高等数学第一型曲线积分

1
2
( 由
组成)
( l 为曲线弧 的长度)
6
二、第一型曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分 转 化 计算定积分
定理:
是定义在光滑曲线弧
上的连续函数, 则曲线积分
且
f (x, y) d s f [ (t ) , (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t
L
证: 根据定义
n
lim
0 k 1
一、第一型曲线积分的概念与性质 二、第一型曲线积分的计算法
2
一、第一型曲线积分的概念与性质
1.引例1: 曲线形构件的质量
B
假设曲线形细长构件在空间所占
弧段为AB , 其线密度为 为计算此构件的质量, 采用
(k ,k , k )
Mk Mskk1
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
n
可得 M
A
其中为球面 x2 y2
z2
9 2
与平面 x
z
1的交线.
解:
:
1 2
(
x
12)2
1 4
y2
1,
化为参数方程
x z 1
x
2
cos
1 2
: y 2sin
0 2
则
z
1 2
2 cos
ds ( 2 sin )2
( 2 sin )2 d 2d
I
9 2
2
0
2d
18
17
思考与练习
1. 已知椭圆 L : x2 y2 1周长为a , 求 43
(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中
dx 可能为负.
5
3. 性质
(1) f (x, y, z) g(x, y, z) ds f (x, y, z) ds g(x, y, z) ds
（k 为常数)
(3) f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds
称轴的转动惯量I (设线密度 = 1).
解: 建立坐标系如图, 则
y
I y2 ds L
L
:
xy
R cos R sin
o ( )
L
Rx
R2 sin2 (R sin )2 (R cos )2 d
R3 sin2
d
2
R
3
2
sin 2
4
0
R3( sin cos )
12
例3. 计算
3
1 a2 ds 1 a22 a
3
3
2 a3
3
15
思考: 例5中 改为 计算
, 如何
解: 令
YX
x y
1 1,
Z z
则 : X 2
Y2 Z2 X Y Z
a2 0
( X 1)2 ds
2 X ds
2 a3 2 X 2 a
3
圆的形心 在原点, 故
X 0
16
例6. 计算
(2xy 3x2 4 y2 ) ds
L
2
提示: 利用对称性 2xy ds 0 L
其中L为双纽线
(x2 y2) 2 a2(x2 y2) (a 0)
解: 在极坐标系下
yLeabharlann Baidu
它在第一象限部分为
L1 : r a cos 2 (0 4 )
o
x
利用对称性 , 得
4 4 r cos
r 2 ( ) r2 ( ) d
0
4 4 a2 cos d 0
13
例4. 计算曲线积分 线
f
(k ,k )sk
7
设各分点对应参数为
点 (k ,k )对应参数为
sk
tk tk 1
2 (t ) 2 (t ) d t
2 ( k ) 2 ( k ) tk ,
则
n
lim
0
k
f
1
[
(
k
)
,
(
k
)
]
注意 2 (t) 2 (t ) 连续
n
lim
0
k
1
f
[
(
k
) ,
(
k
)
]
8
因此
f (r( ) cos , r( )sin
)
r 2 ( ) r2 ( ) d
推广: 设空间曲线弧的参数方程为
: x (t), y (t) , z (t) ( t )
则 f (x, y, z)ds
f ( (t) , (t),(t) )
2 (t) 2 (t) 2 (t) d t
说明:
(1) sk 0, tk 0,因此积分限必须满足 !
(2) 注意到
ds (d x)2 (d y)2
y
2 (t ) 2 (t ) d t
因此上述计算公式相当于“换元法”. o
ds dy dx
xx
9
如果曲线 L 的方程为
则有
b
f (x, (x) )
a
1 2(x) dx
如果方程为极坐标形式: L : r r( ) ( ), 则
k 1
3
2.定义
设 是空间中一条有限长的光滑曲线, 义在 上的一个有界函数, 若通过对 的任意分割 和对
局部的任意取点, 下列“乘积和式极限” (k ,k , k )
n
记作
lim
0
k 1
f
(k ,k , k )sk
f (x, y, z)ds
都存在, 则称此极限为函数
在曲线
上对弧长的曲线积分, 或第一型曲线积分.
第十章 曲线积分与曲面积分
积分学 定积分二重积分三重积分曲线积分 曲面积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线域 曲面域
曲线积分 曲面积分
对弧长的曲线积分— 第一型曲线积分 对坐标的曲线积分— 第二型曲线积分 对面积的曲面积分—第一型曲面积分 对坐标的曲面积分—第二型曲面积分
1
第一节
第十章
第一型曲线积分
解: (x2 y2 z 2 ) ds
其中为螺旋 的一段弧.
a2 k 2 2 [a2 k 2t 2]d t 0
2 a2 k 2 (3a2 4 2k 2 )
3 14
例5. 计算
其中为球面
被平面
所截的圆周.
解: 由对称性可知 x2 ds y2 ds z2 ds
x2 ds 1 (x2 y2 z2 ) ds
Mk Mskk1
称为被积函数， 称为积分弧段 .
曲线形构件的质量 M (x, y, z) ds 4
如果 L 是 xoy 面上的曲线弧, 则定义对弧长的曲线积
分为
n
L
f
(x,
y) ds
lim
0 k 1
f
( k
,k
)sk
如果 L 是闭曲线 , 则记为 L f (x, y) ds.
思考:
(1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 L d s 表示什么?
10
例1. 计算
其中 L 是抛物线
与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
解: L : y x2 ( 0 x 1)
1
0 x
1
x
1 4x2 dx
0
1 12
(1
4x
2
)
3
2
1 0
1 (5 5 1) 12
上点 O (0,0)
y B(1,1) y x2
L
o
1x
11
例2. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对