力学竞赛试题及答案
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转动，忽略重力的影响。
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力学竞赛试题及答案
R
O
A
·C
0
x
解：（1）关键词：平面运动学分析，刚体平面运动微分方程，机械能守恒。 （2）设某瞬时杆与圆柱相切于点 A （圆柱上的点），此时杆绕 A 旋转的角速度为 ，
质心 C 与 A 距离为 x。杆对 A 的转动惯量为 J A m( 2 x 2 ) ，依题意，A 为杆此刻的速度
（3）
对照式（2）和式（3）中的系数，有
联解之，得
ea， Rr a ，
2
2
3 R r 1 r
R 2a ，
r3a ， ea
2
2
（4）
做一个如图 3-2 所示的行星齿轮绘图机构，取式（4）中的参数，即可画出 a cos 2
的四叶玫瑰曲线。
二． 手指转笔 在你思考问题时有用手指转笔的习惯吗？请你用下述刚体简化模型，进行分析计算： （1）本问题与力学中的什么内容有关系？ （2）求出笔绕手指无滑动转一周中，手指作用于笔的正压力和摩擦力的大小；
（3）给出笔与手指间的摩擦因数 随 AC 长度 x 变化应满足的条件。 手指转笔的刚体简化模型：如题 4 图所示，设手指为半径为 R 的圆柱，笔为一回转半径 为 的细直杆（对质心 C 转动惯量为 m 2 ）。设手指保持不动，开始时笔在距质心 C 距离 为 的 A 处与手指相切，初角速度为o ，设 R ，且杆始终在垂直于手指的同一平面内
行将引起转盘的转动。请你分析计算。
（1）本问题与力学中的什么内容有关系？
（2）在 t1 时刻小虫开始爬行，当我们在转盘中看到小虫的轨迹如题 5 图（b）所示时（假 设小虫相对转盘逆时针运动），试求出转盘转过的角度。
（3）若我们在转盘中看到小虫的轨迹如题 3 图（c）所示的圆弧时，试求出转盘转过的
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设在 t1 时刻， v 为小虫相对于定参考系的速度（即绝对速度）， vr 为小虫相对于转盘参考系 的速度，转盘的角速度为 ，r 为小虫相对于定参考系的位矢， r 为小虫相对于动参考系
的位矢，牵连速度 ve r 。如图 3、图 4 所示。
根据点的速度合成公式，有
v vr ve vr r
由于系统对转轴的动量矩守恒，有
（1）
J o mr v 0 在此问题中， r r ，可以得到
固定内齿轮 O 内作纯滚动，其中内齿轮的半径为 R ，小齿轮的半径为 r ，画笔所在 E 点离
小齿轮圆心 O1 的距离为 e 。随系杆 OO1 的转动，其 E 点的轨迹为
xE (R r) cos e cos
yE
(R r) sin e sin
利用小齿轮的纯滚动条件 R r( ) ，有 R r ，代入上式可得 r
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力学竞赛试题及答案
xE
(R r) cos
e cos( R r ) r
yE
(R r) sin e sin( R r ) r
作变换，令 3 ，上式可改写为
xE
(R r) cos 3
e cos(3 R r ) r
yE
(R r) sin 3 e sin(3 R r ) r
瞬心，由机械能守恒可得 故
1 2
J A 2
m 2o2
2
2
2
2 o
2 x2
（1）
设杆受压力
FN
和摩擦力
F
，如图
4-1（a）所示，
a
n C
，
a
C
分别为质心加速度的径向和
切向分量， 为杆转动的角加速度。
F
A
FN
· aCn
C
aC
aC A
A
aCnA aCn
·C
x
a
n A
aC
a
n A
（a）
（b）
图 4-1
A 和 A 两点瞬时重合， A 相对于 A 的加速度与 A 相对于 A 的加速度等值反向，而
可得
a x (cos 3
2
cos )
a y (sin 3 sin )
2
（1）
cos cos 1 [cos( ) cos( )] 2
cos sin 1 [sin( ) sin( )] 2
（2）
y
,
O
x
y
R
r O1
·e
·
E
· O
x
图 3-1
图 3-2
（2）现设计一行星齿轮机构来画此曲线。如图 3-2 所示的行星齿轮机构，小齿轮 O1 在
a AA R 2（纯滚动接触点的加速度），由 A 指向 O 。故有 a AA R 2 ，由 O 指向 A ，且 A
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点的加速度无切向分量，而由基点法可知
aC aCn aC a A aCnA aCA
（2）
方向如图 4-1b 所示，其中
aA
a
n A
R 2 ， aC A
力学竞赛试题及答案 角度，并求出当小虫沿圆弧爬行一周时，转盘转过的角度。
y
m
OP
x
y
y
Q
QO P
x
OP
x
（a）
（b） 题3图
（c）
解：(1) 关键词：点的合成运动，动量矩守恒。
（2） 取小虫为动点，定参考系 O xyz ，动参考系 O xyz 固连在转盘上，与转盘一
起转动。
根据题中提供的条件，转盘和小虫的重力平行于转轴，系统对转轴 O 的动量矩守恒。
力学竞赛试题及答案
力学竞赛试题及答案
一、 四叶玫瑰线
解：（1）对于四叶玫瑰曲线 a cos 2 ，在直角坐标系中可写成（图 3-1）
x cos
y sin
将 a cos 2 代入上式， 得
wenku.baidu.com
x a cos 2 cos
y a cos 2 sin
利用三角函数的积化和差公式
x
。代入式（2）后，投影得
aC R 2 x ， aCn 2 x
根据刚体平面运动微分方程，可列出
macx maCn F macy maC FN
m 2 FN x
联立求解式（3）和式（4），可得
F
m
2x
2m
2
2 o
2 x2
（3） （4） （5）
FN
maC
2m
4
R
2 o
( 2 x2 )2
0
（6）
（3）、分析摩擦因数 应满足的条件：若使杆始终不与圆柱脱离，则摩擦因数 应满
足
F x( 2 x2 ) (x)
FN
R 2
（7）
因 x R ，对 0 , 2 ，有 x 0 , ，（ R ）。则
max(x)
()
2 R
故
2
R
三、 小虫在转盘上爬行
一光滑水平面上的圆盘，中心 O 用无摩擦轴固定，圆盘对此转轴的转动惯量为 J o 。在 圆盘上 P 点有一个质量为 m 的小虫，处于静止状态，如题 5（a）图所示。小虫在转盘上爬
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R
O
A
·C
0
x
解：（1）关键词：平面运动学分析，刚体平面运动微分方程，机械能守恒。 （2）设某瞬时杆与圆柱相切于点 A （圆柱上的点），此时杆绕 A 旋转的角速度为 ，
质心 C 与 A 距离为 x。杆对 A 的转动惯量为 J A m( 2 x 2 ) ，依题意，A 为杆此刻的速度
（3）
对照式（2）和式（3）中的系数，有
联解之，得
ea， Rr a ，
2
2
3 R r 1 r
R 2a ，
r3a ， ea
2
2
（4）
做一个如图 3-2 所示的行星齿轮绘图机构，取式（4）中的参数，即可画出 a cos 2
的四叶玫瑰曲线。
二． 手指转笔 在你思考问题时有用手指转笔的习惯吗？请你用下述刚体简化模型，进行分析计算： （1）本问题与力学中的什么内容有关系？ （2）求出笔绕手指无滑动转一周中，手指作用于笔的正压力和摩擦力的大小；
（3）给出笔与手指间的摩擦因数 随 AC 长度 x 变化应满足的条件。 手指转笔的刚体简化模型：如题 4 图所示，设手指为半径为 R 的圆柱，笔为一回转半径 为 的细直杆（对质心 C 转动惯量为 m 2 ）。设手指保持不动，开始时笔在距质心 C 距离 为 的 A 处与手指相切，初角速度为o ，设 R ，且杆始终在垂直于手指的同一平面内
行将引起转盘的转动。请你分析计算。
（1）本问题与力学中的什么内容有关系？
（2）在 t1 时刻小虫开始爬行，当我们在转盘中看到小虫的轨迹如题 5 图（b）所示时（假 设小虫相对转盘逆时针运动），试求出转盘转过的角度。
（3）若我们在转盘中看到小虫的轨迹如题 3 图（c）所示的圆弧时，试求出转盘转过的
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设在 t1 时刻， v 为小虫相对于定参考系的速度（即绝对速度）， vr 为小虫相对于转盘参考系 的速度，转盘的角速度为 ，r 为小虫相对于定参考系的位矢， r 为小虫相对于动参考系
的位矢，牵连速度 ve r 。如图 3、图 4 所示。
根据点的速度合成公式，有
v vr ve vr r
由于系统对转轴的动量矩守恒，有
（1）
J o mr v 0 在此问题中， r r ，可以得到
固定内齿轮 O 内作纯滚动，其中内齿轮的半径为 R ，小齿轮的半径为 r ，画笔所在 E 点离
小齿轮圆心 O1 的距离为 e 。随系杆 OO1 的转动，其 E 点的轨迹为
xE (R r) cos e cos
yE
(R r) sin e sin
利用小齿轮的纯滚动条件 R r( ) ，有 R r ，代入上式可得 r
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xE
(R r) cos
e cos( R r ) r
yE
(R r) sin e sin( R r ) r
作变换，令 3 ，上式可改写为
xE
(R r) cos 3
e cos(3 R r ) r
yE
(R r) sin 3 e sin(3 R r ) r
瞬心，由机械能守恒可得 故
1 2
J A 2
m 2o2
2
2
2
2 o
2 x2
（1）
设杆受压力
FN
和摩擦力
F
，如图
4-1（a）所示，
a
n C
，
a
C
分别为质心加速度的径向和
切向分量， 为杆转动的角加速度。
F
A
FN
· aCn
C
aC
aC A
A
aCnA aCn
·C
x
a
n A
aC
a
n A
（a）
（b）
图 4-1
A 和 A 两点瞬时重合， A 相对于 A 的加速度与 A 相对于 A 的加速度等值反向，而
可得
a x (cos 3
2
cos )
a y (sin 3 sin )
2
（1）
cos cos 1 [cos( ) cos( )] 2
cos sin 1 [sin( ) sin( )] 2
（2）
y
,
O
x
y
R
r O1
·e
·
E
· O
x
图 3-1
图 3-2
（2）现设计一行星齿轮机构来画此曲线。如图 3-2 所示的行星齿轮机构，小齿轮 O1 在
a AA R 2（纯滚动接触点的加速度），由 A 指向 O 。故有 a AA R 2 ，由 O 指向 A ，且 A
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点的加速度无切向分量，而由基点法可知
aC aCn aC a A aCnA aCA
（2）
方向如图 4-1b 所示，其中
aA
a
n A
R 2 ， aC A
力学竞赛试题及答案 角度，并求出当小虫沿圆弧爬行一周时，转盘转过的角度。
y
m
OP
x
y
y
Q
QO P
x
OP
x
（a）
（b） 题3图
（c）
解：(1) 关键词：点的合成运动，动量矩守恒。
（2） 取小虫为动点，定参考系 O xyz ，动参考系 O xyz 固连在转盘上，与转盘一
起转动。
根据题中提供的条件，转盘和小虫的重力平行于转轴，系统对转轴 O 的动量矩守恒。
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一、 四叶玫瑰线
解：（1）对于四叶玫瑰曲线 a cos 2 ，在直角坐标系中可写成（图 3-1）
x cos
y sin
将 a cos 2 代入上式， 得
wenku.baidu.com
x a cos 2 cos
y a cos 2 sin
利用三角函数的积化和差公式
x
。代入式（2）后，投影得
aC R 2 x ， aCn 2 x
根据刚体平面运动微分方程，可列出
macx maCn F macy maC FN
m 2 FN x
联立求解式（3）和式（4），可得
F
m
2x
2m
2
2 o
2 x2
（3） （4） （5）
FN
maC
2m
4
R
2 o
( 2 x2 )2
0
（6）
（3）、分析摩擦因数 应满足的条件：若使杆始终不与圆柱脱离，则摩擦因数 应满
足
F x( 2 x2 ) (x)
FN
R 2
（7）
因 x R ，对 0 , 2 ，有 x 0 , ，（ R ）。则
max(x)
()
2 R
故
2
R
三、 小虫在转盘上爬行
一光滑水平面上的圆盘，中心 O 用无摩擦轴固定，圆盘对此转轴的转动惯量为 J o 。在 圆盘上 P 点有一个质量为 m 的小虫，处于静止状态，如题 5（a）图所示。小虫在转盘上爬