比例线段1课件
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《比例线段》课件
在建筑设计中的应用
在建筑设计中，比例线段的应用同样 不可忽视。建筑师需要利用比例来协 调各个部分之间的关系，以创造和谐 、平衡的建筑外观。
例如，在建筑设计图中，建筑师会使 用比例尺来表示实际建筑与设计图纸 之间的比例关系，以确保施工过程中 的准确性。
在地图绘制中的应用
在地图绘制中，比例线段的应用至关重要。地图上的比例尺可以帮助我们了解地 图上的距离与实际距离之间的比例关系。
比例线段的等比性
总结词
比例线段的等比性是指两条线段的长度比值是常数，与线段所在的位置无关。
详细描述
如果两条线段AB和CD的长度比值是常数k，即$frac{AB}{CD} = k$，那么无论这 两条线段在平面上的位置如何变化，它们的长度比值始终保持为k。这个性质在 解决几何问题时非常有用。
比例线段的传递性
02 比例线段的性质
CHAPTER
比例线段的相似性
总结词
比例线段的相似性是指两条线段在长度上成比例，且夹角相 等。
详细描述
如果两条线段AB和CD在长度上成比例，即$frac{AB}{CD} = k$（k为常数），并且它们之间的夹角相等，那么这两条线段 被称为相似的。相似线段在几何学中具有很多重要的性质和 应用。
利用代数方法计算
总结词
利用代数方法，通过建立方程式来求解比例线段问题。
详细描述
代数方法是解决比例线段问题的另一种常用方法。通过建立方程式来表示比例线段的关 系，我们可以求解未知的线段长度。这种方法适用于解决一些涉及比例线段的代数问题
。
05 练习与思考
CHAPTER
基础练习题
基础题目1
已知线段a=10cm，b=5cm， c=2.5cm，d=5cm，判断线段a 、b、c、d是否成比例。
4.1比例线段1
【变式】已知点(a，1)，（a+2，a）在同一 个正比例函数的图象上，求：
（1）a的值； （2）这个正比例函数的解析式。
谢谢
bd f h b
成立吗？
若 a c m(其中 b d n 0 )
bd
n
ac
仍有
ma 吗？
bd n b
【例5】已知： bccaabk
ab c
，当 abc0时，求k的值。
若去掉限制条件呢？
课堂练习4
如果 a b ca b c a b c k
c
b
a
成立，那么k的值为（ ）
A．1
B．—2
例2 求比例式中x的值： x:(x+1)=(1-x):3
课堂练习1
1、《课堂冲浪》P.49——夯实基础：#2,#3 2、《课堂冲浪》P.49——夯实基础：#1,#4
3、《课堂冲浪》P.49——拓展提升：#1
【例3】已知 a c ，判断下列
bd
比例式是否成立，并说明理由。
(1 )abcd (2 )aac
4.1比例线段1
为什么翩翩起舞 的芭蕾舞演员要掂 起脚? 为什么身材 苗条的时装模特还 要穿高跟鞋?为什么 她们会给人感到和 谐、平衡、舒适、 美的感觉?
“黄金分割”
怎样利用相似三角形的有关知 识测量旗杆的高度?
4.1 比例线段(1)
——比例的基本性质
比？ 比例？ 成比例？
知识琏接1—— 什么叫比？
bd
b bd
课堂练习2
1、《课堂冲浪》P.49—— 例题，夯实 基础：#5,#6
2、《课堂冲浪》P.49——拓展提升： #2,3,4，中考琏接
课堂练习3
已知 a 3 。求下列算式的值 b2
（1）a的值； （2）这个正比例函数的解析式。
谢谢
bd f h b
成立吗？
若 a c m(其中 b d n 0 )
bd
n
ac
仍有
ma 吗？
bd n b
【例5】已知： bccaabk
ab c
，当 abc0时，求k的值。
若去掉限制条件呢？
课堂练习4
如果 a b ca b c a b c k
c
b
a
成立，那么k的值为（ ）
A．1
B．—2
例2 求比例式中x的值： x:(x+1)=(1-x):3
课堂练习1
1、《课堂冲浪》P.49——夯实基础：#2,#3 2、《课堂冲浪》P.49——夯实基础：#1,#4
3、《课堂冲浪》P.49——拓展提升：#1
【例3】已知 a c ，判断下列
bd
比例式是否成立，并说明理由。
(1 )abcd (2 )aac
4.1比例线段1
为什么翩翩起舞 的芭蕾舞演员要掂 起脚? 为什么身材 苗条的时装模特还 要穿高跟鞋?为什么 她们会给人感到和 谐、平衡、舒适、 美的感觉?
“黄金分割”
怎样利用相似三角形的有关知 识测量旗杆的高度?
4.1 比例线段(1)
——比例的基本性质
比？ 比例？ 成比例？
知识琏接1—— 什么叫比？
bd
b bd
课堂练习2
1、《课堂冲浪》P.49—— 例题，夯实 基础：#5,#6
2、《课堂冲浪》P.49——拓展提升： #2,3,4，中考琏接
课堂练习3
已知 a 3 。求下列算式的值 b2
4.1.2 比例线段 课件(共27张PPT)2023-2024学年浙教版九年级上册数学
=
.
，
要点提醒
(1)求两条线段的比必须选定同一长度单位，但比值与
单位的大小无关.
(2)两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总
是正数.
由右图我们还可以看到，线段OC与OC′
的比和线段AB与A′B′的比相等，也就是
′
=
.
′
′
一般地，四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，
第4章
4.1
相似三角形
比例线段
第2课时 比例线段
1
学习目标
2
课时导入
3
感悟新知
4
随堂检测
5
课堂小结
了解两条线段的比和成比例线段的概念.
会计算两条线段的比，并会判断四条线段是否成比例.
了解比例尺的概念，并能解决相关的实际问题.
重要提示：1.用方程思想寻找几何图形中四条线段成比例是常
用方法.
2.四条线段成比例可以解决一些实际问题，如地图上的某两
设实际距离为s，则
=
台北 基隆
，
∴s=35×9000000=315000000(mm)，
即s=315(km).
量得图中∠a=28°.
答：基隆市在高雄市的北偏东28°方向，
到高雄市的实际距离约为315 km.
北
台中
α
台南
高雄
比例尺 1∶9000000
练2 现在有一棵很高的古树，欲测出它的高度，但又不
长度之比.
(3)判：若这两个比值相等，则这四条线段是成比例线段；
若这两个比值不相等，则这四条线段不是成比例线段.
比例线段课件
在画比例线段之前，需要确定合适的 比例尺，以确保图纸上的线段能够准 确反映实际物体的尺寸和比例。
确定起点和终点
起点和终点是线段的两个端点，它们的位置决定了线段的方 向和长度。
在画比例线段时，需要先确定起点和终点的位置，以便于后 续的绘制工作。
使用工具进行绘制
使用工具进行绘制是画比例线段的关键步骤之一，合适的工具可以提高绘制的效 率和精度。
有AE:CF = AB:CD。
证明
由于AB = CD，根据等长线段的 性质，我们有AE = CF。因此，
AE:CF = AB:CD。
相似图形中的比例定理
1 2
总结词
相似图形中的比例定理是指，如果两个图形相似 ，则它们的对应边之间的长度之比是常数。
详细描述
设三角形ABC与三角形DEF相似，那么有AB:DE = AC:DF = BC:EF。
比例线段的性质
比例线段具有传递性
如果线段A、B、C满足比例关系A:B=B:C，那么线段A、B、 C也满足比例关系A:C=A:B*B:C。
比例线段具有交叉对应性
如果线段A、B、C满足比例关系A:B=C:D，那么线段A、B、 C、D可以按照一定的顺序交叉对应。
比例线段的分类
等比线段
线段长度相等，即A=B=C。
摄影构图
在摄影中，摄影师使用比 例线段来构图，以突出主 题并增强视觉效果。
在数学中的应用
几何学
比例线段是几何学中的基 本概念，用于描述线段之 间的长度关系。
代数方程
在代数方程中，比例线段 可以用于解决与用于表示函数的增减性和 变化率。
在工程中的应用
3
证明
由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三 角形的性质，我们有AB/DE = AC/DF = BC/EF 。因此，AB:DE = AC:DF = BC:EF。
确定起点和终点
起点和终点是线段的两个端点，它们的位置决定了线段的方 向和长度。
在画比例线段时，需要先确定起点和终点的位置，以便于后 续的绘制工作。
使用工具进行绘制
使用工具进行绘制是画比例线段的关键步骤之一，合适的工具可以提高绘制的效 率和精度。
有AE:CF = AB:CD。
证明
由于AB = CD，根据等长线段的 性质，我们有AE = CF。因此，
AE:CF = AB:CD。
相似图形中的比例定理
1 2
总结词
相似图形中的比例定理是指，如果两个图形相似 ，则它们的对应边之间的长度之比是常数。
详细描述
设三角形ABC与三角形DEF相似，那么有AB:DE = AC:DF = BC:EF。
比例线段的性质
比例线段具有传递性
如果线段A、B、C满足比例关系A:B=B:C，那么线段A、B、 C也满足比例关系A:C=A:B*B:C。
比例线段具有交叉对应性
如果线段A、B、C满足比例关系A:B=C:D，那么线段A、B、 C、D可以按照一定的顺序交叉对应。
比例线段的分类
等比线段
线段长度相等，即A=B=C。
摄影构图
在摄影中，摄影师使用比 例线段来构图，以突出主 题并增强视觉效果。
在数学中的应用
几何学
比例线段是几何学中的基 本概念，用于描述线段之 间的长度关系。
代数方程
在代数方程中，比例线段 可以用于解决与用于表示函数的增减性和 变化率。
在工程中的应用
3
证明
由于三角形ABC与三角形DEF相似，根据相似三 角形的性质，我们有AB/DE = AC/DF = BC/EF 。因此，AB:DE = AC:DF = BC:EF。
《比例线段》PPT课件
节水量 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5
/m3 家庭数/
2 4 671 个
23．4 用样本估计总体
3．(4分)(2013·新疆)某校九年级420名学生参加植树活动，随机调 查了50名学生植树的数量，并根据数据绘制了如下条形统计图，请估 计该校九年级学生此次植树活动约植树_1_6_8_0____棵．
若a－a b＝35，则ba＝___52_____．
8．(4 分)美是一种感觉，当人体下半身与身高的比值越接近
0.618 时，越给人一种美感，如图，某女士身高 165 cm，下半身长 x
与身高 l 的比值是 0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的
高度大约为( C )
A．4 cm
B．6 cm
23．4 用样本估计总体
(2)从优等品数量的角度看， 因A技术种植的西瓜优等品数量较多，所以A技术较好； 从平均数的角度看， 因A技术种植的西瓜质量的平均质量更接近5 kg，所以A技术较好； 从方差的角度看， 因B技术种植的西瓜质量的方差更小，所以B技术种植的西瓜质量更为 稳定； 从市场销售角度看， 因优等品更畅销，A技术种植的西瓜优等品数量较多，且平均质量更接 近5 kg，因而更适合推广A种技术
污染指数(w) 天数(天)
40 60 80 100 120 3 5 10 6 5
23．4 用样本估计总体
11．(16分)(2013·云南)近年来，中学生的身体素质普遍下降，某 校为了提高本校学生的身体素质，落实教育部门“在校学生每天体 育锻炼时间不少于1小时”的文件精神，对部分学生的每天体育锻炼 时间进行了调查统计．以下是本次调查结果的统计表和统计图：
23．4 用样本估计总体
10．(8分)为了估计某市空气质量情况，某同学在30天里 做了如下记录：
/m3 家庭数/
2 4 671 个
23．4 用样本估计总体
3．(4分)(2013·新疆)某校九年级420名学生参加植树活动，随机调 查了50名学生植树的数量，并根据数据绘制了如下条形统计图，请估 计该校九年级学生此次植树活动约植树_1_6_8_0____棵．
若a－a b＝35，则ba＝___52_____．
8．(4 分)美是一种感觉，当人体下半身与身高的比值越接近
0.618 时，越给人一种美感，如图，某女士身高 165 cm，下半身长 x
与身高 l 的比值是 0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的
高度大约为( C )
A．4 cm
B．6 cm
23．4 用样本估计总体
(2)从优等品数量的角度看， 因A技术种植的西瓜优等品数量较多，所以A技术较好； 从平均数的角度看， 因A技术种植的西瓜质量的平均质量更接近5 kg，所以A技术较好； 从方差的角度看， 因B技术种植的西瓜质量的方差更小，所以B技术种植的西瓜质量更为 稳定； 从市场销售角度看， 因优等品更畅销，A技术种植的西瓜优等品数量较多，且平均质量更接 近5 kg，因而更适合推广A种技术
污染指数(w) 天数(天)
40 60 80 100 120 3 5 10 6 5
23．4 用样本估计总体
11．(16分)(2013·云南)近年来，中学生的身体素质普遍下降，某 校为了提高本校学生的身体素质，落实教育部门“在校学生每天体 育锻炼时间不少于1小时”的文件精神，对部分学生的每天体育锻炼 时间进行了调查统计．以下是本次调查结果的统计表和统计图：
23．4 用样本估计总体
10．(8分)为了估计某市空气质量情况，某同学在30天里 做了如下记录：
新浙教版九年级数学上册《比例线段》课件1
m
底部的距离大约是多
少米(精确到0.1m)?
?
468×0.618≈289.2m
A
B
你们知道如何确定线段AB的黄金 分割点所在的位置吗？
例５:
已知线段ＡＢ＝a,用直尺和圆规作出 它的黄金分割点
a
Ａ
Ｂ
小结 拓展
悟出一个新自己
❖ 什么是黄金分割. ❖ 如何去确定黄金分割点或黄金比. ❖ 将所学知识网络化. ❖ 要用数学美去装点和美化生活. ❖ 与同伴谈谈你对黄金分割的收获与体
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
数学美的魅力 1
古希腊巴特农神庙
古埃及胡夫金字塔
古希腊的一些神庙，在建筑时高 和宽也是按黄金比0.618来建立， 他们认为这样的长方形看来是较 美观；其大理石柱廓，就是根据 黄金分割律分割整个神庙的.
文明古国埃及的金字塔，形似方锥， 大小各异。但这些金字塔底面的边 长与高这比都接近于0.618.
观察 欣赏
会.
1: 2也是一个很.已 有知 趣线 A的 B 如 段 比 图 ,用 直尺和圆A规 B 上求 的作 一 P,使 点 AP:AB1: 2
a
Ａ
Ｂ
1.作顶角为36°的等腰△ABC;量出
尝试
底BC与腰AB的长度,计算: B C 0.;618
AB
2.作∠B的平分线,交AC于点D,量出CD的长度,
再计算: C D 0..(6精1确8 到0.001)
bc
叫a,c的比例中项 abb2 ac
做 一 做:
bc
(1)判 断1是 否 是11和2的 比 例 中?项如 果 是,请 写 出 相 应 的 比.例 23
2求 线 段a,b的 比 例 中:项
比例线段(1)(1).ppt
A
B
D
C
5,如图,AD=2,AB=5,且
求AC.
A
AE EC
AD DB
D
E
B
C
探究活动
在平面直角坐标系中,过点(a,b)和原点的直线 是一个怎样的正比例函数的图象?如果a,b,c,d 四个数成比例,你认为点(a,b),点(c,d)和原点在 同一条直线上吗?
课堂小结:
比例有如下性质: a c ad bc (a,b,c,d均不为零) bd
MBSZ GAOSHUGAO
已知四个数a、b、c、d ，
如果
a b
=
c d
，
或
a：b=c：d，
那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项，
a、d 叫做比例外项，
b、c 叫做比例内项，
做一做
1,请指出下列比例式的比例内项和比例外项, 并比较它们的积.
(1) 0.3 0.6 (2) 2 1
2
4
6
3
2,利用等式性质,你能从 ad=bc 吗?反过来呢?
a b
c d
推导出
比例有如下性质: a c ad bc (a,b,c,d均不为零) bd
试一试
1,根据下列条件,求a:b的值.
(1)2a 3b(2) a b
2立,已,并知说ba明理由dc
54 判断下列比例式是否成
(1) a b c d (2) a a c
b
d
b bd
比例式变形的常用方法:
利用等式性质
设比值
练习:
1,求下列比例式中的 x.
(1)4 : 3 5 : x(2) x x 1
32
2,已知
a3 求 b4
a b的值 b
B
D
C
5,如图,AD=2,AB=5,且
求AC.
A
AE EC
AD DB
D
E
B
C
探究活动
在平面直角坐标系中,过点(a,b)和原点的直线 是一个怎样的正比例函数的图象?如果a,b,c,d 四个数成比例,你认为点(a,b),点(c,d)和原点在 同一条直线上吗?
课堂小结:
比例有如下性质: a c ad bc (a,b,c,d均不为零) bd
MBSZ GAOSHUGAO
已知四个数a、b、c、d ，
如果
a b
=
c d
，
或
a：b=c：d，
那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项，
a、d 叫做比例外项，
b、c 叫做比例内项，
做一做
1,请指出下列比例式的比例内项和比例外项, 并比较它们的积.
(1) 0.3 0.6 (2) 2 1
2
4
6
3
2,利用等式性质,你能从 ad=bc 吗?反过来呢?
a b
c d
推导出
比例有如下性质: a c ad bc (a,b,c,d均不为零) bd
试一试
1,根据下列条件,求a:b的值.
(1)2a 3b(2) a b
2立,已,并知说ba明理由dc
54 判断下列比例式是否成
(1) a b c d (2) a a c
b
d
b bd
比例式变形的常用方法:
利用等式性质
设比值
练习:
1,求下列比例式中的 x.
(1)4 : 3 5 : x(2) x x 1
32
2,已知
a3 求 b4
a b的值 b
比例线段课件
应用
比例尺常用于建筑、机械制图等领域，可以帮助设计师将实际尺寸转化为图纸上的尺寸，方便 设计和加工。同时，比例尺也可以用于检测和比较图纸上不同部分之间的比例关系。
02
比例线段的计算方法
利用比例的基本性质进行计算
总结词
利用比例的基本性质，可以将一个线段与另一个线段的比例 转化为一个易于计算的数值比例，从而快速求解未知量。
实例三：地图的绘制
总结词
地图绘制中，比例线段对于准确地表示不同 地区和对象的位置和大小非常重要。
详细描述
在地图绘制中，比例线段被用于准确地表示 不同地区和对象的位置和大小。地图制作者 通常会使用比例尺来测量和比较不同地区的 大小，以确保地图的准确性和一致性。此外 ，通过使用比例线段，地图制作者可以突出 显示关键位置和特征，以便读者更容易识别 和了解地图信息。
在建筑测量中的应用
01
建筑测量的比例尺
在建筑测量中，比例尺通常用来表示图纸上的长度与实际长度的比值。
02 03
建筑测量的比例尺分类
建筑测量的比例尺可分为水平比例尺和垂直比例尺。水平比例尺表示图 纸上长度与实际长度的比值；垂直比例尺表示图纸上高度与实际高度的 比值。
比例尺在建筑测量中的应用
在建筑测量中，比例尺的应用可以帮助工程师更好地了解建筑物的尺寸 和结构பைடு நூலகம்点，从而更好地进行设计和施工操作。
详细描述
相似三角形的对应边的比值相等，因此可以利用相似三角形的性质将一个三角形的边长转化为另一个 三角形的边长。例如，已知一个三角形ABC与另一个三角形DEF相似，且AB=9cm，AC=12cm， DE=3cm，求BC的长度。根据相似三角形的性质，可以得到BC的长度为4cm。
03
比例线段的应用
比例尺常用于建筑、机械制图等领域，可以帮助设计师将实际尺寸转化为图纸上的尺寸，方便 设计和加工。同时，比例尺也可以用于检测和比较图纸上不同部分之间的比例关系。
02
比例线段的计算方法
利用比例的基本性质进行计算
总结词
利用比例的基本性质，可以将一个线段与另一个线段的比例 转化为一个易于计算的数值比例，从而快速求解未知量。
实例三：地图的绘制
总结词
地图绘制中，比例线段对于准确地表示不同 地区和对象的位置和大小非常重要。
详细描述
在地图绘制中，比例线段被用于准确地表示 不同地区和对象的位置和大小。地图制作者 通常会使用比例尺来测量和比较不同地区的 大小，以确保地图的准确性和一致性。此外 ，通过使用比例线段，地图制作者可以突出 显示关键位置和特征，以便读者更容易识别 和了解地图信息。
在建筑测量中的应用
01
建筑测量的比例尺
在建筑测量中，比例尺通常用来表示图纸上的长度与实际长度的比值。
02 03
建筑测量的比例尺分类
建筑测量的比例尺可分为水平比例尺和垂直比例尺。水平比例尺表示图 纸上长度与实际长度的比值；垂直比例尺表示图纸上高度与实际高度的 比值。
比例尺在建筑测量中的应用
在建筑测量中，比例尺的应用可以帮助工程师更好地了解建筑物的尺寸 和结构பைடு நூலகம்点，从而更好地进行设计和施工操作。
详细描述
相似三角形的对应边的比值相等，因此可以利用相似三角形的性质将一个三角形的边长转化为另一个 三角形的边长。例如，已知一个三角形ABC与另一个三角形DEF相似，且AB=9cm，AC=12cm， DE=3cm，求BC的长度。根据相似三角形的性质，可以得到BC的长度为4cm。
03
比例线段的应用
比例线段第1课时相似多边形与比例线段 沪科版数学九年级上册教学课件
A
D
D1
B
C
B1
C1
定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边
形叫做相似多边形.相似多边形的对应边的比叫 作相似比.
课程讲授
2 相似多边形及其性质
A1
A
D
D1
B
C
B1
C1
根据相似多边形的定义我们可以知道：(相似多边形的性质)
相似多边形的对应角__相__等__，对应边_成__比__例__.
∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1，
课程讲授
1 成比例线段
问题1：测量下图中四条线段的长度，试着发现它们之 间的规律。
a4 d3
b6 c2
我们发现： a=c bd
课程讲授
1 成比例线段
a4 d3
b6 c2
定义：对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比（即
它们长度的比）与另外两条线段的比相等.如 a = c（即
ad=bc），我们就说这四条线段成比例.
第22章 相似形
22.1 比例线段
第1课时 相似多边形与比例线段
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.成比例线段 2.相似多边形及其性质
新知导入
试一试：根据下列要求，在下图中画出图形并比较。
A
B
CD
A1
B1
C1
D1
（1）连接点AB，A1B1，CD和C1D1；
（2）比较AB：CD和A1B1：C1D1； AB：CD = A1B1：C1D1
练一练：两个相似多边形一组对应边分别为3 cm,4.5 cm
，那么它们的相似比为A( )
A. 2
3
初中数学课件《比例线段
初中数学课件《比 例线段》
目录
• 比例线段的定义与性质 • 比例线段的判定与性质定理 • 比例线段与相似三角形的关系 • 比例线段的综合应用
01
比例线段的定义与性 质
比例线段的定义
比例线段的定义
如果四条线段a, b, c, d满足a/b=c/d ，则称这四条线段为比例线段。
比例线段的表示方法
比例线段的性质
相似三角形性质
在三角形中，如果两个角 相等，则对应的边成比例 ，即形成比例线段。
比例线段在生活中的应用
地图绘制
在地图上，不同地区的尺寸是通 过比例尺来表示的，而比例尺就
是应用了比例线段的原理。
建筑设计
在建筑设计中，常常需要使用比 例线段来设计建筑物的各个部分
，以确保整体的美观和协调。
摄影构图
在摄影中，摄影师常常使用比例 线段来构图，以使照片更加美观 和平衡。例如，黄金分割就是一 种常见的构图方法，它利用了比
在相似三角形中，对 应边之间的比例关系 即为比例线段。
相似三角形在实际问题中的应用
01
02
03
04
测量
利用相似三角形的性质，可以 测量无法直接到达的物体的高
度或距离。
建筑设计
在建筑设计过程中，可以利用 相似三角形来计算建筑物的尺
寸和比例。
物理学
在物理学中，可以利用相似三 角形来研究光学、力学等问题
。
工程学
在工程学中，可以利用相似三 角形来研究机械运动、流体动
力学等问题。
04
比例线段的综合应用
比例线段在几何图形中的应用
相似三角形
比例线段是判断三角形相似的重要依据，通过比较对应边长比例，可以判断两 个三角形是否相似。
目录
• 比例线段的定义与性质 • 比例线段的判定与性质定理 • 比例线段与相似三角形的关系 • 比例线段的综合应用
01
比例线段的定义与性 质
比例线段的定义
比例线段的定义
如果四条线段a, b, c, d满足a/b=c/d ，则称这四条线段为比例线段。
比例线段的表示方法
比例线段的性质
相似三角形性质
在三角形中，如果两个角 相等，则对应的边成比例 ，即形成比例线段。
比例线段在生活中的应用
地图绘制
在地图上，不同地区的尺寸是通 过比例尺来表示的，而比例尺就
是应用了比例线段的原理。
建筑设计
在建筑设计中，常常需要使用比 例线段来设计建筑物的各个部分
，以确保整体的美观和协调。
摄影构图
在摄影中，摄影师常常使用比例 线段来构图，以使照片更加美观 和平衡。例如，黄金分割就是一 种常见的构图方法，它利用了比
在相似三角形中，对 应边之间的比例关系 即为比例线段。
相似三角形在实际问题中的应用
01
02
03
04
测量
利用相似三角形的性质，可以 测量无法直接到达的物体的高
度或距离。
建筑设计
在建筑设计过程中，可以利用 相似三角形来计算建筑物的尺
寸和比例。
物理学
在物理学中，可以利用相似三 角形来研究光学、力学等问题
。
工程学
在工程学中，可以利用相似三 角形来研究机械运动、流体动
力学等问题。
04
比例线段的综合应用
比例线段在几何图形中的应用
相似三角形
比例线段是判断三角形相似的重要依据，通过比较对应边长比例，可以判断两 个三角形是否相似。
1比例线段PPT课件(北京课改版)
9︰12 = 3︰4 6︰8 = 3︰4
9︰12 = 6︰8 已知:a=-2，b=6，c=3，d=-9，
求a：b和c：d
结论：a：b=c：d或
ac bd
在四条线段 a、b、c、d 中，如果 a 和 b 的比等于 c 和 d 的比，那么这四条线段a、 b、c、d 叫做成比例线段， 简称比例线段.
例1. 线段m=1cm，n=2cm，p=3cm，q=6cm，请判 断这四条线段成比例吗？并说明理由.
解：线段m，n，p，q成比例.理由如下
m 1 ，p 3 1 . n 2q 6 2 m p. nq
所以线段m，n，p，q成比例.
比例的基本性质：
比例的两个外项之积等于两个内项之积
ac bd
ad=bc (a，b，c，d都不为零)
b
d
(2) a a c b bd
练一练：已知
a1 b2
求 (1) a b (2) a b
b
b
(3) 2a b a 2b
的值
拓展
1.已知
ac e 2 bd f 5
，求
2a 3c 4e 2b 3d 4 f
2.已知x:y:z=4:5:7，求 2x 3 y z ， x y
5z
y z
比例式变形的常用方法: 利用等式性质
设比值
解：还可以得到 AB AC ，AD AE ，... DB EC AB AC
其中 AB AC 成立的理由如下：
DB EC
D
AD AE ， AD DB AE EC .
DB EC
DB
EC
A E
即 AB AC DB ECB NhomakorabeaC
已知 a c ，判断下列比例式是否成立，并说明 理由.b d
9︰12 = 6︰8 已知:a=-2，b=6，c=3，d=-9，
求a：b和c：d
结论：a：b=c：d或
ac bd
在四条线段 a、b、c、d 中，如果 a 和 b 的比等于 c 和 d 的比，那么这四条线段a、 b、c、d 叫做成比例线段， 简称比例线段.
例1. 线段m=1cm，n=2cm，p=3cm，q=6cm，请判 断这四条线段成比例吗？并说明理由.
解：线段m，n，p，q成比例.理由如下
m 1 ，p 3 1 . n 2q 6 2 m p. nq
所以线段m，n，p，q成比例.
比例的基本性质：
比例的两个外项之积等于两个内项之积
ac bd
ad=bc (a，b，c，d都不为零)
b
d
(2) a a c b bd
练一练：已知
a1 b2
求 (1) a b (2) a b
b
b
(3) 2a b a 2b
的值
拓展
1.已知
ac e 2 bd f 5
，求
2a 3c 4e 2b 3d 4 f
2.已知x:y:z=4:5:7，求 2x 3 y z ， x y
5z
y z
比例式变形的常用方法: 利用等式性质
设比值
解：还可以得到 AB AC ，AD AE ，... DB EC AB AC
其中 AB AC 成立的理由如下：
DB EC
D
AD AE ， AD DB AE EC .
DB EC
DB
EC
A E
即 AB AC DB ECB NhomakorabeaC
已知 a c ，判断下列比例式是否成立，并说明 理由.b d
人教版九年级数学下册《比例线段》PPT
§22.1 比例线段（1）
请观察下面几组图片
• 大小不同的两个足球
• 汽车和它的但是形 状相同。
1、相似图形的概念：
形状相同的图形叫做相似图形。
注意：相似图形的大小不一定相同。 全等图形是相似图形的特殊情况。
观察下列图形，哪些是相似形？
？
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸⑹
（7）
（8）
？ （9）
（10） （11）
（12）
（13）
（14）
观察下面的图形(a)~(g),其中哪些 是与图形(1)、(2)或（3）相似的？
下图是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同 镜像，它们相似吗？
放大镜下的图形和 原来的图形相似吗？
放大镜下的角与原图 形中角是什么关系?
思考
符号语言（以四边形为例）：
∵四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′
AB BC CD DA AB BC CD DA
A A,B B,C C,D D （相似多边形的对应边长度之比相等，对应角相等）
2、两个相似多边形对应边的长度比也叫 做这两个多边形的相似比.
3、如果两个边数相同的多边形对应边的 长度比相等，对应角相等，那么这两 个多边形相似.
下列两个相似图形，它们的对应角、对 应边有怎样的关系？
（1）等边三角形ABC相似于等边三角形DEF；
D
A
B
C
E
F
（1）
思考
（2）矩形ABCD相似于矩形EFGH.
E
H
A
D
B
C
F
G
（2）
探索
看看图中两个相似的五边形，是否 与你观察所得到的结果一样？
归纳总结：
1.相似多边形的特征：
请观察下面几组图片
• 大小不同的两个足球
• 汽车和它的但是形 状相同。
1、相似图形的概念：
形状相同的图形叫做相似图形。
注意：相似图形的大小不一定相同。 全等图形是相似图形的特殊情况。
观察下列图形，哪些是相似形？
？
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸⑹
（7）
（8）
？ （9）
（10） （11）
（12）
（13）
（14）
观察下面的图形(a)~(g),其中哪些 是与图形(1)、(2)或（3）相似的？
下图是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同 镜像，它们相似吗？
放大镜下的图形和 原来的图形相似吗？
放大镜下的角与原图 形中角是什么关系?
思考
符号语言（以四边形为例）：
∵四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′
AB BC CD DA AB BC CD DA
A A,B B,C C,D D （相似多边形的对应边长度之比相等，对应角相等）
2、两个相似多边形对应边的长度比也叫 做这两个多边形的相似比.
3、如果两个边数相同的多边形对应边的 长度比相等，对应角相等，那么这两 个多边形相似.
下列两个相似图形，它们的对应角、对 应边有怎样的关系？
（1）等边三角形ABC相似于等边三角形DEF；
D
A
B
C
E
F
（1）
思考
（2）矩形ABCD相似于矩形EFGH.
E
H
A
D
B
C
F
G
（2）
探索
看看图中两个相似的五边形，是否 与你观察所得到的结果一样？
归纳总结：
1.相似多边形的特征：
24.1.1 比例线段 课件 (沪科版九年级上册)9
d a D. c b
小结：
相似 多边 形 角： 对应角相等 边：对应边长度的比相等
相似比（相似系数）
a c b d
比例 线段
两条线 ①长度单位统一； 段的比：②与单位无关，本身没有单位； ③两条线段有顺序要求； ①概念：项、比例内项、比例外项；
比例 ②四条线段有顺序要求； 线段 ③特别地：比例中项；
2
B.
3
C.
15
D.
3
cm
注意：1.计算两条线段的比时，单位必须统一；
2.两条线段的比有顺序，不可颠倒；
已知四条线段a、b、c、d 中，
那么 a、b、c、d 叫做成比例线段。
a c 如果 (或 a : b=c : d )， b d
比例内项
a:b=c:d
比例外项
比例是指四条线段 之间的一种关系， 它们有顺序要求。
第23章 相似形
23.1比例线段（一）
请观察下面几组图片
你从上述几组图片发现了什么？
它们的大小不一定相等，形状相同.
1、相似图形的概念：
形状相同的图形叫做相似图形。
注意：相似图形的大小不一定相同。
2、全等图形：
形状、大小都相同的图形称为全等图形。
注：全等图形是相似图形的特殊情况。
3、图形的相似具有传递性；
特别地，
如果作为比例内项的两条线段是相等的， a b 即 ( 或 a:b=b:c)， = b c 那么线段b叫线段a，c的比例中项。
练习7：
如果a=10cm,b=0.2m,c=30mm,d=6cm, 则下列比例式成立的是（ ）
a b A. d c
b c B. d a
a c C. b d
4.1 比例线段(1) 课件
a 0.02米 2 = = b 0.03米 3
a 20毫 米 2 = ＝ b 30毫 米 3
２．比例的基本性质:
a c = ， ad=bc (abcd都不为零） b d
例1；根据下例条件，求a:b的值． a b （１）２a=3b; (2) 5 4 a c 2.已知 = ， 判断下例比例是否成立， 并说明理由． (1) a b c d
线段b叫线段a、c的比例中项。
1.线段的比
定义：在同一长度单位下，两条线段 的长度的比叫做这两条线段的比。
即 果 同 长 单 量 线 a、 如 用 一 度 位 得 段 b的 长 分 是 n， 么 度 别 m、 那 a:b=m:n或 a m = 。 b n
a 在 a:b或 中 a叫 的 ， 比 b
前 ， 比 项 b叫 的 后 项
已知 线段a、b
a
b
量 它 的 度 得 们 长 a=2cm,b=3cm ， 么 那 a、 条 段 比 是 们 度 比 b两 线 的 就 它 长 的 。 a 2 即a:b=2:3或 = b 3 如 改 米 毫 作 线 的 度 位 果 用 、 米 为 段 长 单 ， 那 a、 条 段 比 别 ： 么 b两 线 的 分 是
已知四个数a、b、c、d ， a c 如果 = ， 或 a：b=c：d， b d 那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项， 线段 a、d 叫做比例外项，
线段 b、c 叫做比例内项，
线段 d 叫做 a、b、c的第四比例项.
如果作为比例内项的是相同的
线段，即
a b = b c
或a:b=b:c，那么
a 2 1 = = b 30 15
对吗? 为什么? 答: 不对.根据定义, 在同一长度单位 下,两条线段的长度的比叫做这两条 线段的比
4.1比例线段(1)ppt课件
经过哪些象限？
Zx.xk
探究活动
在平面直角坐标系中,过点(a,b)和原点 的直线是一个怎样的正比例函数的图象? 如果a,b,c,d四个数成比例,你认为点 (a,b),点(c,d)和原点在同一条直线上吗?
课堂小结:
比例有如下性质: a c ad bc (a,b,c,d均不为零) bd
比例式变形的常用方法:
利用等式性质
设比值 k
浙教版九（上）§第四章
9︰12 = 3︰4 6︰8 = 3︰4 9︰12 = 6︰8
如果两个数的比值与另两个数的比值相等， 就说这四个数成比例。
记为：
比例外项
a：b=c：d 或
ac
bd
比例内项
d叫做a，b，c的第四比例项
比例的基本性质
比例的两个外项之积等于两个内项之积.
ac bd
ad=bc
bd bd
b bd
练一练
(1)若 2x 3y 1 ,求 x 的值。 xy 2 y
(2)已知
x 2
=
y 3
= z ,求 2x 3y z ,
4
z 2x 3y
x y z 的值。 x
（3）已知x：y=3：4，x：z=2：3，求
x：y：z的值。
拓展练习
已知 c a b k,则一次函数y kx k一定 ab bc ca
（a，b，c，d都不为零）
规定：本教科书中比例式的字母都约定取值不为零
试一试:
下列各组数能否成比例?如果能成比例,请写 出一个比例式,并指出比例的内项与外项.
13,9,2,6 2 12 , 6, 10 , 5 33, 3, 2,2
例1 根据下列条件,求a:b的值. (1)2a 3b(2) a b
Zx.xk
探究活动
在平面直角坐标系中,过点(a,b)和原点 的直线是一个怎样的正比例函数的图象? 如果a,b,c,d四个数成比例,你认为点 (a,b),点(c,d)和原点在同一条直线上吗?
课堂小结:
比例有如下性质: a c ad bc (a,b,c,d均不为零) bd
比例式变形的常用方法:
利用等式性质
设比值 k
浙教版九（上）§第四章
9︰12 = 3︰4 6︰8 = 3︰4 9︰12 = 6︰8
如果两个数的比值与另两个数的比值相等， 就说这四个数成比例。
记为：
比例外项
a：b=c：d 或
ac
bd
比例内项
d叫做a，b，c的第四比例项
比例的基本性质
比例的两个外项之积等于两个内项之积.
ac bd
ad=bc
bd bd
b bd
练一练
(1)若 2x 3y 1 ,求 x 的值。 xy 2 y
(2)已知
x 2
=
y 3
= z ,求 2x 3y z ,
4
z 2x 3y
x y z 的值。 x
（3）已知x：y=3：4，x：z=2：3，求
x：y：z的值。
拓展练习
已知 c a b k,则一次函数y kx k一定 ab bc ca
（a，b，c，d都不为零）
规定：本教科书中比例式的字母都约定取值不为零
试一试:
下列各组数能否成比例?如果能成比例,请写 出一个比例式,并指出比例的内项与外项.
13,9,2,6 2 12 , 6, 10 , 5 33, 3, 2,2
例1 根据下列条件,求a:b的值. (1)2a 3b(2) a b
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∴AC= AB2-BC2= 3X
B 2x 1x
30
3x C
AB 2x ∴ BC = x =2
AC 3X 3 AB = 2X = 2
例3 求正方形的边长与对角线的比已知:正方形AB源自D ADBD是对角线
求: AB:BD
B
C
解: 设正方形边长为X A x
D
∵ABCD是正方形
x 2x
∴A=90 AB=AD=X B
解：∵Rt ABC中，C＝90，A＝30
AB=4 1
∴BC= 2 AB=2
4
B 2
A
30
23 C
AC= AB2-BC2=2 3
AB 4 AC 2 3 3 ∴ BC = 2 =2, AB = 4 = 2
解: ∵Rt ABC中, C=90 A=30
1 ∴BC= 2 AB
设 BC=X 则 AB=2X A
C
∴BD= AB2+AD2= 2X
∴
AB BD
=
X12
= 2X
= 2
2
说明：由上面两题可知
1.有一锐角是 30 的直角三角形中,
三边(从小到大)的比是 1: 3:2
2.等腰直角三角形中,三边(从小到
大)的比是 1:1: 2
x
2x
x
x
3x
30
2x
练习4:
求等边三角形的高与边长的比
已知:等边三角形ABC A
a2 即 a:b=2:3或 b = 3
如果改用米、毫米作为线段的长度单位， 那么a、b两条线段的比分别是：
a 0.02米 2 b = 0.03米 = 3
a 20毫米 2 b = 30毫米 ＝ 3
注意: 1.两条线段的比与所采用的长度单位
无关，但求比时两条线段的长度单 位必须一致。 2.两条线段的比值是一个没有单位的 正数。 3.若a:b=k , 说明a是b的k倍。 4.除了a=b外,a:b≠b:a, a 与 b 互为倒数
(3) a:b=5:6 (4) a:b=300
例1
已知：A、B两地的实际距离AB=250m 画在地图上的距离A'B'=5cm
求：图上距离与实际距离的比 (即该地图的比例尺)
A'B'=5cm
A'B' 5
1
AB = 25000 = 5000
答:图上距离与实际距离的比是1:5000
(即该地图的比例尺是1:5000 )
ba
练习1: 判断.
a2 1 b = 30 = 15
答: 不对.根据定义, 在同一长度单位 下,两条线段的长度的比叫做这两条 线段的比
练习2: 求下列各题中 a:b 的值
(1)a=2m , b=0.4m ; (2)a=6cm , b=6m ; (3)a=50mm , b=6cm ; (4)a=3m , b=10mm . 答: (1) a:b=5 (2) a:b=1:100
第五章 相似形 5.1比例线段(一)
王艳
1.线段的比
定义：在同一长度单位下，两条线
段的长度的比叫做这两条线段的比。
即如果用同一长度单位量得线段a、b的 am
长度分别是m、n，那么a:b=m:n或b = n 。 a
在a:b或 b 中，a叫比的前项，b叫比的后项
a
b
量得它们的长度a=2cm,b=3cm ，那么 a、b两条线段的比就是它们长度的比。
说明：比例尺=
图距 实距
量得北京到上海的图上距离大约 为3.5cm, 求北京到上海的实际距离大约 是多少km?
解: 略
答:北京到上海的实际距离大约
是1120 km
例2 已知：在Rt△ABC中，∠C＝ 90，A＝30
斜边AB=4
求： AB BC
,
AC AB
B 4
A
30
C
想一想：AB=4这个条件如果去掉，此 题能不能做？
求: AD:AB
解: 略 AD:AB= 3:2
2x 30 3x
BxD C
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B 2x 1x
30
3x C
AB 2x ∴ BC = x =2
AC 3X 3 AB = 2X = 2
例3 求正方形的边长与对角线的比已知:正方形AB源自D ADBD是对角线
求: AB:BD
B
C
解: 设正方形边长为X A x
D
∵ABCD是正方形
x 2x
∴A=90 AB=AD=X B
解：∵Rt ABC中，C＝90，A＝30
AB=4 1
∴BC= 2 AB=2
4
B 2
A
30
23 C
AC= AB2-BC2=2 3
AB 4 AC 2 3 3 ∴ BC = 2 =2, AB = 4 = 2
解: ∵Rt ABC中, C=90 A=30
1 ∴BC= 2 AB
设 BC=X 则 AB=2X A
C
∴BD= AB2+AD2= 2X
∴
AB BD
=
X12
= 2X
= 2
2
说明：由上面两题可知
1.有一锐角是 30 的直角三角形中,
三边(从小到大)的比是 1: 3:2
2.等腰直角三角形中,三边(从小到
大)的比是 1:1: 2
x
2x
x
x
3x
30
2x
练习4:
求等边三角形的高与边长的比
已知:等边三角形ABC A
a2 即 a:b=2:3或 b = 3
如果改用米、毫米作为线段的长度单位， 那么a、b两条线段的比分别是：
a 0.02米 2 b = 0.03米 = 3
a 20毫米 2 b = 30毫米 ＝ 3
注意: 1.两条线段的比与所采用的长度单位
无关，但求比时两条线段的长度单 位必须一致。 2.两条线段的比值是一个没有单位的 正数。 3.若a:b=k , 说明a是b的k倍。 4.除了a=b外,a:b≠b:a, a 与 b 互为倒数
(3) a:b=5:6 (4) a:b=300
例1
已知：A、B两地的实际距离AB=250m 画在地图上的距离A'B'=5cm
求：图上距离与实际距离的比 (即该地图的比例尺)
A'B'=5cm
A'B' 5
1
AB = 25000 = 5000
答:图上距离与实际距离的比是1:5000
(即该地图的比例尺是1:5000 )
ba
练习1: 判断.
a2 1 b = 30 = 15
答: 不对.根据定义, 在同一长度单位 下,两条线段的长度的比叫做这两条 线段的比
练习2: 求下列各题中 a:b 的值
(1)a=2m , b=0.4m ; (2)a=6cm , b=6m ; (3)a=50mm , b=6cm ; (4)a=3m , b=10mm . 答: (1) a:b=5 (2) a:b=1:100
第五章 相似形 5.1比例线段(一)
王艳
1.线段的比
定义：在同一长度单位下，两条线
段的长度的比叫做这两条线段的比。
即如果用同一长度单位量得线段a、b的 am
长度分别是m、n，那么a:b=m:n或b = n 。 a
在a:b或 b 中，a叫比的前项，b叫比的后项
a
b
量得它们的长度a=2cm,b=3cm ，那么 a、b两条线段的比就是它们长度的比。
说明：比例尺=
图距 实距
量得北京到上海的图上距离大约 为3.5cm, 求北京到上海的实际距离大约 是多少km?
解: 略
答:北京到上海的实际距离大约
是1120 km
例2 已知：在Rt△ABC中，∠C＝ 90，A＝30
斜边AB=4
求： AB BC
,
AC AB
B 4
A
30
C
想一想：AB=4这个条件如果去掉，此 题能不能做？
求: AD:AB
解: 略 AD:AB= 3:2
2x 30 3x
BxD C
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