3.1典型输入信号 3.2 一阶系统的时间响应

这有如下好处：
（1）给定典型信号下的性能指标，数学处理简单，便于分析、综合系 统。 （2）典型输入的响应往往可以作为分析复杂输入时系统性能的基础。 （3）便于进行系统辨识，确定未知环节的传递函数。
第三章
控制系统的时域分析
常见的典型输入信号： 3.1.1 阶跃信号
a , t 0 x i (t ) 0 , t 0
单位斜坡信号表征的是匀加速变化的信号。 在分析系统的准确性，计算系统稳态误差时， 选用的典型输入信号是单位阶跃信号、单位斜坡 信号和单位加速度信号。
第三章
控制系统的时域分析
xi
a t0
3.1.4 脉冲信号
a lim xi (t ) t0 0 t0 0 0 t t0 t 0及t t0
RC电路、恒温箱、液位调节系统、室温调节系统是常见的一阶系统
dxo (t ) T xo (t ) xi (t ) dt
X o ( s) 1 G( s) X i ( s) Ts 1
第三章
控制系统的时域分析
3.2.2 一阶系统的单位阶跃响应 对于单位阶跃输入
xi (t ) 1(t )
-98%时，认为系统响应过程基本结束。从 而惯性环节的过渡过程时间为3T-4T。
第三章
xi (t ) t 1(t )
控制系统的时域分析
1 X i (s) 2 s
3.2.3 一阶系统的单位斜坡响应
1 1 1 T T X 0 (s) 2 2 1 Ts 1 s s s s T 1
t0 t 0
a=1时，称为单位斜坡信号。
拉氏变换为：
X i ( s)
a s
2
单位斜坡信号表征的是匀速变化的信号。
第三章
控制系统的时域分析
3.1.3 加速度信号
at 2 x i (t ) 0
t0 t0
当a=1/2时，称为单位加速度信号。 拉氏变换为：
X i ( s) 2a s3 1 2 1 L[ t ] 3 2 s
第三章
控制系统的时域分析
典型输入信号： 在分析瞬态响应时，往往选择典型输入信号。
一般，系统可能受到的外加作用有控制输入和扰动，扰 动通常是随机的，即使对控制输入，有时其函数形式也不可 能事先获得。在时间域进行分析时，为了比较不同系统的控 制性能，需要规定一些具有典型意义的输入信号建立分析比 较的基础。这些信号称为控制系统的典型输入信号。
第三章
控制系统的时域分析
一阶系统的单位阶跃响应曲线
第三章
控制系统的时域分析
一阶系统单位阶跃响应的特点 响应分为两部分 t T e 瞬态响应： 表示系统输出量从初态到终态的变化过程 （动态/过渡过程）
稳态响应：1
表示t时，系统的输出状态 xo(0) = 0，随时间的推移， xo(t) 指数增大， 且无振荡。 xo() = 1，无稳态误差；
t T
单位斜坡响应为：
误差为：
x o (t ) (t T Te
1 t T
) 1(t )
e(t ) xi (t ) xo (t ) T (1 e )
一阶系统跟踪单位斜 坡信号的稳态误差为：
ess lim e(t ) T
t
第三章
控制系统的时域分析
一阶系统单位斜坡响应的特点
在工程上，许多高阶系统常常具有近似一、二阶 系统的时间响应。因此，深入研究一、二阶系统的 性能指标，有着广泛的实际意义。
第三章
控制系统的时域分析
3.1 时域响应以及典型输入信号
时间响应： 系统在输入信号作用下，系统输出随时间变化 的过程。 瞬态响应： 系统在输入信号作用后，其输出量从初始状态到 稳定状态的响应过程，也称动态响应或过渡过程。 稳态响应： 系统在输入信号作用后，时间趋于无穷大时， 系统的输出状态,稳态也称静态。 瞬态响应反映系统的快速性和稳定性，稳态响 应反映系统的准确性。
第三章 控制系统的时域分析 控制系统的分析方法 :时域法、频域法、根轨迹法 时域分析法: 根据系统的微分方程，采用拉氏变换法直接解 出系统的时间响应，再根据时间响应的表达式和时 间响应曲线来分析系统的稳定性、准确性和快速性 等性能。 特点:直接、准确、易于接受，是经典控制理论中 进行系统性能分析的一种重要方法。
第三章
控制系统的时域分析
3.2.5线性定常系统时间响应的性质 系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量共同组 成，前者反映系统的稳态特性，后者反映系统的动 态特性。 输入信号决定响应的稳态分量，传递函数决定响应 的瞬态分量∆∆∆。 注意到： 一阶系统的典型输入响应特性与时间常数T密切相 关，时间常数T越小，单位阶跃响应的调节时间越 小，单位斜坡响应的稳态值滞后时间也越小,单位 脉冲响应的衰减越快。
于是
X i (s)
1 s
1 1 T X o ( s) s(Ts 1) s Ts 1
由拉氏反变换可以得到一阶系统的单位阶跃响应为
xo (t ) xs (t ) xt (t ) 1 e
响应分为两部分
t / T
(t 0)
e 瞬态响应：
t T
稳态响应：1
1 0.368 T
xo(t)
0
T
1 xo (t ) e T

t T
t
ห้องสมุดไป่ตู้
图3-10 一阶系统的单位脉冲响应曲线
第三章
控制系统的时域分析
一阶系统单位脉冲响应的特点 瞬态响应：(1/T )e – t /T ；稳态响应：0； xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减；
dxo (t ) 1 2 dt t 0 T
第三章
控制系统的时域分析
d [t.1(t )] dt
单位脉冲信号、单位阶跃信号以及单位速度信号 之间的关系为： d 对一阶系统：
xo (t ) xo1 (t ) 1 e T
t T
(t )
dt
[1(t )]
1(t )
t 1 e T t T
相互转换
xot (t ) t T Te
t


e(t ) xi (t ) xo (t ) T (1 e t T ) e() T
第三章
控制系统的时域分析
3.2.4 一阶系统的单位脉冲响应 xo(t) 1/T
斜率
1 T2
xi (t ) (t )
X i ( s) 1
1 1 T X 0 (s) Ts 1 s 1 T
采用典型输入信号的目的，是为了在一个统一的
标准下，比较分析各种不同控制系统的性能！！！

如何确定选取哪种典型信号作为试验信号？
不论选择何种典型输入信号，对同一系统而言， 其响应过程所表征的系统特性是一致的。 最常用的典型输入是阶跃信号。

第三章
控制系统的时域分析
3.2 一阶系统的瞬态响应

3.2.1一阶系统的数学模型
0 t0
t
脉冲信号的特点：脉冲高度为无穷大，持续时间无穷 小；脉冲面积为a；当脉冲面积为a＝1时，称为单位脉冲 信号，用 (t ) 来表示。 单位脉冲函数 (t ) 的拉氏变换等于1，系统传递函数 即为脉冲响应的象函数。 单位脉冲信号表征在极短的时间内给系统注入冲击能量， 通常用来模拟系统在实际工作时，突然遭受脉动电压、机械 碰撞、敲打冲击等作用。
第三章
控制系统的时域分析
3.1.5 正弦信号
a sin t , t 0 x i (t ) t 0 0 ,
拉氏变换为：
X i ( s)
a s
2 2
对系统进行频域分析时，选用正弦信号作为系 统的输入信号，分析系统的稳态响应。
第三章 注意：

控制系统的时域分析
线性系统的性能只由系统本身的结构及参量决定。
a=1时，称为单位阶跃信号，记为l(t) 。
a 拉氏变换为： X i ( s) s
单位阶跃信号表征系统输入信号的突变，通常 用来模拟电源突然接通、负载突然变化、指令突然转 换等，是评价系统瞬态响应性能时使用较多的一种典 型信号 。
第三章
控制系统的时域分析
3.1.2 斜坡信号
at xi (t ) 0
d xo1 (t ) dt d xo1 (t ) xot (t ) dt xo (t )
对于线性定常系统，某输入信号导数的响应等 于该输入信号响应的导数；输入信号积分的响应等 于该信号响应的积分，其积分常数由初始条件决定。
瞬态响应：T e – t /T ；稳态响应：t – T；
经过足够长的时间(稳态时，如t 4T)，输出增长速率 近似与输入相同，此时输出为： t – T，即输出相对于输入滞后时间T； 即：一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输出信 号的变化率完全相同。
系统响应误差为：
x i (t ) 1, xo t 1
第三章
控制系统的时域分析
xo(T) = 1 - e-1 = 0.632，即经过时间T， 系统响应达到其稳态输出值的63.2%，从而 可以通过实验测量惯性环节的时间常数T；
dxo (t ) 1 响应曲线在t=0处的切线斜率为1/T, dt t 0 T
时间常数T 反映了系统响应的快慢。通常工 程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%