流体力学第八章 粘性流体动力学基础

dt dy
dy
剪切变形速度与速度 梯度联系起来了
牛顿内摩擦定律暗示着切应力与剪切变形速 度成正比，比例系数为流体的粘性系数μ。
把牛顿内摩擦定律推广于下图一般的平面
剪切变形就有 也即
xy
yx
d
dt
(d1
dt
d2 )
dt
xy
yx
( vx
dy
vy dx
)
2
z
yz
zy
( vy
流体微团运动中存在角变形，线变形，即在流 体微团法线方向有线变形速度，它将使粘性流体中 的法向应力有所改变（与理想流体相比），产生附 加法向应力。
将牛顿内摩擦定律推广，假设附加法向应力 等于动力粘性系数与两倍线变形速度的乘积，得 法向应力的表达式：
px
p 2
vx x
p 2 x
py
p 2 vy
讨论 1.方程（8-12）的求解：
三个速度和压力，加上连续性方程，方程封 闭。但由于数学上的困难，只有少数特殊情况 下有解析解。
2.方程（8-12）为偏微分方程，求解时应给定边 界条件和初始条件。
3. 物面上为无滑移条件（切向速度为零） 与理想流体不同。
§８-２ 二元平板间粘性流体的流动 粘性不可压缩流体里流过间距为２Ｈ的两静 止无限大平行平板。 流动状态：定常层流，无剪切，有压力差驱动。 讨论问题：决定流体的速度分布和压力分布
ux V, uy 0
(d)
代入(ｃ)得 ： u 0
x
所以 V＝V(ｙ) （8--15）
流速仅为ｙ的函数，与ｘ无关，即沿ｘ轴
任何一横截面上，速度分布都相同。
将(ｄ)代入(ｂ)可得:
p 0 y
所以 p p(x) （8--16）
压力仅为ｘ的函数，与ｙ无关，即沿ｘ轴的 任何横截面上的压力分布是均匀的，但不同截面 上具有不同的压力。
( zx
zx
z
dz)dydx
Xdxdydz
dxdydzax
xz
xz
x
dx
xy
px
dz
xz
z
dx
xy
xy
x
dx
x
y
px
pxdydx x
稍加整理，消去ρdxdydz得ｘ方向的方程式，
DVx X 1 ( pxx yx zx )
Dt
x y z
同理可得ｙ方向和ｚ方向的方程式
DVx X 1 ( pxx yx zx )
du 1 p r 2
r dr x 2 c1
或
向应力的算术平均值恰好等于理想流体的压力。
将切向应力和法向应力关系式代入（8--5）式得
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
X
1
p x
2vx
3
x
(div
v)
vy t
vx
vy x
vy
vy y
vz
vy z
Y
1
p y
2vy
3
y
(div
v)
(8-11)
vz t
vx
vz x
vy
Dt
x
y
z
DVy Y 1 ( yx Pyy zy )
Dt
x
y
z
DVz Z 1 ( zx zy pzz )
Dt
x
y
z
单位质量流体的惯性力
单位质量流体的应力
单位质量流体的质量力
这就是应力形式的粘性流体运动微分方程
讨论
1.式（８-５）中未知函数:三个速度分量和六个 应力分量，加上连续性方程，只有四个方程，
2.若要求解，需补充方程。
3.应力与变形速度之间是否有某种关系？
流体力学中实验证明，流体微团上的应力与微团 的变形速度成正比。例如由最简单的牛顿平板剪流
dvx
dy
（８-６）
某瞬时一方形微团ABCD，经过时间dt后变为棱 形A’B’C’D’ ，微团的剪切变形速度为:
d duxdt / dt dux
xy
xz
p yy
yz
zx zy pzz
（8－1）
第一个下标：切应力所处于的坐标面
第二个下标：切应力的方向
九个应力分量中，六个切向应力两两相等
xy yx
yz
zy
xz
zx
（8－2）
证明：取单位厚度微团, 通过其形心并平行于 ｘ轴线的力矩平衡关系如下:
面力是二阶小量， 质量力是三阶小量
即
ux f (y)
(4)
(2)式化简为： g cos p
y
y h时，p pa
积分得 由(1)有
p g cos ( y h) pa g sin 1 p 2ux 0
x x2
所以
2ux 1 d ( p gH )
x2
dx
两次积分得
ux
1
2
d(p
gH )
dx
y2
c1 y
d ( p gz) 80 262.36 128.97(KPa)
dx
2
所以
u 128.97103 (0.01y y2) 1.5 y 566.5y 71.65103 y2
2 0.9
0.01
2）由τ＝－μｄｕ/ｄｙ可得切应力分布:
du 566.5 143.3103 y dy
509.85 128.97 103 y
y 0, du 0 dy
y H,u 0
ｘ轴上速度为最大值，即ｙ= 0，u = umax
所以
umax
1
2
dp dx
H2
（8-19）
将上式代入（８-１８）式可得
u
umax (1
y2 H2
)
（8--20）
速度分布为抛物线规律，这是层流的 重要特性。
讨论： 1.已经求得速度分布，如何求流量？ 2.平均速度如何求？ 3.最大速度与平均速度的关系如何？
流体力学第八章 粘性流体动力学基 础
§8-1 粘性流体的运动微分方程式（N——S方程）
与欧拉方程的推导类似，作用于流体微团上 的力有：质量力、压力，粘性切应力。
取一六面体流体微团 1. 流体微团上受力:
表面力： 法向应力 切向应力
质量力：F Xi Yj Zk
dz z
dx dy
y x
zx
zx
本问题是N-S 方 程的精确解之一
在上述条件下，流动将是二元的，质量力可略 去不计，Ｎ－Ｓ方程和连续方程可简化为：
vx
vx x
vy
vx y
1
p x
(
2vx x2
2vx y 2
)
(a)
vx
vx x
vy
vx y
1
p y
(
2vy x2
2vy y 2
)
(b)
vx
vy
0
(c)
x y
只要积分上述方程便可求得速度分布
例8－2 无限长水平圆管定常层流
z
y
r0
u(r)
x
zr
y
连续方程 u v w 0, u 0, u u(r)
x y z
x
轴对称流动 0
动量方程 u u u v u w u 1 p 2u
t x y z x
动量方程
积分
1 p 2u 1 d (r du )
x
r dr dr
c2
积分常数由如下边界条件确定
y 0，ux 0，y h，ux U
ux
1
2
d ( p gH )
dx
(hy
y2 ) Uy h
这是x轴平行平板向下的速度表达式，如果向上， 则与教材一致。
( p gz)2 250103 1260 9.81 262.36kpa ( p gz)1 80kpa
粘性系数和密度分别为:
p2 80KN / m2
0.9pa s 1260kg / m3
试确定：
1）速度和切应力分布； 2）最大流速； 3）上板上的切应力
解： 1） 两平板间液体在压差和剪切联合作用下流动，速 度方向与压差方向相反。平板间流动的速度分布 为(x轴平行下板向上）：
u 1 d ( p gz) (hy y2 ) Uy
vz y
vz
vz z
Z
1
p z
2vz
3
z
(div
v)
这就是N——S方程
对于不可压缩流体，上式最后一项为零。
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
X
1
p x
(
2vx x2
2vx y2
2vx z 2
)
vy t
vx
vy x
vy
vy y
vz
vy z
Y
1
p y
(
2vy x2
2vy y2
2vy z2
)
（8--12）
vz t
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z
Z
1
p z
(
2vz x2
2vz y2
2vz z 2
)
Ｎ－Ｓ方程的矢量形式：
可压缩 v (v )v F 1 p 2v ( v) （8-13）
t
3
不可压缩 v (v )v F 1 p 2v
t
（8-14）
z
pz dz
pz dz
z
zy
zy
z
dz
px
z
py
xy
yx
dz
xz
xz
x
dx
yz
dx
xy
xy
x
dx
yz
yz
y
dy
xz
yx
yx
y
dy
py
p y y
dy
pdxy
px x
dx
zx
zy
pz
x
y
下标1、2 ：分别为切应力的位置和切应力的方向
构成点的应力张量，共有九个分量：
pyxxx
dz
vz ) dy
2
x
xz
来自百度文库
zx
( vz
dx
vx ) dz
2 y
（8—7）
y B
d1
A
C’
B’ C
D’
d2
Dx
这就建立了切应力与速度之间的关系，即补 充了三个方程。 法向应力与线变形速度之关系:
对于理想流体，在同一点各方向的法向应力 （即压力）是相等的，即ｐｘ= ｐy = ｐz = －ｐ
将（ｄ）式代入（ａ）式，经移项后可得
d 2u dy 2
1
dp dx
(e)
考虑到（8-13）和（8-14）将偏微分改为常微分
上式左边为ｙ的函数，右边为ｘ的函数，因此
dp C dx
（ｅ）式的积分结果为：
（8--17）
u 1 dp (H 2 y2 )
2 dx
（８--１８）
积分应用了物面边界条件：
同理可以证明另外两式成立，即
xz zx yx xy
应力张量中只有六个分量是独立的。
pyxxx
xy
xz
p yy
yz
zx zy pzz
（8－1）
2. N-S方程的推导
ｘ方向的平衡方程：
pxdydz
(
px
px x
dx)dydz
yx dzdx
(
yx
yx
y
dy)dzdx
zxdydx
x y z
x
动量方程
u t
u
u x
v
u y
w
u z
1
p x
2u ( x 2
2u y 2
2u z2 )
动量方程
u t
u
u x
v
u y
w
u z
1
p x
2u ( x 2
2u y2
2u z 2
)
简化为
2u y 2
1
p x
const.
积分
u( y)
1
2
p x
y2
c1 y c2
y h
u
0
1
2
p x
h2
c1h c2
2）当
du dy
0
时速度最大，即
566.5 y
143.3103
y
0
解得 y 3.95103
所以
umax 566.5 3.95103 71.65103 (3.95103)2 1.12m / s
上板的切应力（ｙ＝ｈ＝0.01ｍ）
h
du
dy
yh 509.85 128.97103 0.01 780Pa
对形心取矩，忽略了 质量力引起的力矩：
力矩方程为：
pz
pz z
dz
zy
zy
z
dz
z
py
yz
形心 dx
dy
zy
pz
yz
yz
y
dy
py
p y y
dy
y
yzdz
dy 2
( yz
yz
y
dy)dz
dy 2
zydy
dz 2
( zy
zy
z
dz)dy
dz 2
0
略去高阶小量后得： yz zy
4.由我们已经学到得流体力学知识，如何测量管内 层流流动时横界面上最大速度？
5.实际问题中测得管内最大速度后有何实际义？
6. 由于流体有黏性，就有损失，管内流动损失 表现为哪个流动参量的下降？
N-S方程的精确解之二
无限大平行平板，剪切流动，压力差驱动，定常层流
y
U
2h
u
x
vw0
U 0
不可压连方
u v w 0, u 0, u u( y)
yh
u
U
1
2
p x
h2
c1h c2
y
U
得
c1 U / 2h
c2
U
/2
1
2
p x
h2
2h
ux
U 0
u( y) U ( y h) 1 p h2 y2
2h
2 x
剪切流动 + 压差流动
+
h
(
u y
)
y
h
(U
2h
1
p x
h)
h
(
u y
)
y
h
(U 2h
1
p x
h)
下板表面切应力 上板表面切应力
y
p
2
y
pz
p 2 vz
z
p 2 z
(８--８）
可见，在粘性流体中同一点任意三个互相垂直的 法向应力是不相等的，它们的总和为：
px
py
pz
3 p
2 ( vx
x
vy y
vz z
)
（８--９）
问题：上式括号内表示什么？
对于不可压缩流体，故有：
p
1 3
(
px
py
pz
)
(8-10)
即对于粘性不可压缩流体，三个互相垂直的法
2
dx
h
速度分布由如下办法求得：
粘性剪切，压差，重力作用下, 定常二元NS方程简化为：
vx
vx x
vy
vx y
X
1
p x
(
2vx x2
2vx y 2
)
(1)
vx
vx x
vy
vx y
Y
1
p (2vx
y
x2
2vy ) y 2
(2)
vx
vy
0
(3)
x y
连续性方程化简为：
ux 0 x
思考问题
u(y) ?
y 2h
U1
ux
U2
两板之间的流量，平均速度，能量损失如何 计算？
I believe all of you can do it very well.
例8-1 两平行平板相距h＝10mm，上板相对下板 以U＝1.5ｍ/s的速度向上运动，垂直距离为１m
的流层两点压力分别为:
p1 250KN / m2