高考数学复习：题组层级快练53试卷

题组层级快练(五十三)

1．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分不必要条件是() A．a⊥c，b⊥c B．α⊥β，a⊂α，b⊂β

C．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α

答案 C

解析对于C，在平面α内存在c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D中一定推出a∥b.

2．(2015·成都一诊)设α，β是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是()

A．若a∥α，b∥α，则a∥b

B．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β

C．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β

D．若a，b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b

答案 C

解析与同一平面平行的两条直线不一定平行，所以A错误；与两条平行直线分别平行的两个平面未必平行，所以B错误；如图(1)，设OA∥a，OB∥b，直线OA，OB确定的平面分别交α，β于AC，BC，则OA⊥AC，OB⊥BC，所以四边形OACB为矩形，∠ACB为二面角α－l－β的平面角，所以α⊥β，C正确；如图(2)，直线a，b在平面α内的射影分别为m，n，显然m⊥n，但a，b不垂直，所以D错误，故选C.

3.(2015·沧州七校联考)如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC.则下列结论不正确的是()

A．CD∥平面P AF

B．DF⊥平面P AF

C．CF∥平面P AB

D．CF⊥平面P AD

答案 D

解析A中，∵CD∥AF，AF⊂面P AF，CD⊄面P AF，∴CD∥平面P AF成立；B中，∵ABCDEF为正

六边形，∴DF ⊥AF .又∵P A ⊥面ABCDEF ，∴DF ⊥平面P AF 成立；C 中，CF ∥AB ，AB ⊂平面P AB ，CF ⊄平面P AB ，∴CF ∥平面P AB ；而D 中CF 与AD 不垂直，故选D.

4．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝ 2.将△ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中( )

A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直

B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直

C ．存在某个位置，使得直线A

D 与直线BC 垂直

D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直 答案 B

解析 对于AB ⊥CD ，因为BC ⊥CD ，可得CD ⊥平面ACB ，因此有CD ⊥AC .因为AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1，所以AC ＝1，所以存在某个位置，使得AB ⊥CD .

5.如图所示，在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论不成立的是( )

A ．BC ∥平面PDF

B ．DF ⊥平面P AE

C ．平面PDF ⊥平面P AE

D ．平面PD

E ⊥平面ABC 答案 D

解析 因为BC ∥DF ，所以BC ∥平面PDF ，A 成立；易证BC ⊥平面P AE ，BC ∥DF ，所以结论B ，C 均成立；点P 在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，不在中位线DE 上，故结论D 不成立．

6.如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD .将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )

A ．A ′C ⊥BD

B ．∠BA ′

C ＝90°

C ．CA ′与平面A ′B

D 所成的角为30° D ．四面体A ′－BCD 的体积为13

答案 B

解析 取BD 的中点O ，∵A ′B ＝A ′D ，∴A ′O ⊥BD ，又平面A ′BD ⊥平面BCD ，∴A ′O ⊥平面BCD .∵CD ⊥BD ，

∴OC 不垂直于BD ，假设A ′C ⊥BD ，∵OC 为A ′C 在平面BCD 内的射影，∴OC ⊥BD ，矛盾，∴A ′C 不垂直于BD .A 错误；∵CD ⊥BD ，平面A ′BD ⊥平面BCD ，∴CD ⊥平面A ′BD ，A ′C 在平面A ′BD 内的射影为A ′D ，∵A ′B ＝A ′D ＝1，BD ＝2，∴A ′B ⊥A ′D ，∴A ′B ⊥A ′C ，B 正确；∠CA ′D 为直线CA ′与平面A ′BD 所成的角，∠CA ′D ＝45°，C 错误；V A ′－BCD ＝13S △A ′BD ·CD ＝16，D 错误，故选

B.

7.如图所示，P A ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的正投影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC .

其中正确结论的序号是________． 答案 ①②③

解析 由题意知P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥BC . 又AC ⊥BC ，P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC .

∴BC ⊥AF .∵AF ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，∴AF ⊥平面PBC . ∴AF ⊥PB ，AF ⊥BC .又AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ， ∴PB ⊥平面AEF .∴PB ⊥EF .故①②③正确．

8.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 为矩形，△P AD 为等腰三角形，∠APD ＝90°，平面P AD ⊥平面ABCD ，且AB ＝1，AD ＝2，E ，F 分别为PC ，BD 的中点．

(1)证明：EF ∥平面P AD ； (2)证明：平面PDC ⊥平面P AD ； (3)求四棱锥P —ABCD 的体积． 答案 (1)略 (2)略 (3)2

3

解析 (1)如图所示，连接AC .