2-54b 所示的受力情况下，中性轴上部分各点正应力为压应力（即负值），中性轴下部分各点正应力为拉应力（即正值）。 ⑷横截面上的正应力沿y 轴呈线性分布，即ky =σ（k 为特定常数），如图2-55、图2-56所示。最大正应力（绝对值）在离中性轴最远的上、下边缘处。 由于距离中性层上、下的纵向纤维的线应变与到中性层的距离y 成正比，当其正应力不超过材料的比例极限时，由胡克定律可知 y E y E E ?=?=?=ρρεσ 2-24 对于指定的横截面，ρE 为常数（即为上述k 的值）看，由于此时梁轴线的曲率 半径ρ还是一个未知量，通过静力学平衡关系∑z F )(=0，可得 图2-55 正应力分布图 图2-56 梁纯弯曲时横截面上的
工程力学第九章梁的应力及强度计算
课时授课计划 掌握弯曲应力基本概念； 掌握弯曲正应力及弯曲剪应力的计算；掌握弯曲正应力的强度计算； 掌握弯曲剪应力强度校核。
I D (d
根据[M]，用平衡条件确定许用外载荷。 在进行上列各类计算时，为了保证既安全可靠又节约材料的原则，设计规范还规定梁内的最大正应力允许稍大于[σ]，但以不超过[σ]的5%为限。即 3、进行强度计算时应遵循的步骤 （1）分析梁的受力，依据平衡条件确定约束力，分析梁的内力（画出弯矩图）。（2）依据弯矩图及截面沿梁轴线变化的情况，确定可能的危险截面：对等截面梁，弯矩最大截面即为危险截面。 （3）确定危险点 （4）依据强度条件，进行强度计算。 第三节梁的剪应力强度条件 一、概念 梁在横弯曲作用下，其横截面上不仅有正应力，还有剪应力。 对剪应力的分布作如下假设： (1)横截面上各点处剪应力均与剪力Q同向且平行； (2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相。 根据以上假设，可推导出剪应力计算公式： 式中:τ—横截面上距中性轴z距离为y处各点的剪应力； Q—该截面上的剪力； b—需求剪应力作用点处的截面宽度； Iz—横截面对其中性轴的惯性矩； Sz*—所求剪应力作用点处的横线以下(或以上）的截面积A*对中性轴的面积矩。 剪应力的单位与正应力一样。剪应力的方向规定与剪力的符号规定一样。 二、矩形截面横梁截面上的剪应力 如图所示高度h大于宽度b的矩形截面梁。横截面上的剪力Q沿y轴方向作用。 将上式带入剪应力公式得： 上式表明矩形截面横梁截面上的剪应力，沿截面高度呈抛物线规律变化。 在截面上、下边缘处y=±h/2,则=0；在中性轴上，y=0，剪应力值最大，
材料力学常用公式
材料力学常用公式 1.外力偶矩计算公式（P功 率，n转速） 2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件 横截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正） 4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x 轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正） 5.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标 距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1） 6.纵向线应变和横向线应变 7.泊松比 8.胡克定律 9.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式 ? 10.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式 11.轴向拉压杆的强度计算公式 12.许用应力 ，脆性材料 ，塑 性材料 13.延伸率 14.截面收缩率 15.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ） 16.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式 17.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆 （b）空心圆 18.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所 求点到圆心距离r） 19.圆截面周边各点处最大切应力计算公式
20.扭转截面系数，（a）实心圆 （b）空心圆 21.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均半径） 扭转切应力计算公式 22.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式 23.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不 同（如阶梯轴）时 或 24.等直圆轴强度条件 25.塑性材料 ；脆性材料 26.扭转圆轴的刚度条件? 或 27.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公 式, 28. 平面应力状态下斜截面应力的一般公式 , 29.平面应力状态的三个主应力 , , 30.主平面方位的计算公式 31.面内最大切应力 32.受扭圆轴表面某点的三个主应力， ，33.三向应力状态最大与最小正应力 , 34.三向应力状态最大切应力 35.广义胡克定律
混凝土斜截面承载力
影响混凝土斜截面承载力的因素 及计算公式探讨 杜斌2011202100045 摘要：对于受弯构件，截面上除了作用有正应力外，通常还伴随着剪应力。绝大多数钢筋混凝土构件都无法避免抗剪的问题。剪力很少单独作用于结构构件，更多的是与弯矩、轴向力或者扭矩共同作用。因此，除了要确定剪力单独作用时的效应外，还需探讨它与结构上的其他作用之间可能存在的影响。 关键词：钢筋混凝土；斜截面；受剪承载力 引言：绝大多数钢筋混凝土构件都无法避免抗剪的问题。剪力很少单独作用于结构构件，更多的是与弯矩、轴向力或者扭矩共同作用。因此，除了要确定剪力单独作用时的效应外，还需探讨它与结构上的其他作用之间可能存在的影响。特别是对受弯构件，抗剪机理与混凝土与埋入钢筋之间的粘结力以及钢筋的锚固都是密切联系着的。钢筋混凝土梁中的剪力传递在很大程度上依赖于混凝土的抗拉和抗压强度，因此，受剪破坏通常都是非延性的，必须避免这种破坏。 1 斜截面承载力 钢筋混凝土梁在主要承受弯矩的区段内产生竖向裂缝，如果正截面受弯承载力不够，将沿着竖向裂缝发生正截面受弯破坏。另一方面，钢筋混凝土受弯构件还有可能在剪力和弯矩共同作用的支座附近区段内，沿斜裂缝发生斜截面受剪破坏或者受弯破坏。因此，在保证正截面受弯承载力的同时，还要保证斜截面承载力，即斜截面受剪承载力和斜截面受弯承载力。 混凝土构件的受弯承载力是指斜截面上的纵向受拉钢筋、弯起钢筋、箍筋等在斜截面破坏时，他们各自所提供的拉力对抵抗破坏的弯矩。通常单纯的斜截面受弯承载力是不用进行计算的。只需要将梁内纵向钢筋弯起、截断、锚固及箍筋的间距等构造措施来保证即可。 相比于斜截面的受弯承载力问题，受剪破坏的情况则要复杂的多。在实际的工程中，剪力很少单独作用于结构构件，大多数情况是剪力与弯矩，或者剪力和弯矩、轴力或扭矩共存于结构构件，构件因剪力发生斜截面发生斜裂缝破坏时必然受到弯矩作用的影响。
扭转切应力
扭转切应力 两类切应力 扭转切应力 弯曲切应力 扭转切应力 圆轴扭转时的应力变形特征 圆轴扭转时横截面上的切应力分析 矩形截面杆扭转切应力公式 圆轴扭转时的应力变形特征 外加力偶矩与功率和转速的关系 变形特征 横截面和纵截面都有切应力存在 --切应力互等定理 外加力偶矩与功率和转速的关系 应用此公式时要注意单位。 将圆轴表面如图划分为许多小方块，这些小方块可近似地看作矩形。轴受扭以后，小方块就发生变形，变成菱形。
如图是放大后的情形。产生这样的变形是因为在两个横截面上出现了切应力。作用在AB、CD面上的切应力组成一个力偶，显然它是不能使这个微元平衡的，因此，在两个纵截面上也产生切应力。通过应变知道横截面上有切应力，再通过平衡知道纵截面上也有切应力。微元的直角改? 横截面上和纵截面上的切应力有何关系？我们取出如图微元分析，横截面上的切应力τ乘以其作用面积dydz，再乘以力臂dx，组成一个力偶；纵截面上的切应力τ'也同样组成一个力偶，这两个力偶是大小相等，方向相反的。最后消掉公因子dxdydz,就得到τ=τ'。根据平衡的要求? 圆轴扭转时横截面上的切应力
根据变形特征和切应力互等定理，现在分析圆轴扭转时横截面上的切应力。 反对称分析论证平面保持平面 由平面保持平面导出变形协调方程 由物性关系得到应力分布 切应力公式 方法与过程 反对称分析论证平面保持平面 首先用反对称关系。如图，对称圆轴两端作用一对反对称的力偶，横截面上C、D两点若不保持在原来的平面上，则从A端看，力偶是顺时针方向的，这两点背离观察者而去的；若从B端看，力偶也是顺时针方向的，C、D两点也背离观察者而去。显然这是矛盾的，因此，C、D两点只能? 第一个结论
一、横截面上的切应力
一、横截面上的切应力 实心圆截面杆和非薄壁的空心圆截面杆受扭转时，我们没有理由认为它们在横截面上的切应力象薄壁圆筒中那样沿半径均匀分布 导出这类杆件横截面上切应力计算公式，关键就在于确定切应力在横截面上的变化规律。即横截面上距圆心τp任意一点处的切应力p与p的关系 为了解决这个问题，首先观察圆截面杆受扭时表面的变形情况，据此做出内部变形假设，推断出杆件内任意半径p处圆柱表面上的切应变γp，即γp与p的几何关系利用切应力与切应变之间的物理关系，再利用静力学关系求出横截面上任一点处切应力τp的计算公式 实验表明：等直圆杆受扭时原来画在表面上的圆周线只是绕杆的轴线转动，其大小和形状均不变，而且在小变形情况下，圆周线之间的纵向距离也不变 图8-56 扭转时的平面假设：等直圆杆受扭时它的横截面如同刚性圆盘那样绕杆轴线转动显然这就意味着：等直圆杆受扭时，其截面上任一根沿半径的直线仍保持为直线，只是绕圆心旋转了一个角度φ 图8-57 现从等直圆杆中取出长为dx的一个微段，从几何、物理、静力学三个方面来具体分析圆杆受扭时的横截面上的应力
图8-58 1.几何方面 小变形条件下 dφ为dx长度内半径的转角，γ为单元体的角应变 图8-59 或 因为dφ和dx是一定的，故越靠近截面中心即半径R越小，角应变γ也越小且γ与R成正比例(或线性关系) 由平面假设：对同一截面上各点 θ表示扭转角沿轴长的变化率，称为单位扭转角，在同一截面上其为常数
所以截面上任一点的切应力与该点到轴心的距离p成正比 p为圆截面上任一点到轴心距离，R为圆轴半径 图8-60 上式为切应力的变化规律 2.物理方面(材料在线性弹性范围内工作)由剪切胡克定律 由于G和为常数，所以 上式表明受扭等直圆杆在线性弹性范围内工作时，横截面上的切应力在同一半径p 的圆周上各点处大小相同，但它们随p做线性变化 同一横截面上的最大切应力在横截面的边缘处。这些切应力的方向均垂直于各自所对应的半径，指向与扭矩对应 3.静力学方面 前面已找出了受扭等直圆杆横截面上的切应力τp随p变化的规律，但还没有把与扭矩T联系起来。所以一般情况下还不能计算τp的大小 现利用静力学关系求T
曲梁正应力公式推导(终极版)
曲梁正应力公式推导 1013102班第1小组 摘要：材料力学中给出了运用胡克定律推导出的直梁在纯弯曲时的正应力计算公式，若将其运用到曲梁中会有一定的误差。运用胡克定律推导出曲梁的正应力公式，与弹性力学中给出的的公式加以比较，并推导出当曲梁的形心轴曲率半径趋于无穷时，公式转化为直梁正应力公式，得到误差很小的曲梁正应力公式。 关键词：曲梁；正应力 Abstract:mechanics of materials gives the calculation of formula of normal stress of straight beam deduced in pure bending by using Hooke's law ,If applied it to the curved beam will have the certain error.Deduce the calculation formula of normal stress of curved beam by usingHooke'slaw,compared with the elastic mechanics'calculation formula and when the radius of curvature of the Shape heart shaft becomes infinite,the calculation formula translates into calculation formula of normal stress of curved beam,to get the calculation formula of normal stress of curved beam whose Error is very small. Key words：curved beam；normal stress 1.推导曲梁正应力公式。 建立如下图示坐标系：
材料力学作业 扭转
第四章 扭转 一、是非题 1 在单元体两个相互垂直的截面上，切应力的大小可以相等，也可以不等。 （ ） 2 扭转切应力公式P I T ρ τρ= 可以适用于任意截面形状的轴。 （ ） 3 受扭转的圆轴，最大切应力只出现在横截面上。 （ ） 4 圆轴扭转时，横截面上既有正应力，又有切应力。 （ ） 5 矩形截面杆扭转时，最大切应力发生于矩形长边的中点。 （ ） 二、选择或填空 1、．图示的圆轴，用截面法求扭矩，无论取哪一段作为研究对象，其同一截面的扭矩大小与符号（ ）。 a.完全相同 b.正好相反 c ．不能确定 2、两根圆轴，材料相同，受力相同，而直径不同，当d 1=2d 2时，则两轴的最大切应力之比 τ1/τ2和单位扭转角21/φφ 分别为 。 A 1/4，1/16 B 1/8，1/16 C 1/8，1/64 D 8，16 3．下列结论中正确的是（ ）。 A ．圆轴扭转时，横截面上有正应力，其大小与截面直径无关 B ．圆轴扭转时，截面上有正应力，也有切应力，其大小均与截面直径无关 C ．圆轴扭转时，横截面上只有切应力，其大小与到圆心的距离成正比 4．如图所示，圆轴扭转时，下列切应力分布图正确的是（ ）。 A B C D 5．实心圆轴扭转时，横截面上的最小切应力（ ）。 A ．一定为零 B.一定不为零 C ．可能为零，也可能不为零 6．空心圆轴扭转时，横截面上的最小切应力（ ）。 A.一定为零 B ．一定不为零 C ．可能为零，也可能不为零
三、计算题 1一传动轴匀速转动，转速n=200r/min，轴上装有五个 轮子。主动轮Ⅱ输入功率为60kW，从动轮Ⅰ、Ⅲ、Ⅳ Ⅴ依次输出18 kW，12kW，22 kW和8 kW。试做轴的 扭矩图。 2、图示圆截面空心轴，外径D＝40mm，内径d＝20mm，扭矩T＝1kN·m。试计算ρ＝15mm 的A点处的扭转切应力τA及横截面上的最大和最小扭转切 应力。
扭转习题
第三章 扭转习题 一、单项选择题 1、横截面都为圆的两个杆，直径分别为d 和D ，并且d=。两杆横截面上扭矩相等两 杆横截面上的最大切应力之比maxD maxd ττ为 A 、2倍， B 、4倍， C 、8倍， D 、16倍。 二、1、扭转变形时，公式p Tl GI τ= 中的 表示单位长度的扭转角，公式中的T 表示横截面上的 ；G 表示杆材料的 弹性模量；I P 表示杆横截面对形心的 ；GI P 表示杆的抗扭 。 2、 截面为圆的杆扭转变形时，所受外力偶的作用面与杆的轴线 . 3、实心圆轴扭转时，横截面上的切应力分布是否均匀，横截面上离圆心愈远的点处切应力 ,圆心处的切应力为 ，圆周上切应力 4、两根实心圆轴的直径d 和长度L 都相同，而材料不同，在相同扭矩作用下，它们横截面上的最大切应力是否相同 ，单位长度的扭转角是否相同 。 5、剪切虎克定律的表达式 G τγ =，式中的G 表示材料的 模量，式中 的γ称为 。 6、根据切应力互等定理，单元体两互相垂直截面上在其相交处的切应力成对存在， 且 相等，而 现反。 三、 1、如图所示圆轴，一端固定。圆轴横截面的直径D=100mm ，所受的外力偶矩 M 1=6kNm, M 2=4kNm 。试求圆轴横截面上的最大扭矩和最大切应力。 答：圆轴横截面上的最大扭矩为 kNm ； 圆轴横截面上的最大切应力为 Mpa 。 2、如图所示阶梯形圆轴，一端固定。圆轴横截面的直径分别为50mm 和75mm ，所受的外力偶
矩M C =1200 Nm ，M B =1800 Nm 。 试求BC 段横截面上的扭矩和该阶梯轴的最 大切应力。 答：BC 段横截面上的扭矩为 Nm ； 该阶梯轴的最大切应力为 Mpa 。 3、如图所示圆轴，一端固定。圆轴横截面的直径d=100mm ，所受的外力偶矩M 1=7000 Nm M 2=5000 Nm 。试求圆轴横截面上的最大扭矩和最大切应力。 答：最大扭矩为 Nm 。 最大切应力为 Mpa 。 4、某传动轴为实心圆轴，轴内的最大扭矩 =1.5kN m T g ，许用切应力[]=50MPa τ，试确定该轴的横截面直径。 5、圆轴AB 传递的功率为P = ，转速n = 360r/min 。轴的AC 段为实心圆截面，CB 段为空心圆截面，如图所示。已知D= 30mm 。试计算AC 段横截面边缘处的切应力。 6、已知解放牌汽车主传动轴传递的最大扭矩T=1650N ?m ，传动轴用外径D =90mm ，壁厚t = 2.5mm 的钢管做成。材料为20钢，其许用切应力 [] =70MPa τ。校核此轴的强度。 图3.3.2 图 3.3.3 图3.3.5
扭转时横截面上的应力
第三节扭转时横截面上的应力 一、应力分布规律 为了建立扭转的强度条件，在求出了圆轴各截面上的扭矩值后，还需要进一步研究扭转应力的分布规律，因而需要研究扭转变形。下面通过一个具体的实例来看看扭转变形。 取一根橡胶圆棒，为观察其变形情况，试验前在圆棒的表面画出许多圆周线和纵向线，形成许多小矩形，见上图。在轴的两端施加转向相反的力偶矩m A、m B，在小变形的情况下，可以看到圆棒的变形有如下特点： 1．变形前画在表面上的圆周线的形状、大小都没有改变，两相邻圆周线之间的距离也没有改变； 2．表面上的纵向线在变形后仍为直线，都倾斜了同一角度，原来的矩形变成平行四边形。两端的横截面绕轴的中心线相对转动了一个角度，叫做相对扭转角，见下图。观看动画，理解微元体的获得。
通过观察到的表面现象，可以推理得出以下结果： ★各横截面的大小、形状在变形前后都没有变化，仍是平面，只是相对地转过了一个角度，各横截面间的距离也不改变，从而可以说明轴向纤维没有拉、压变形，所以，在横截面上没有正应力产生； ★圆轴各横截面在变形后相互错动，矩形变为平行四边形，这正是前面讨论过的剪切变形，因此，在横截面上应有剪应力； ★变形后，横截面上的半径仍保持为直线，而剪切变形是沿着轴的圆周切线方向发生的。所以剪应力的方向也是沿着轴的圆周的切线方向，与半径互相垂直。 由此知道扭转时横截面上只产生剪应力，其方向与半径垂直。 下面进一步讨论剪应力在横截面上的分布规律。 为了观察圆轴扭转时内部的变形情况，找到变形规律，取受扭转轴中的微段dx来分析(上图a)。假想O2DC截面象刚性平面一样地绕杆轴线转动d，轴表面的小方格ABCD歪斜成平行四边形ABC'D'，轴表面A点的剪应变就是纵线歪斜的角，而经过半径O2D上任意点H 的纵向线EH在杆变形后倾斜了一个角度，它也就是横截面上任一点E处的剪应变。应该注
斜截面
第五章受弯构件斜截面的承载力计算 一、本章教学目的 （1）了解斜截面破坏的主要形态，影响斜截面抗剪承载力的主要因素。 （2）掌握无腹筋梁和有腹筋梁斜截面受弯承载力的计算公式及适用条件，防止斜压破坏和斜拉破坏的措施。（3）能熟练进行斜截面抗剪承载力的计算。 （4）掌握受弯承载力图的作法，会确定弯起钢筋的弯起位置和纵向受力钢筋的截断位置。 （5）掌握纵向受力钢筋伸入支座的锚固要求和箍筋构造要求。 二、本章教学内容 （1）无腹筋梁的抗剪性能。 （2）有腹筋梁的抗剪性能。 （3）无腹筋梁和有腹筋梁斜截面受剪承载力计算。 （4）连续梁的抗剪性能及斜截面受剪承载力计算。 （5）保证受弯构件斜截面受剪承载力的构造措施。 三、本章教学重点：斜截面抗剪承载力的计算。 四、本章教学难点：弯矩包罗图。 五、课时安排：12学时。 六、学习建议 （1）本章主要讨论构件在正截面强度得到保证后，如何使钢筋混凝土构件的斜截面强度也得保证，从而使其不致比垂直截面更早出现破坏。 （2）钢筋混凝土受弯构件的斜截面破坏分为：斜压、剪压和斜拉三种主要破坏形态，各自发生的场合是不同的，要注意这一点。在规范中，通过限制最小配筋率控制发生斜拉破坏，通过限制最小截面尺寸来控制发生斜压破坏。这与正截面强度计算时，必须满足公式的知用条件的物理意义相仿。所以箍筋及弯起钢筋的计算是针对剪压破坏这种常见的斜截面破坏形态进行的，这点要切记。 （3）斜截面抗剪强度计算公式，不是Vcs和Vsb的二项值相加，而是二者结合一起考虑的，这点要特别注意。学习时着重理解公式的来由和物理力学意义，其推导过程了解即可。 （4）抗剪配筋计算时，要根据剪力包络图进行，则应熟练地掌握运用此图。 （5）承载能力图的作图过程，也就是对钢筋布置进行图解设计的过程。承载能力图代表构件正截面抗弯能力，因此，要求每个截面上都要求承载能力图必须将弯矩包络图在内，两图越贴近，说明钢筋利用越充分，这是设计中力求作到的一点，但也要照顾到施工便利，构造要求等，不要片面追求钢筋利用率，以致使钢筋的构造复杂而繁锁。 （6）斜截面抗弯强度是以构造措施来保证的。即：在弯起钢筋时，必须将钢筋伸过其充分利用点，至少 h0/2的地方才能弯起。在截断纵向钢筋时，必须将钢筋伸过其不需要点，且延长一定固长度的地方才能切断。 第一节概述 一、斜截面强度计算原因： 在弯曲正应力和剪应力（shearing stress）的共同作用下，受弯构件中会产生与纵轴斜交的主拉应力
材料力学公式汇总
材料力学重点及其公式 材料力学的任务 （1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。 变形固体的基本假设 （1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。 外力分类： 表面力、体积力；静载荷、动载荷。 内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。 应力： dA dP A P p A = ??= →?lim 正应力、切应力。 变形与应变：线应变、切应变。 杆件变形的基本形式 （1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；（5）组合变形。 静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不在变化的载荷动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。 失效原因：脆性材料在其强度极限 b σ破坏，塑性材料在其屈服极限 s σ时失效。二者统称为极限应力理想情形。塑性材 料、脆性材料的许用应力分别为： []3 n s σσ= ， []b b n σσ= ，强度条件： []σσ≤??? ??=max max A N ，等截面杆 [] σ≤A N m a x 轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：l l l -=?1， 沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为：l l ?=ε， A P A N ==σ。横向应变为：b b b b b -= ?= 1' ε，横向应变与轴向应变的关系为：μεε-='。 胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 εσE =，这就是胡克定律。E 为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得：EA Nl l = ? 静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。 圆轴扭转时的应力 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx d φργρ=。物理关系——胡克定律dx d G G φ ργτρρ==。力 学关系dA dx d G dx d G dA T A A A ? ? ? == = 2 2 ρφφρρτρ 圆轴扭转时的应力：t p W T R I T = = max τ；圆轴扭转的强度条件： ][max ττ≤= t W T ，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷。 圆轴扭转时的变形：??= = l p l p dx GI T dx GI T ?；等直杆：p GI Tl = ? 圆轴扭转时的刚度条件： p GI T dx d = = '??，][max max ??'≤='p GI T 弯曲内力与分布载荷q 之间的微分关系 )()(x q dx x dQ =； ()()x Q dx x dM =； () ()()x q dx x dQ dx x M d == 2 2 Q 、M 图与外力间的关系 a ）梁在某一段内无载荷作用，剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。 b ）梁在某一段内作用均匀载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。
第六章圆轴扭转练习带答案
第六章圆轴的扭转 一、填空题 1、圆轴扭转时的受力特点是：一对外力偶的作用面均_______于轴的轴线，其转向______。 2、圆轴扭转变形的特点是：轴的横截面积绕其轴线发生________。 3、在受扭转圆轴的横截面上，其扭矩的大小等于该截面一侧（左侧或右侧）轴段上所有外力偶矩的_______。 4、圆轴扭转时，横截面上任意点的切应力与该点到圆心的距离成___________。 5、试观察圆轴的扭转变形，位于同一截面上不同点的变形大小与到圆轴轴线的距离有关，显然截面边缘上各点的变形为最_______,而圆心的变形为__________。 6、圆轴扭转时，在横截面上距圆心等距离的各点其切应力必然_________。 7、从观察受扭转圆轴横截面的大小、形状及相互之间的轴向间距不改变这一现象，可以看出轴的横截面上无____________力。 8、圆轴扭转时，横截面上切应力的大小沿半径呈______规律分布。 10、圆轴扭转时，横截面上内力系合成的结果是力偶，力偶作用于面垂直于轴线，相应的横截面上各点的切应力应垂直于_________。 11、受扭圆轴横截面内同一圆周上各点的切应力大小是_______的。 12、产生扭转变形的一实心轴和空心轴的材料相同，当二者的扭转强度一样时，它们的_________截面系数应相等。 13、横截面面积相等的实心轴和空心轴相比，虽材料相同，但_________轴的抗扭承载能力要强些。 16、直径和长度均相等的两根轴，其横截面扭矩也相等，而材料不同，因此它们的最大剪应力是________同的，扭转角是_______同的。 17、产生扭转变形的实心圆轴，若使直径增大一倍，而其他条件不改变，则扭转角将变为原来的_________。 18、两材料、重量及长度均相同的实心轴和空心轴，从利于提高抗扭刚度的角度考虑，以采用_________轴更为合理些。 二、判断题 1、只要在杆件的两端作用两个大小相等、方向相反的外力偶，杆件就会发生扭转变形。（） 2、一转动圆轴，所受外力偶的方向不一定与轴的转向一致。（） 3、传递一定功率的传动轴的转速越高，其横截面上所受的扭矩也就越大。（） 4、受扭杆件横截面上扭矩的大小，不仅与杆件所受外力偶的力偶矩大小有关，而且与杆件横截面的形状、尺寸也有关。（）
05、基本知识 怎样推导梁的应力公式、变形公式(供参考)
05、基本知识 怎样推导梁的应力公式、变形公式（供参考） 同学们学习下面内容后，一定要向老师回信（849896803@https://www.360docs.net/doc/9c1697607.html, ），说出你对本资料的看法（收获、不懂的地方、资料有错的地方），以便考核你的平时成绩和改进我的工作。回信请注明班级和学号的后面三位数。 1 * 问题的提出 ........................................................................................................................... 1 2 下面就用统一的步骤，研究梁的应力公式和变形公式。 ................................................... 2 3 1.1梁的纯弯曲（纯弯曲：横截面上无剪力的粱段）应力公式推导 ................................. 2 4 1.2 梁弯曲的变形公式推导（仅研究纯弯曲） .................................................................... 5 5 1.3 弯曲应力公式和变形公式的简要推导 ............................................................................ 6 6 1.4 梁弯曲的正应力强度条件和刚度条件的建立 ................................................................ 7 7 2.1 梁剪切的应力公式推导 .................................................................................................... 8 8 2.2 梁弯曲的剪应力强度条件的建立 .................................................................................... 8 9 3. 轴向拉压、扭转、梁的弯曲剪切，应力公式和变形公式推导汇总表 .. (9) 1 * 问题的提出 在材料力学里，分析杆件的强度和刚度是十分重要的，它们是材料力学的核心内容。 强度条件就是工作应力不超过许用应力，即，[]σσ许用应力工作应力≤、[]ττ≤； 刚度条件就是工作变形不超过许用变形，即，[]y y 许用变形工作变形≤、[]θθ≤。 如，梁 弯曲强度条件：[]σσ≤=W M max max ；剪切强度条件：[]τρτρ≤?= b I S F z Q * max ,max 刚度条件：挠度 ?? ? ???≤l y l y max ；转角[]??≤max 这里带方括号的，是材料的某种许用值。由材料实验确定出破坏值，再除以安全系数， 即得。 显然，不等式左侧的工作应力和工作变形计算公式，是十分重要的。如果把各种应力公式和变形公式的来历搞明白，对于如何进行强度分析和刚度分析（这是材料力学的主要内容）就会得心应手。 杆件的基本变形一共四种：轴向拉压、扭转、剪切和弯曲变形。它们分别在轴向拉压杆、扭转轴、梁的各章讲授。 其对应的公式各异，但是，推导这些公式的方法却是一样的，都要从静力、几何、物理三个方面考虑，从而导出相应的《应力公式》，在导出应力公式之后，就可以十分方便地获得《变形公式》。
梁弯曲时横截面上的正应力
# 梁弯曲时横截面上的正应力 在确定了梁横截面的内力之后，还需要进一步研究横截面上的应力与截面内力之间的定量关系，从而建立梁的强度设计条件，进行强度计算。 1、纯弯曲与横力弯曲 从火车轴的力学模型为图2-53a所示的外伸梁。画其剪力、弯矩图（见图2-53b、 同时存在，故梁在这些段内c）,在其AC、BD段内各横截面上有弯矩M和剪力F Q 发生弯曲变形的同时还会发生剪力变形，这种变形称为剪力弯曲，也称为横力弯曲。在其CD段内各段截面，只有弯矩M而无剪力F ，梁的这种弯曲称为纯弯曲。 Q 2、梁纯弯曲时横截面上的正应力 如图2-54a所示，取一矩形截面梁，弯曲前在其表面两条横向线m—m和n—n，再画两条纵向线a—a和b—b，然后在其两端外力偶矩M，梁将发生平面纯弯曲变形（见图2-54b)。此时可以观察到如下变形现象： ⑴横向线m—m和n—n任为直线且与正向线正交，但绕某点相对转动了一个微小角度。 》 ⑵纵向线a—a和b—b弯成了曲线，且a—a线缩短，而b—b线伸长。 由于梁内部材料的变化无法观察，因此假设横截面在变形过程中始终保持为平面，这就是纯梁弯曲时的；平面假设。可以设想梁由无数条纵向纤维组成，且纵向纤维间无相互的挤压作用，处于单向受拉或受压状态。 从图2-54b中可以看出，；梁春弯曲时，从凸边纤维伸长连续变化到凹边纤维缩短，期间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这一纵向纤维层称为中性层（见图2-54c）。中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时，横截面绕中心轴绕动了一个角度。 由上述分析可知，矩形截面梁弯曲时的应力分布有如下特点： ⑴中性轴的线应变为零，所以其正应力也为零。 ⑵距中性轴距离相等的各点，其线应变相等。根据胡克定律，它们的正应力也必
拉压杆横截面上的应力应变及胡克定律
机械工业出版社 https://www.360docs.net/doc/9c1697607.html, 用同一材料制成而横截面积不同的两杆，在相同拉力的作用下，随着拉力的增大，横截面小的杆件必然先被拉断。这说明，杆的强度不仅与轴力的大小有关，而且还与横截面的大小有关，即杆的强度取决于 内力在横截面上分布的密集程度。分布内力在某点处的集度，即为该点处的应力。 第二节 拉、压杆横截面上的应力、应变及胡克定理 一、杆件在一般情况下应力的概念
m F 2 F 1 O 点 ?F 微内力 ?A 微面积 A F p ??= m 研究图示杆件。在截面m-m 上任一点O 的周围取一微小面积?A ，设在?A 上分布内力的合力为?F ，?F 与?A 的比值称为?A 上的平均应力，用p m 表示，即
m F 2 F 1 m F 2 F 1 O 点?F 微内力 ?A 微面积 p m A F p ??= m 全应力 一般情况下，内力在截面上的分布并非均匀，为了更真实的描述内力的实际分布情况，应使?A 面积缩小并趋近于零，则平均应力p m 的极限值称为m-m 截面上O 点处的全应力，并用p 表示，即 O A F A F p A d d lim 0= ??=→?
m F P2 F P1 m F P2 F P1 K 点 ?F 微内力 ?A 微面积 p 全应力K 全应力p m 的方向即?F 的方向。通常将应力分解成 垂直于截面的法向分量σ和相切于截面的切向分量τ。 σ称正应力，τ称为切应力。 σ τ 正应力 切应力
m F P2 F P1 m F P2 F P1 K 点 ?F 微内力 ?A 微面积 p 全应力 K 在我国的法定计量单位中，应力的单位为Pa （帕），1Pa=1N/m 2。在工程实际中，这一单位太小， 常用兆帕（MPa ）和吉帕（GPa ），其关系为1MPa=106Pa ，1GPa=109Pa 。 σ τ 正应力 切应力
材料力学常用公式
材料力学常用公式 1外力偶矩计算公式（P功率，n转速） 2弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式 3轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正） 4轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a从x 轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正） 5纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1） 6纵向线应变和横向线应变 7泊松比 8胡克定律 9受多个力作用的杆件纵向变形计算公式? 10承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式
11轴向拉压杆的强度计算公式 12许用应力，脆性材料，塑性材料 13延伸率 14截面收缩率 15剪切胡克定律（切变模量G，切应变g） 16拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式 17圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆 （b）空心圆 18圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r） 19圆截面周边各点处最大切应力计算公式 20扭转截面系数，（a）实心圆 （b）空心圆 21薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均半径）扭转切应
力计算公式 22圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式 23同一材料制成的圆轴各段的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时或 24等直圆轴强度条件 25塑性材料；脆性材料 26扭转圆轴的刚度条件? 或 27受压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式, 28平面应力状态下斜截面应力的一般公式 , 29平面应力状态的三个主应力, ,
30主平面方位的计算公式 31面最大切应力 32受扭圆轴表面某点的三个主应力，， 33三向应力状态最大与最小正应力, 34三向应力状态最大切应力 35广义胡克定律 36四种强度理论的相当应力 37一种常见的应力状态的强度条件， 38组合图形的形心坐标计算公式， 39任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式 40截面图形对轴z和轴y的惯性半径? , 41平行移轴公式（形心轴z c与平行轴z1的距离为a，图形面积为