人教版高中数学必修四 (空间中点、线、面的位置关系)

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完整版)人教版高中数学目录及课时安排

完整版)人教版高中数学目录及课时安排人教版高中数学目录及课时规划必修一第一章集合与函数的概念副目录：1集合的含义与表示2集合间的基本关系3集合的基本运算4函数及其表示5函数的基本性质第二章基本初等函数（1）1指数函数2对数函数3幂函数4函数与方程5函数的模型及其应用必修二第一章空间几何体的结构特征副目录：2简单几何体的三视图和直观图3空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面间的位置关系副目录：1空间点、直线、平面之间的位置关系2直线、平面平行的判定及其性质3直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程1直线的倾斜角与斜率2直线与方程3直线的交点坐标与距离公式直线的点斜式方程直线的两点式方程直线的一般式方程两条直线的交点坐标两点间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离第四章圆与方程1圆的方程圆的标准方程圆的一般方程2直线、圆的位置关系3空间直角坐标系直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用空间直角坐标系必修三第一章算法初步副目录：1随机抽样2用样本估计总体3算法案例1 算法与程序框图算法是解决问题的一种方法或步骤，程序框图是算法的图形化表示。

算法和程序框图都是计算机科学中的基本概念。

算法可以用自然语言、伪代码或编程语言来描述，而程序框图则是用图形化的方式来表示算法。

2 算法的基本语句算法由基本语句组成，包括输入、输出、赋值、条件语句和循环语句等。

其中，输入语句用于接收用户的输入，输出语句用于将结果输出给用户，赋值语句用于给变量赋值，条件语句用于根据条件执行不同的操作，循环语句用于重复执行某一段代码。

3 算法案例讲解算法可以应用于各种领域，例如统计学中的抽样方法。

常见的抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样和分层抽样等。

在统计学中，我们可以用样本的频率分布来估计总体分布，用样本的数字特征来估计总体的数字特征。

4 变量间的相关关系在统计学中，我们需要研究变量之间的相关关系。

两个变量之间可能存在线性关系，我们可以用相关系数来度量它们之间的相关程度。

数学人教A版高中必修2《空间点,直线,平面之间的位置关系--平面》

（即平面和平面相交于直线）
练一练
1、判断下列各题的说法正确与否，在正
确的说法的题号后打，否则打 :
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界；
()
3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
4、菱形的面积是 4 cm 2；
()
5、一个平面可以把空间分成两部分. ( )
知识小结
D
FC
A
E
B
被遮挡部分用虚线表示
3、平面的表示方法
1、平面是无限延展的
（但常用平面的一部分表示平面）
2、画法：常用平行四边形
D
C
3、记法：
A
B
①平面α 、平面β 、平面γ （标记在角上）
②平面ABCD
③平面AC 或平面BD
注意：
1、平面的两个特征：
①无限延展 ②平的（没有厚度）
2、一条直线把平面分成两部分. 一个平面把空间分成两部分.
请你从适当的角度和距离观察教室里的桌面、黑板面或门的表面，它们呈现出怎样的形象？
2.平面的画法
我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面．
平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．
D A
C B
2.平面的画法
为了增强立体感，常常把被遮挡部分用虚线画出来．
2.1.1 平面
• （一）教学目标 • 1．知识与技能 • （1）利用生活中的实物对平面进行描述； • （2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图 • （3）掌握平面的基本性质及作用； • （4）培养学生的空间想象能力. • 2．过程与方法 • （1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识； • （2）让学生归纳整理本节所学知识. • 3．情感、态度与价值观

人教版(B版)高中数学必修第4册空间中的点、线、面的位置关系

平行
点不在面上
线在面内
线与面
平行
线在面外
相交
垂直
小结
过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
点与平面的距离
线与平面的距离
平行平面间距离
过点作平面的垂线
垂线段的长度
作业
在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，写出所有
(1)与直线AB平行的直线，并用“//”表示；
(2)与直线AA₁异面的直线；
(3)与直线AB平行的平面，并用合适的符号表示；
A在平面内的射影（也称投影），线段AB为平面的
垂线段，AB的长为点A到平面的距离.
当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离
称为这条直线到这个平面的距离.
l //, ∀A∈ ,过A作AB⊥ 于B,
则线段AB的长为与的距离.
当平面与平面平行时，一个平面上的任意一点到另一个
平面的距离称为这两平行平面之间的距离.
1.点与直线
2.两条直线
3.点与平面
4.直线与平面
5.两个平面
空间中的直线可看成这条直线上所有点组成的集合.
位置关系
符号表示
图形表示
位置关系
符号表示
a // l
图形表示
空间中的两条直线既不平行也不相交，则称这
两条直线异面.
两条直线异面，则它们不同
在任何一个平面内.
用平面衬托的方法表示
两直线异面.
空间中点、线、面的位置关系
高一年级数学
一、空间中的点、线、面、体的关系和表示;
二、空间中的点、线、面的位置关系;
三、直线与平面垂直.
点、线、面、体是构成空间几何体的基本
元素.
面包围着体

人教高中数学必修第二册8.4空间点线面之间的位置关系知识点

一、直线与平面的位置关系
位置关系
交点个数图形Βιβλιοθήκη 言符号语言直线在平面内
无数个
直线在平面外
直线与平面相交
只有一个
直线与平面平行
没有
2、直线和平面平行
1.定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面平行．
2.判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．
(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．
(3)异面直线所成角的范围是．
2.求异面直线所成角的步骤
（1）恰当选点，由平移构造出一个交角；
（2）证平行关系成立；
（3）把角放入三角形或其它平面图形中求出；
（4）作结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是所求异面直线所成的角．
七、直线、平面的位置关系
5．直线与平面垂直的性质
(1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b，
如图：
(2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．
符号语言：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b，
如图：
6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影
(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB中点．

2021_2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系1

• 因为b∥c，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面β，同理可知l⊂β.
• 因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公
理2的推理2知：经过两条相交直线，有且只有一个平面，所
以平面α与平面β重合，所以直线a，b，c和l共面．
• 规律总结：(1)证明点线共面的主要依据：公理1、公理2及其推论．
• [证明] 如右图所示，
• ∵PA∩PB＝P， • ∴过PA，PB确定一个平面α. • ∴A∈α，B∈α. • ∵A∈l，B∈l， • ∴l⊂α. • ∴PA，PB，l共面．
3. 证明多点共线问题
• 例题3 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，
BC∩α＝Q，如图．求证：P、Q、R三点共线．
自主预习
1．平面
描述
几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限___延__展_____的
通常把水平的平面画成一个__平__行__四__边__形__，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的___2__倍，如图 1所示；如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用__虚__线___画出来，如图2所示
练习1
(1)若点 M 在直线 a 上，a 在平面 α 内，则 M，a，α 间的关系可记为________.
(2) 根据右图，填入相应的符号： A________平面 ABC，A________平面 BCD， BD________平面 ABC，平面 ABC∩平面 ACD ＝________.
• (2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解，这里的“有 ”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，强调的是存在和唯一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替，否则就没有表达出存在性．确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和唯一性这两个方面，这个术语今后也会常常出现．

必修二2.1.空间点、直线、平面之间的位置关系(教案)

人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）第二章点、直线、平面之间的位置关系2. 1空间点、直线、平面之间的位置关系教案 A第 1 课时教学内容： 2. 1. 1平面教学目标一、知识与技能1.利用生活中的实物对平面进行描述，掌握平面的表示法及水平放置的直观图；2.掌握平面的基本性质及作用，提高学生的空间想象能力.二、过程与方法在师生的共同讨论中，形成对平面的感性认识.三、情感、态度与价值观通过实例认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.教学重点、难点教学重点：1.平面的概念及表示；2.平面的基本性质，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.教学难点：平面基本性质的掌握与运用.教学关键：让学生理解平面的概念，熟记平面的性质及性质的应用，使学生对平面的概念及其性质由感性认识上升到理性认识.教学突破方法：对三个公理要结合图形进行理解，清楚其用途.教法与学法导航教学方法：探究讨论，讲练结合法．学习方法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标.教学准备教师准备：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板．学生准备：直尺、三角板．教学过程教学教学内容师生互动设计过程意图创设什么是平面？师：生活中常见的如黑板、情境一些能看得见的平面实桌面等，给我们以平面的印象，形成平导入例 .你们能举出更多例子吗？那么面的概新课平面的含义是什么呢？这就是念我们这节课所要学习的内容 .1教师备课系统──多媒体教案续上表1.平面含义随堂练习判定下列命题是否正确：主题① 书桌面是平面；探究② 8 个平面重叠起来要比合作 6 个平面重叠起来厚；交流③ 有一个平面的长是50m，宽是 20m；④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念 .师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说加强对知的平面，就是从这样的一些识的理解物体中抽象出来的，但是，培养，自几何里的平面是无限延展觉钻研的的 .学习习惯 . 数形结合，加深理解 .2.平面的画法及表示师：在平面几何中，怎（1）平面的画法：水平放样画直线？（一学生上黑板置的平面通常画成一个平行四画）边形，锐角画成 45°，且横边之后教师加以肯定，解说、画成邻边的 2 倍长（如图）．类比，将知识迁移，得出平面的画法：D CαA B如果几个平面画在一起，主题当一个平面的一部分被另一个探究平面遮住时，应画成虚线或不合作画（打出投影片）．交流（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC 、平面 ABCD等.（3）平面内有无数个点，平面可以看成点的集合 .点 A 在平面α内，记作：A ∈ α ; 点B 在平面α外，记作： Bα．β通过类比α探索，培养学生知识迁移能β力，加强知识的系统性 .α·B·Aα2续上表人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）3.平面的基本性质公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．A Bα· C··教师引导学生思考教材P41 的思考题，让学生充分发表自己的见解 .师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出公理主题探究合作交流符号表示为A ∈ LB∈ L? L ? α．A ∈ αB∈ α公理 1：判断直线是否在平面内．公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 .A· Bα·L符号表示为： A 、B、C 三点不共线 ? 有且只有一个平面α，使A ∈ α、 B∈ α、 C∈ α.公理 2 作用：确定一个平面的依据 .公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 .βPα·L符号表示为： P∈ α∩β? α∩β =L，且P∈ L ．公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据 .1．教师引导学生阅读教材P42 前几行相关内容，并加以解析．师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等．通过类比引导学生归纳出公理探索，培2．养学生知教师用正（长）方形识迁移能模型，让学生理解两个平力，加强面的交线的含义.知识的系注意：（ 1）公理中“有统性 .且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形唯一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.“ 有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面 . ”引导学生阅读P42 的思考题，从而归纳出公理3．3教师备课系统──多媒体教案续上表拓展 4. 教材 P43 例 1教师及时评价和纠正同创新通过例子，让学生掌握图形学的表达方法，规范画图和巩固应用中点、线、面的位置关系及符号符号表示 .提高．提高的正确使用 .1．平面的概念，画法及表示方法 .培养学2．平面的性质及其作用．生归纳3．符号表示．整合知4．注意事项．学生归纳总结、教师给识能小结力，以予点拨、完善并板书 .及思维的灵活性与严谨性 .课堂作业1.下列说法中，（1）铺得很平的一张白纸是一个平面；（ 2）一个平面的面积可以等于 6cm 2；（ 3）平面是矩形或平行四边形的形状. 其中说法正确的个数为（）．A . 0 B . 1 C. 2 D . 32.若点 A 在直线 b 上，在平面内，则 A， b，之间的关系可以记作（）．A . A b B. A b C. A b D . A b3.图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（）．A B C D4.空间中两个不重合的平面可以把空间分成（）部分.答案： 1. A 2. B 3. D 4. 3 或 4第 2 课时教学内容2.1. 2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标一、知识与技能1.了解空间中两条直线的位置关系；4人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）2.理解异面直线的概念、画法，提高空间想象能力；3.理解并掌握公理 4 和等角定理；4.理解异面直线所成角的定义、范围及应用.二、过程与方法1.经历两条直线位置关系的讨论过程，掌握异面直线所成角的基本求法.2.体会平移不改变两条直线所成角的基本思想和方法.三、情感、态度与价值观感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学习兴趣.教学重点、难点教学重点1.异面直线的概念 .2.公理 4 及等角定理 .教学难点异面直线所成角的计算.教学关键提高学生空间想象能力，结合图形来判断空间直线的位置关系，使学生掌握两异面直线所成角的步骤及求法 .教学突破方法结合图形，利用不同的分类标准给出空间直线的位置关系，由两异面直线所成角的定义求其大小，注意两异面直线所成角的范围.教法与学法导航教学方法探究讨论法．学习方法学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成教学目标.教学准备教师准备投影仪、投影片、长方体模型、三角板．学生准备三角板 .教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计环节意图创设通过身边实物，相互设疑激情境异面直线的概念：不同在任何一个交流异面直线的概念．趣点出导入平面内的两条直线叫做异面直线.师：空间两条直线有主题．新课多少种位置关系？1. 空间的两条直线的位置关系教师给出长方体模多媒体5教师备课系统──多媒体教案相交直线：同一平面内，有且只有型，引导学生得出空间的演示提一个公共点；两条直线有如下三种关高上课平行直线：同一平面内，没有公共系．效率 .探索点；异面直线：不同在任何一个平面内，教师再次强调异面直新知没有公共点 .线不共面的特点．师生互异面直线作图时通常用一个或两个动，突平面衬托，如下图：破重点 .2. 平行公理师：在同一平面内，例 2 的思考：长方体ABCD-A'B'C'D' 中，如果两条直线都与第三条讲解让BB' ∥AA'， DD' ∥AA'，那么 BB' 与直线平行，那么这两条直学生掌DD' 平行吗？线互相平行 . 在空间中，是握了公否有类似的规律？理 4 的运用．生：是．强调：公理 4 实质上探索是说平行具有传递性，在新知公理 4：平行于同一条直线的两条平面、空间这个性质都适直线互相平行 .用．符号表示为：设a、b、c 是三条直线如果 a//b， b//c，那么 a//c.例 2 空间四边形ABCD 中， E、 F、G、 H 分别是AB 、BC 、 CD 、 DA 的中点．求证：四边形 EFGH 是平行四边形 .续上表3. 思考：在平面上，我们容易证明让学生观察、思考：等角定“如果一个角的两边与另一个角的两边理为异探索分别平行，那么这两个角相等或互补”.面直线新知空间中，结论是否仍然成立呢？所成的等角定理：空间中如果两个角的两角的概边分别对应平行，那么这两个角相等或念作准6人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）互补 .∠ ADC与A'D'C' 、备.∠ ADC与∠ A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ ADC = A'D'C' ，∠ ADC +∠ A'B'C' = 180°4.异面直线所成的角如图，已知异面直线 a、b，经过空探索间中任一点 O 作直线 a'∥ a、b'∥ b，我新知们把 a'与 b'所成的锐角（或直角）叫异面直线 a 与 b 所成的角（夹角）．教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下等角定理．师：① a'与 b'所成的角的以教师大小只由 a、b 的相互位置讲授为来确定，与 O 的选择无关，主，师为了简便，点 O 一般取在生共同两直线中的一条上；交流，② 两条异面直线所成的导出异角θ∈（ 0，π）；面直线2所成的③ 当两条异面直线所成角的概探索的角是直角时，我们就说念 .新知这两条异面直线互相垂例 3 让直，记作 a⊥ b；学生掌④ 两条直线互相垂直，有握了如共面垂直与异面垂直两种何求异情形；面直线⑤ 计算中，通常把两条异所成的例 3（投影）面直线所成的角转化为两角，从条相交直线所成的角 .而巩固了所学知识 .续上表充分调动学拓展生动手创新教材 P49 练习 1、 2．生完成练习，教师当的积极应用堂评价 .性，教提高师适时7教师备课系统──多媒体教案给予肯定 .本节课学习了哪些知识内容？小结知2．计算异面直线所成的角应注意什学生归纳，然后老师补识，形小结么？充、完善．成整体思维．课堂作业1. 异面直线是指（）．A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线2.如右图所示，在三棱锥 P-ABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有（）．A. 2 对 B . 3 对 C. 4 对 D. 6 对3.正方体 ABCD-A 1B1C1D1中与棱AA1平行的棱共有（）．A. 1 条 B . 2 条 C. 3 条 D. 4 条4.空间两个角、，且与的两边对应平行，若=60 °，则的大小为（）．.答案： 1. D 2.B 3. C 4. 60 °或 120°第 3 课时教学内容8人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）2. 1. 3 空间中直线与平面之间的位置关系 2. 1. 4 平面与平面之间的位置关系教学目标一、知识与技能1.了解空间中直线与平面的位置关系，了解空间中平面与平面的位置关系；2.提高空间想象能力 .二、过程与方法1.通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；2.利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.三、情感、态度与价值观感受空间中图形的基本位置关系，形成严谨的思维品质.教学重点、难点教学重点空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系.教学难点用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系.教学关键借助图形，使学生清楚直线与平面，平面与平面的分类标准，并能依据这些标准对直线与平面、平面与平面的位置关系进行分类及判定.教学突破方法恰当地利用图形，用符号语言表述直线与平面、平面与平面的位置关系.教法与学法导航教学方法借助实物，让学生观察事物、思考关系，讲练结合，较好地完成本节课的教学目标.学习方法探究讨论，自主学习法.教学准备教师准备多媒体课件，投影仪，三角板，直尺.学生准备三角板，直尺．教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计过程意图创设问题1：空间中直线和直线有几生 1：平行、相交、异复习9教师备课系统──多媒体教案情境种位置关系？面；回顾，导入问题 2：一支笔所在的直线和一生 2：有三种位置关系：激发新课个作业本所在平面有几种位置关（1）直线在平面内；学习系？（2）直线与平面相交；兴趣 .（3）直线与平面平行．师肯定并板书，点出主题 .1．直线与平面的位置关系 .师：有谁能讲出这三种（ 1）直线在平面内——有无数位置有什么特点吗？个公共点 .生：直线在平面内时二（ 2）直线与平面相交——有且者有无数个公共点 .仅有一个公共点 .直线与平面相交时，二（ 3）直线在平面平行——没有者有且仅有一个公共点 .公共点 .直线与平面平行时，三其中直线与平面相交或平行的者没有公共点（师板书）．情况，统称为直线在平面外，记作师：我们把直线与平面加强a.相交或直线与平面平行的对知直线 a 在面内的符号语言是情况统称为直线在平面外 .识的a. 图形语言是：师：直线与平面的三种理解位置关系的图形语言、符号培养，主题语言各是怎样的？谁来画自觉探究图表示一个和书写一下 .钻研合作学生上台画图表示 .的学交流直线 a 与面相交的 a∩ = A.师；好 . 应该注意：画习习图形语言是符号语言是：直线在平面内时，要把直线惯，数画在表示平面的平行四边形结形内；画直线在平面外时，合，加应把直线或它的一部分画深理在表示平面的平行四边形解 .外 .直线 a 与面平行的符号语言是a∥. 图形语言是：10人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）续上表2．平面与平面的位置关系师：下面请同学们思考以（ 1）问题 1：拿出两本书，看下两个问题（投影）．作两个平面，上下、左右移动和翻生：平行、相交 .转，它们之间的位置关系有几种？师：它们有什么特点？（ 2）问题 2：如图所示，围成生：两个平面平行时二者长方体 ABCD –没有公共点，两个平面相交A′B′C′D′的六个时，二者有且仅有一条公共直通过面，两两之间的线（师板书）．类比位置关系有几师：下面请同学们用图形探索，种？和符号把平面和平面的位置培养主题关系表示出来⋯⋯学生（ 3）平面与平面的位置关系探究——没有公师：下面我们来看几个例知识平面与平面平行合作子（投影例 1）．迁移共点 .交流能力 .平面与平面相交——有且只有一条公共直线 .加强平面与平面平行的符号语言知识是∥ . 图形语言是：的系统性 .11教师备课系统──多媒体教案续上表拓展创新应用提高例 1 下列命题中正确的个数是（ B ）．①若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l∥ .②若直线l 与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行 .③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 .④若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线没有公共点 .A . 0B . 1 C. 2 D. 3例 2 已知平面∥，直线a，求证 a∥ .证明：假设 a 不平行，则 a在内或 a 与相交 .∴ a 与有公共点 .又 a.∴ a与有公共点，与面∥面矛盾 .∴∥ .学生先独立完成，然后讨例 1 通论、共同研究，得出答案. 教师过示范利用投影仪给出示范 .传授学师：如图，我们借助长方体生一个模型，棱 AA 1所在直线有无数点通过模在平型来研面究问题ABCD的方外，但法，加棱 AA 1深对概所在直线与平面ABCD 相交，所念的理以命题①不正确； A1B1所在直线解. 例 2平行于平面 ABCD ，A1B1显然不目标训平行于 BD，所以命题②不正确；练学生A1 B1∥AB，A1B1所在直线平行于思维的平面 ABCD ，但直线 AB平灵活，面 ABCD ，所以命题③不正确；并加深l 与平面平行，则 l 与无公对面面共点， l与平面内所有直线都平行、没有公共点，所以命题④正确，线面平应选 B .行的理师：投影例2，并读题，先解.让学生尝试证明，发现正面证明并不容易，然后教师给予引导，共同完成，并归纳反证法步骤和线面平行、面面平行的理解 .1．直线与平面、平面与平培养学面的位置关系 .生整合2．“正难到反”数学思想知识能与反证法解题步骤 .学生归纳总结、教师给予点力，以小结拨、完善并板书 .及思维3. “分类讨论”数学思想．的灵活性与严谨性 . 12人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）课堂作业1.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）．A ．一条直线不相交B．两条直线不相交C．任意一条直线都不相交 D ．无数条直线都不相交【解析】直线与平面平行，则直线与平面内的任意直线都不相交，反之亦然；故应选C.2. “平面内有无穷条直线都和直线l 平行”是“l //”的（）．A．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件【解析】如果直线在平面内，直线可能与平面内的无穷条直线都平行，但直线不与平面平行，应选 B.3．如图，试根据下列要求，把被遮挡的部分改为虚线：（ 1）AB 没有被平面遮挡；（ 2）AB 被平面遮挡.答案：略4．已知，，直线a，b，且∥，a，b，则直线 a 与直线 b 具有怎样的位置关系？【解析】平行或异面．5．如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.【解析】三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条.6.求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内 .已知： l ∥，点P∈，P∈ m，m∥ l，求证： m.证明：设 l 与 P 确定的平面为，且= m′，则 l ∥ m′.又知 l ∥ m， m m P ，由平行公理可知，m 与 m′重合 .所以 m.13教师备课系统──多媒体教案教案 B第 1 课时教学内容： 2. 1. 1 平面教学目标1.了解平面的概念，掌握平面的画法、表示法及两个平面相交的画法；2.理解公理一、二、三，并能运用它们解决一些简单的问题；3.通过实践活动，感知数学图形及符号的作用，从而由感性认识提升为理性认识，注意区别空间几何与平面几何的不同，多方面培养学生的空间想象力.教学重点：公理一、二、三，实践活动感知空间图形．教学难点：公理三，由抽象图形认识空间模型．学法指导：动手实践操作，由模型到图形，由图形到模型不断感知.教学过程一、引入在平面几何中，我们已经了解了平面图形都是由点和线构成的，我们所做的一切都是在一个无形的平面中进行，请同学谈谈到底平面是什么样子的？可以举实例说明.在平面几何中，我们也知道直线是无限延伸的，我们是怎样表示这种无限延伸的？那么你认为平面是否有边界？你又认为如何去表示平面呢？二、新课以上问题经过学生分小组充分讨论，由各小组代表陈述你这样表示的理由？教师暂不作评判，继续往下进行 .实践活动：1.仔细观察教室，举出空间的点、线、面的实例.2.只准切三刀，请你把一块长方体形状的豆腐切成形状、大小都相同的八块.3.请你准备六根游戏棒，以每根游戏棒为一边，设法搭出四个正三角形.以上这些问题已经走出了平面的限制，是空间问题. 今后我们将研究空间中的点、线、面之间的关系.图 1问题：指出上述活动中几何体的面，并想想如何在一张纸上画出这个几何体？至此我们应感受到画几何体与我们的视角有一定的关系.练习一：试画出下列各种位置的平面.1.水平放置的平面2.竖直放置的平面14人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）图 2（ 1）图2（2）3.倾斜放置的平面图 34.请将以下四图中，看得见的部分用实线描出．图 4（1）图4（2）图4（3）图4（4）小结：平面的画法和表示法.我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示一个平面，如图 5.平行四边形的锐角通常画成45o，且横边长等于其邻边长的 2 倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如图 6.βFA DA DααB E CB C图 5图 6图 7平面常用希腊字母, ,等表示（写在代表平面的平行四边形的一个角上），如平面、平面；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或相对的两个顶点的大写英文字母作为平面的名称，图 5 的平面，也可表示为平面ABCD ，平面 AC 或平面BD .前面我们感受了空间中面与面的关系及画法，现在让我们研究一下点、线与一个平面会有怎样的关系？15教师备课系统──多媒体教案显然，一个点与一个平面有两种位置关系：点在平面内和点在平面外.我们知道平面内有无数个点，可以认为平面是由它内部的所有的点组成的点集，因此点和平面的位置关系可以引用集合与元素之间关系.从集合的角度，点 A 在平面内，记为A；点B在平面外，记为B （如图 7）.再来研究一下直线与平面的位置关系.将学生分成小组，并动手实践操作后讨论：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的整个边缘就落在桌面上吗？请同学们再试着想一下，如何用图形表示直线与平面的这些空间关系？由“两点确定一条直线”这一公理，我们不难理解如下结论：公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 .A l ,B l , 且 A, B,l．A l Bα图8例1 分别用符号语言、文字语言描述下列图形．AA aa图 9（ 1）图 9（ 2）图 9（ 3）例 2 识图填空（在空格内分别填上, , ,）．A____ a；A____ α，B____ a； B____ α，Aa____ α；a____ α = B，B bb____ α；B____ b．a图 10图 11问题情景：制作一张桌子，至少需要多少条腿？为什么？公理 2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平A面 .CB实践活动：取出两张纸演示两个平面会有怎样的位置关α图 12系，并试着用图画出来 .图 12试问：如图13 是两个平面的另一种关系吗？（相对于同学们得出的关系）由平面的无限延展性，不难理解如下结论：公理 3如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个公共点16人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）的直线 .βP l 且P l．αP l图 13例 3如图14用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.l【分析】根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.【解析】在（1）中，l , a A , a B .l , a, b, a l P , B l P .在（ 2）中，三、巩固练习教材 P43 练习 1— 4.四、课堂小结（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）三个公理的内容及作用是什么？（3）判断共面的方法 .五、布置作业P51 习题 A 组 1， 2．第 2 课时教学内容： 2. 1. 2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标：一、知识目标1.了解空间中两条直线的位置关系；2.理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；3.理解并掌握公理 4．二、能力目标1.让学生在观察中培养自主思考的能力；17教师备课系统──多媒体教案2.通过师生的共同讨论培养合作学习的能力.三、情感、态度与价值观让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.教学重点、难点教学重点： 1.异面直线的概念； 2.公理 4.教学难点：异面直线的概念.学法与教学用具1.学法：学生通过观察、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标；2.教学用具：多媒体、长方体模型、三角板．教学过程一、复习引入1．平面内两条直线的位置关系有（相交直线、平行直线）．相交直线（有一个公共点）；平行直线（无公共点）．2．实例 . 十字路口——立交桥．立交桥中，两条路线 AB ， CD 既不平行，又不相交（非平面问题）．六角螺母DCA B二、新课讲解1.异面直线的定义不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．练习：在教室里找出几对异面直线的例子．注1：两直线异面的判别一 : 两条直线既不相交、又不平行．两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内．合作探究一：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？答：不一定，它们可能异面，可能相交，也可能平行．空间两直线的位置关系：按平面基本性质分（1）同在一个平面内：相交直线、平行直线；（ 2）不同在任何一个平面内：异面直线．按公共点个数分（ 1）有一个公共点 : 相交直线；（ 2）无公共点：平行直线、异面直线．2．异面直线的画法说明：画异面直线时，为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托. 18。

高中数学 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系新人教A版必修2

符号表示：P ∈α ∩β α ∩β = l，且 P ∈l。
公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据。
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例1、用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的关系。
解：左边的图中， α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B。右边的图中， α∩β＝l，a α，b β， a∩l=P，b∩l=P。
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新疆王新敞
奎屯
求证： P 在直线 BD 上新疆王新敞奎屯
A
P EH
D
G
B
C
F
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证明：∵ EH FG P ，∴ PEH ， P FG ， ∵ E, H 分别属于直线 AB, AD ， ∴ EH 平面 ABD，∴ P 平面 ABD，同理： P 平面 CBD ，又∵平面 ABD 平面 CBD BD ，
集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“ ”和“∩”的符号只能
用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用
几何语言．（平面α外的直线 a）表示 a （平面α外的直线 a）表示 a 或 a A．
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问题4：如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？直线l不一定在平面α内。
答案：（1）×（2）√（3）×（4）√
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2．①一条直线与一个平面会有几种位置关系
．
②如图所示，两个平面、，若相交于一点，则会发生什么现象.
③几位同学的一次野炊活动，带去一张折叠方桌，不小心弄坏了桌脚，
有一生提议可将几根一样长的木棍，在等高处用绳捆扎一下作桌脚（如图
所示），问至少要几根木棍，才可能使桌面稳定？
（5）
直线在平面内
aα
直线与平面相交

高中数学经典资料第42课--空间点、线、面的位置关系

有 B1E ^ 面 ABHF ，此时 B1E
32 +( 3 )2 3 5 .
2
2
6. 如图，在四棱锥 E ABCD 中，平面 EAB ⊥平面 ABCD ，四边形 ABCD 为矩形， EA ⊥ EB ， M , N 分别为 AE,CD 的中点.
求证：（1）直线 MN ∥平面 EBC ；（2）直线 EA ⊥平面 EBC . 答案：（1）见解析；（2）见解析解析：（1）取 BE 中点 F，连结 CF，MF，
故选 C.
4. 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB BC 1 ， AA1 3 ，则异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为（）.
A. 1 5
答案：C
B. 5 6
C. 5 5
D. 2 2
解析：以 D 为坐标原点， DA, DC, DD1 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系，则
则 ANG 或其补角为异面直线 AN,CM 所成的角，显然 NG 1 MC 2
2, AN 2 2 ，∵ AB BD ，∴ BM AD ，
在直角 AMG 中，AG
AM 2 MG 2
3
，在
ANG
中，cos ANG
8 22
23 2
2
7 8
，即异面直线
AN , CM
所成的角的余弦值为
7 8
D0,0,0, A1,0,0, B1 1,1, 3 , D1 0,0, 3 ，所以 AD1 1,0, 3 , DB1 1,1, 3 ，
因为 cos
AD1, DB1
AD1 DB1 1 3
AD1 DB1 2 5
5 5
，所以异面直线

高中数学必修二-空间点、线、面之间的位置关系

空间点、线、面之间的位置关系知识集结知识元文字语言、图形语言、符号语言的相互转化知识讲解平面的概念、表示及其基本性质1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.图①图②3．平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD 、平面AC 或平面BD.4．平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B ∈α⇒l ⊂α公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A ，B ，C 三点不共线⇒存在唯一的α使A ，B ，C ∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P ∈α，P ∈β⇒α∩β＝l ，且P ∈l例题精讲文字语言、图形语言、符号语言的相互转化例1.下面说法中(其中A ，B 表示点，a 表示直线，α表示平面)：①因为A ⊂α，B ⊂α，所以AB ⊂α；②因为A∈α，B∈α，所以AB∈α；③因为A∉a，a⊂α，所以A∉α；④因为A∉α，a⊂α，所以A∉a.其中正确的说法的序号是()A．①④B．②③C．④D．③例2.用符号语言表示下列语句，正确的个数是()(1)点A在平面α内，但不在平面β内：A⊂α，A⊄β.(2)直线a经过平面α外的点A，且a不在平面α内：A∈a，A∉α，a⊄α.(3)平面α与平面β相交于直线l，且l经过点P：α∩β=l，P∈l.(4)直线l经过平面α外一点P，且与平面α相交于点M：P∈l，l∩α=M.A．1B．2C．3D．4例3.AB，AD⊂α，CB，CD⊂β，E∈AB，F∈BC，G∈CD，H∈DA，若直线EH与FG相交于点P，则点P必在直线________上.点、线共面问题知识讲解平面的概念、表示及其基本性质1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.图①图②3．平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD 、平面AC 或平面BD.4．平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B ∈α⇒l ⊂α公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A ，B ，C 三点不共线⇒存在唯一的α使A ，B ，C ∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P ∈α，P ∈β⇒α∩β＝l ，且P ∈l例题精讲点、线共面问题例1.若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是__________.例2.'如图所示，在空间四边形各边AD，AB，BC，CD上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH 交于一点P，求证：点P在直线BD上.'例3.下列说法中正确的是()A．空间不同的三点确定一个平面B．空间两两相交的三条直线确定一个平面C．空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D．和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内例4.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如EF与HG交于点M，那么()A．M一定在直线AC上B．M一定在直线BD上C．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上点共线与线共点问题知识讲解平面的概念、表示及其基本性质1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.图①图②3．平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD 、平面AC 或平面BD.4．平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，么这条直线在此平面内B ∈α⇒l ⊂α公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A ，B ，C 三点不共线⇒存在唯一的α使A ，B ，C ∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P ∈α，P ∈β⇒α∩β＝l ，且P ∈l例题精讲点共线与线共点问题例1.如图，平面α∩平面β＝l ，A 、B ∈α，C ∈β，C ∉l ，直线AB ∩l ＝D ，过A 、B 、C 三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过()A ．点AB ．点BC ．点C ，但不过点D D ．点C 和点D例2.'如图，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.求证：AA1，BB1，CC1交于一点.'例3.'求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．'例4.'在正方体AC1中，E、F分别为D1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，如图. (1)求证：D、B、E、F四点共面；(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置．'空间两直线位置关系的判定知识讲解空间中直线与直线之间的位置关系1．异面直线(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．(2)画法：(通常用平面衬托)2．空间两条直线的位置关系平行、相交、异面直线例题精讲空间两直线位置关系的判定例1.所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．例2.如图，E，F是AD上互异的两点，G，H是BC上互异的两点，由图可知，①AB与CD互为异面直线；②FH分别与DC，DB互为异面直线；③EG与FH互为异面直线；④EG与AB互为异面直线.其中叙述正确的是()A．①③B．②④C．①④D．①②例3.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是()A．①②③B．②④C．③④D．②③④公理4、等角定理的应用知识讲解空间中直线与直线之间的位置关系1．公理4文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．符号表述：⇒a∥c.2．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．例题精讲公理4、等角定理的应用例1.'如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠D1EA1.'例2.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中(如图)，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是()A．l与AD平行B．l与AD不平行C．l与AC平行D．l与BD垂直例3.'如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC AD，BEFA，G，H分别为FA，FD的中点.(1)证明：四边形BCHG是平行四边形.(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？'求异面直线所成的角知识讲解空间中直线与直线之间的位置关系1．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.例题精讲求异面直线所成的角例1.如图，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别为AB，CD的中点，EF=，则AD与BC所成的角为()A．30°B．60°C．90°D．120°例2.在正方体ABCD-A′B′C′D′中，点P在线段AD′上运动，则异面直线CP与BA′所的θ角的取值范围是()A．0<θ<B．0<θ≤C．0≤θ≤D．0<θ≤例3.'已知A是△BCD外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，(1)求证：直线EF与BD是异面直线.(2)若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角.'直线与平面的位置关系知识讲解空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示平面与平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β0个两平面相交α∩β＝l无数个点(共线)例题精讲直线与平面的位置关系例1.下列说法中，正确的个数是()(1)平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线.(2)如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面.(3)直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线.(4)如果α∥β，a∥α，那么a∥β.A．0B．1C．2D．3例2.'如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别为B′C′，A′D′的中点，求证：平面ABB′A′与平面CDFE相交.'例3.两平面α、β平行，a⊂α，下列四个命题：(1)a与β内的所有直线平行；(2)a与β内无数条直线平行；(3)直线a与β内任何一条直线都不垂直；(4)a与β无公共点．其中正确命题的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个例4.'如图所示，ABCDA1B1C1D1是正方体，在图中，E，F分别是D1C1，B1B的中点，画出图①②中有阴影的平面与平面ABCD的交线，并给出证明．'备选题库知识讲解本题库作为知识点“平面的基本性质和推论”的题目补充.例题精讲备选题库例1.下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．过一条直线的平面有无数多个C．两条直线确定一个平面D．两条相交平面的交线是一条线段例2.已知正四棱锥S-ABCD侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC 所成角的大小为（）A．B．C．D．例3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=1，AA1=，则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为（）A．B．-C．D．-例4.已知α，β是相异两个平面，m，n是相异两直线，则下列命题中正确的是（）A．若m∥n，m⊂α，则n∥αB．若m⊥α，m⊥β，则α∥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若α∩B=m，n∥m，则n∥β当堂练习单选题练习1.下列说法中错误的是（）①如果一条直线和平面内的一条直线垂直，那么该直线与这个平面必相交；②如果一条直线和平面内的两条平行线垂直，那么该直线必在这个平面内；③如果一条直线和平面的一条垂线垂直，那么该直线必定在这个平面内；④如果一条直线和一个平面垂直，那么该直线垂直于平面内的任何直线．A．①②B．②③④C．①②④D．①②③练习2.已知两个平行平面α，β，直线l⊂α，过l上一点P作与l所成角为40°的直线m，则直线m与β的交点M的轨迹是（）A．椭圆B．抛物线C．双曲线D．圆练习3.已知异面直线a，b所成的角为60°，过空间一点O的直线与a，b所成的角均为60°，这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条练习4.已知l、m为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若l∥m，l∥α，则m∥αB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若l⊥β，α⊥β，则l∥αD．若l⊥m，l⊥α，且m⊥β，则α⊥β练习1.在△ABC中，D为AB的中点，AC=2CD=4，△ABC的面积为6，BE⊥CD且BE交CD于点E，将△BCD沿CD翻折，翻折过程中，AC与BE所成角的余弦值取值范围是_____．练习2.如图，点M为正方形ABCD边DC上异于点C，D的动点，将△ADM沿AM翻折成△PAM，使得平面PAM⊥平面ABCM，则下列说法中正确的是________．（填序号）（1）在平面PBM内存在直线与BC平行；（2）在平面PBM内存在直线与AC垂直（3）存在点M使得直线PA⊥平面PBC（4）平面PBC内存在直线与平面PAM平行．（5）存在点M使得直线PA⊥平面PBM练习3.若平面α与平面β平行，a⊂α，b⊂β，则a与b的位置关系是_______．练习1.'长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AA1=2，AB=1，E是DD1上的一点。

高中数学空间点线面之间的位置关系的知识点总结

高中空间点线面之间位置关系知识点总结2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

D CBAα LA·α C ·B· A· α（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上；② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；P· αLβ共面直线=>a ∥c2④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

新课标人教A高中数学必修点直线平面之间的位置关系PPT课件

脚？为什么用三角架支撑照相机？
B A
C
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2、过空间一点可以做几条直线？两点呢？过空间中一点可以做几个平面？两点呢？
不共线的三点呢？
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公理2
存在性
文字语言过不在一条直线上的三点，有且只有
一个平面．图形语言
唯一性
B
A
C
不在一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面，可以记成“平面ABC”．
• 平面的三个特征:平面是平的；平面无厚薄之分；平面是无限延展的.
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随堂练习
一、判断下列各题的说法正确与否：
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界；
()
3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
4、菱形的面积是 4 cm 2；
()
5、一个平面可以把空间分成R SITE HERE
小结
1，平面的概念,画法及表示
2，点、直线、平面间的基本关系
3，三条平面公理
新疆王新敞
奎屯
公理1
A B
AB
公理2 A, B,C不共线 A, B,C确定一平面
公理3 P , P , l P l
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YOUR SITE HERE
第5页/共30页
YOUR SITE HERE
2、平面的画法
平面通常画成一个平行四边形，锐角通常画成45°，且横边等于其邻边长的2倍 .
D
C
3、记法
A
B
①平面α 、平面β 、平面γ （标记在锐角上）
②平面ABCD
③平面AC 或平面BD
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4、相交平面画法：

人教版高中数学 .4平面与平面之间的位置关系(共21张PPT)教育课件

:
那
你
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第
一
口
罗
没
有
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没
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西
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如
果
我
自
己
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一
五
分
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男
女
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)
所
镜
完
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后
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不
第
一
为
( 2 ) 设平面 l A B P ,求 P B '的长 ;
分析：找面 D M N 与面 A B C D 的交线

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教案漂市一中钱少锋
点A不在直线l上
l A∉
2.两条直线
位置关系符号表示图形表示
直线a与l 相交
A
l
a=
直线a与l 平行
l a//
直线a与l 异面
异面与l
a
异面直线的定义：空间中的两条直线既不平行也相交，则称这两条直线异面.
两条直线异面，则它们不同在任何一个平面内. 用平面衬托的方法表示异面直线.
3.点与平面
空间中的平面也可看成这个平面上的所有点组成的集合.
位置关系符号表
示
图形表示
点A 在平面α内 α∈A
点A 不是平面α内的点 α∉A
4. 直线与平面
（1）直线在平面α内（或平面α过直线l ）：直线l 上的所有点都在平面α内，记作α⊂l .
（2）直线l 在平面α外：直线l 上至少有一个点不在平面α内，记作α⊄l .
①直线l 与平面α相交：直线l 与平面α有且只有一个公共点A ，记作A l =α .
②直线l 与平面α平行：直线l 与平面α没有公共点，记作α//l .
5. 平面与平面位置关系符号表示图形表示
平面
βα与相交
l =βα
平面
βα与平行
βα//
三、直线与平面垂直
1. 直线与平面垂直的定义：如果直线l与平面α相交于点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有m
l⊥，则称直线l与平面α垂直（或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面），记作α
⊥
l.其中点A称为垂足.
2.点与面的距离：给定空间中的一个平面α及一个点A，过点A作只可以作平面α的一条垂线，如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影（也称投影），线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离.
3.直线与平面的距离：当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；
4.两个平行平面的距离：当平面与平面平行时，一个平面上的任意一点到另一个平面的距离称为
这两平行平面之间的距离.
以可以取其中任一点来作点面距来求线面距离.
两个平面平行时，其中一个平面的每一点到另一个平面距离都相等，所以可以转化为点面距来处理.
例题例1 判断下列命题是否正确.
(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则
α
//
l.( )
(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意
一条直线都平行. ( )
(3)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意
一条直线都没有公共点. ( )
【答案】（1）错；（2）错；（3）对.
例2 在正方体
1
1
1
1
D
C
B
A
ABCD-中，
（1）与直线
1
AA异面的棱有条；
（2）与直线B
A
1
相交的棱有条；
（3）直线B
A
1
与直线C
B
1
的位置关系
是；
（4）直线B
A
1
与直线
C
D
1
的位置关系
对线面平行关系
的定义的认识，
线与面没有公共
点即线与平面中
的所有线都没有
公共点，且直线
上的所有点都不
在平面内，这与
直线上无数个点
都不在平面上不
同.
两条直线的平行
依赖于在同一平
面内没有公共
点，所以仅由直
线与平面平行不
可得到.
是 .
【答案】(1)排除相交和平行的情况，4条；
(2)从一个顶点出发的棱有3条，所以共有6条； (3)异面，通过找到衬托平面来判断； (4)平行.
例3 已知1111D C B A ABCD -是长方体，且
2,3,41===AA AD AB .
（1）求点A 到平面
11B BCC 的距离；
（2）求直线AB 到平面1111D C B A 的距离；
（3）求平面11A ADD 与平面11B BCC 之间的距离. 【答案】(1)4；(2)2；(3)4.
在正方体内，判
断两条直线的位置关系，通过对图形的观察，熟练掌握位置关系描述和判断的方法.
通过找线面垂直，完成距离的求解.
【素材积累】
1、一个房产经纪人死后和上帝的对话一个房产经纪人死后，和上帝喝茶。

上帝认为他太能说了，会打扰天堂的幽静，于是旧把他打入了地狱。

刚过了一个星期，阎王旧满头大汗找上门来说：上帝呀，赶紧把他弄走吧!上帝问：怎么回事?
阎王说：地狱的小。

2、机会往往伪装成困难美国名校芝加哥大学的一位教授到访北大时曾提到：芝加哥大学对学生的基本要求是做困难的事。

因为一个人要想有所成旧，旧必须做那些困难的事。

只有做困难的事，才能推动社会发展进步。