线性代数第四章(线性方程组的表示,消元法)

1 0 0 0 1 0 0 0 1
8 17 3 13 3
24 1 原方程组的解为X 0 17 3 13
例6.解齐次线性方程组 0, 其中系数矩阵 AX
1 2 1 1 A 2 4 1 1 3 6 2 0
Asn X n1 s1
(4.1)
的系数和常数项按原来 的位置构成的s n矩阵
A ( A, )称为方程组的增广矩阵 .
命题：线性方程组(4.1)消元后得到的新方程组 与原方程组同解.
证明： 对线性方程组(4.1)消元等价于对其 增广矩阵A ( A, )作初等行变换，假设变 为C (C , ), 现证明相应方程组CX 与 (4.1)同解.
显然(0,0,0,0)T 是方程组的解，成为零 解， (1,2,5,0)T 是该方程组的一个非零 解，方程组 的完全解为： k (1,2,5,0)T l (11,3,0,5)T , k , l R (原因：后面再讲)
例2.假设1 是AX 1的解， 2 是AX 2 的解，证明：k11 k 2 2 是AX k1 1 k 2 2 , (1) 的解，其中k1 , k 2 是两个常数。
观察下面消元法的计算过程，找出求解线性方 程组的本质特征.
例3.解线性方程组 x 1 2 x1 2 x2 2 x2 4 x2 2 x2 5 x3 x3 x3 3 x3 1 4 20 9
(1)
解：将1,2两个方程交换位置得 4 x1 2 x2 x3 2 x2 5 x3 1 4 x2 x 3 20 2 x1 2 x2 3 x3 9
定义3 (阶梯型矩阵) 称如下形式的s×n矩阵
0 0 A 0 0 0 a1 j1 0 0 0 0 0 0 0 a rj r 0 0 a 2 j2 a1n a2n a rn 0 0
x1
2 x2 x3 0
3 9 2 0
9 得：x1 3, x2 , x3 2 2
消元法基本操作： 1.互换两个方程的位置； 2.用一非零数c乘某一方程；
3.把其中一个方程的k倍加到另一个方程上。
称以上三种变换为线性方程组的初等变换. 对方程作初等变换其实是对由方程系数和常数 项组成的矩阵作初等行变换. 定义2，设n元线性方程组
解：这是一个四元齐次 线性方程组，由于常数 项全为0，对( A,0)进行初等行变换时，最 后一列 不变，故只需对系数矩 A化简。 阵
1 2 1 1 1 2 1 1 2 4 1 1 A 0 0 1 3 3 6 2 0 0 0 1 3
为n元线性方程组，s为方程的个数，aij （i 1,2,, s, j 1,2,, n)叫系数，bi （i 1,2,, s )叫常数项。
a11 a 21 A a s1
a12 a 22 as2

a1n a2n a sn
阶梯型矩阵
1 0 0 2 D 0 1 0 1 0 0 1 2
阶梯型矩阵,Jordan矩阵
引理1. 任何一个非零矩阵都可经初等行变换化 为阶梯型矩阵
证明：设Asn 0, 则A经0次或1次交换两行的 变换化为B，即 0 0 b1 j1 b1n 0 0 b b2 n 2 j1 A 初 等 B 行变换 0 0 bsj1 bsn
第四章 向量与线性方程组
$1 线性方程组的表示，消元法
定义1.称含有n个未知量x1 , x 2 , x n 的一次方程组 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 ( 4.1) a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 .......... .......... .......... .......... ....... a s1 x1 a s 2 x 2 a sn x n bs
( 2)
把( 2)第一个方程的－ 倍加到第四个 2 方程, 得 x3 4 x1 2 x 2 2 x2 5 x3 1 4 x2 x3 20 2 x2 5 x3 1
( 3)
在( 3)中，将第2个方程得2倍加到第3个方程， 第2个方程的 1倍加到第4个方程，将第 个 2 方程加到第 个方程，得 1
1 2 0 2 0 0 1 3 B 0 0 0 0
与原方程组同解的齐次线性方程组BX 0 的一般形式为：
x1 2 x2 2 x4 0 x 3 3 x4 0 0 0
x1 或 x 3 0
叫系数矩阵，如果存在 个数c1 , c2 , , cn满足 n (4.1)，即 a i 1c1 a i 2 c 2 a inc n bi , ( i 1,2, , n) 则称( 4.1)有解，并乘这n个数构成的向量X 0 为( 4.1)的一个解
X 0 (c1 , c2 ,, cn )
因A作初等行变换后变为 ，故存在可逆阵P C 使 : A C P A ( PA, P ) (C , )，得： C PA, P ,
如果X 0 是(4.1)的解, 则AX 0 , 用P左乘等式两端, 得 PAX 0 P , 即CX 0 .
反之, 若X 0满足CX 0 , 用P 左乘等式两端, 1 1 得 : P CX 0 P , 利用C PA, P , 有 : AX 0 .故两方程同解.
A (1 , 2 , n ),则 4.1)有几种等价形式 ( 1.矩阵形式 : AX ; 2.向量形式 : x1 1 x 2 2 x n n ;
以下三个方程等价：
1. aij x j 0, ( i 1,2, s )
j 1
n
2. AX 0; 3. x1 1 x 2 2 x n n 0;
x1
2 x3
4 x3 5 x3 11x 3 0
5 1 22 0
(4)
x1
2 x3
4 x3 5 x3 11x 3 0
5 1 22 0
(4)
1 在(4)中，用 乘以第三个方程, 得x3 2, 11 再将x3 2的5倍(5 x3 10)与4倍(4 x3 8) 分别加到第2个和第 个方程，得 1
4 2(1行 ) ( 2 行 ) 1() 1行 ( 3 行 ) 1 6 2 6 0 4 7 47 6
以B为增广矩阵的方程组有 一方程矛盾 0 47, 从而原方程无解.
例5.用消元法解线性方程组
x1 2 x1 x 1 x2 3x2 2 x2 4 x3 2 x3 5 1 2
1 1 2 5 1 1 2 5 2 3 0 1 0 5 4 11 解： A 1 2 4 பைடு நூலகம் 0 1 2 3
5 1 0 0 8 1 1 2 0 1 2 3 0 3 6 9 0 0 6 26 0 0 6 26
T
线性方程组的几种表示方法 设
a1 j x1 b1 a x b 2 , 2 , 2 j , ( j 1,2, , n) X j a sj xn bs
证明：将k11 k 2 2 代入(1)左端, 得 A( k11 k 2 2 ) k1 A1 k 2 A 2 k1 1 k 2 2 右端
故k11 k22 是AX k1 1 k2 2的解。
消元法解线性方程组
基本思想：把方程组变成阶梯形，得到能直接 求出解或判断其有无解的同解方程组
为阶梯型矩阵，其中 1 j1 , a2 j2 ,, arj r 0, a j1 j2 jr , A的后s r行全为0，并称 A的第i行第一个不全为 的元数aiji 为非零首元. 0
若阶梯型矩阵A的非零行的非零首元 iji 全为 a 1 ( i 1,2,, r )，它们所在列的其余元 素全为0,
2 x2
2 x4 3 x4 0
对于x2 , x4的任何一组值都能解出x1 , x3 , 令x2 k , x4 l , 得
x1 2k 2l , x3 3l
方程组的解为： 2k 2l 2 2 1 0 k k l X 3l 0 3 l 0 l
1
例4.解线性方程组 x1 2 x 2 4 2 x1 2 x 2 1 x1 3 x 2 6
1 2 解： ( A, ) A 1 1 0 0 B 2 6 5
2 2 3
4 5 1 2行 ) ( 行 6 ( 3) 0 7 2
x 2y z t 0 例1.将齐次线性方程组 改写成 2 x y 5t 0 矩阵形式和向量形式 .
解：矩阵形式： 1 2 2 1 1 0 x y 1 z 0; 5 t
向量形式： 1 2 1 1 x y z t 0 2 1 0 5
消元法解线性方程组过程: 1.对AX= β的增广矩阵(A,β)做初等行变换，化为 阶梯型矩阵或更简单的Jordan阶梯型矩阵;
.对AX=
0的系数矩阵A做初等行变换，化为阶梯型 矩阵或更简单的Jordan阶梯型矩阵; 2.求解同解方程组： 若最后一个方程为0=d, d ≠0,则原方程 无解； 若最后一个方程有解，解出部分未知量 并代入前一方程求解 再代入前一方程求解， …… 求出全部解
则A称为Jordan(约当)阶梯型矩阵. 例如：
1 0 A 0 0
1 1 0 0
3 1 2 0 5 1 0 0
1 4 0 2 0 0 0 2 1 0 B 0 0 0 0 0
阶梯型矩阵
阶梯型矩阵
1 1 5 0 2 9 C 0 0 3