债券价值与利率期限结构

第三章 现值、债券价值与利率期限结构 第二章介绍了财务管理中最重要的概念：货币的时间价值（time value of money ）。货币的时间价值就是决定本期货币价值和未来期间货币价值间的关系。本章将

第二章的现值概念由一期的架构延伸为多期的架构，接着将利用多期架构下的现值公式讨论各种债券的价值以及长短期利率间的关连。在多期架构下，除了将不同时间的现金流量转换为以相同时间的货币来衡量外，还须考量不确定性。此时，投资决策者计算现值时应如何适切考量风险因素本书第十章将讨论存在风险情形下，如何调整折现率以计算现值及净现值。本章暂不考虑风险的存在如何影响净现值的计算，但先以例子说明风险因素如何影响投资决策。 例子：

台艺画廊正考虑以40万元购入一幅王秋香40号油画，预计此画

明年售出可得款48万元，这项投资计划的现金流量图为

现金收入 48万元

0 1

现金支出 - 40万元

目前银行存款利率为10%，请问该画廊是否应购入这幅画

一般而言，现金流量图中48万元现金收入不应视为事先确定的

数字，最多只是预测值。若台艺画廊忽略投资画作和存款间风险的差

异，而以存款利率10%做为购置的资本机会成本 (opportunity cost

of capital)，则下一期出售画作价款的现值为 484363641.1

萬元萬元。 由於43万6364元的现值高於本期购画成本40万元，画廊似乎应选择此项投资计划。由於艺品投资的风险远较存款为高，不宜以存款利

率做为资本机会成本（或称折现率），而恰当的折现率应比10%为高

才能合理反映此项投资计划的风险。

经过仔细评估，画廊廖老板认为25%才能反映购画计划的风险，

亦即25%才是合理的资本机会成本。此时，下一期出售油画价款现值

变为 483840001.25

=萬元萬元， 而此项投资计划的净现值为负：

384,000元000,400-元 = 000,16-元

依据第二章的净现值法则，画廊不应选择此项投资计画。

由於投资决策涉及投资计画执行期间现金流量的评估，而未来又充满不确定性，

这个例子说明公司经营阶层如何选择恰当的折现率是投资决策过程中最大的挑战。

1. 复利计息的威力

黄朝贷出手中的1万元现金後，下一期将有本金加利息的现金收入：(1+r)

万元，r 为市场均衡利率。黄朝若将所得的 (1+ r) 万元再贷出一期，由於已将前期所赚的利息 r 万元做为下一期的本金再生利息，这个过程称为复利计息（compounding process ）。第二期结束後，黄朝可取得的投资收益为

[]萬元)r r 21(萬元)r 1(萬元)r 1()r 1(122++=+=+⨯+⨯，

式中 r2 表示将第一期收到的利息（r 万元）做为第一期可贷出的本金，在第二期所赚到的利息，即「息生息」。2r 表示两年期间单利计息所赚取的利息。两相比较可知：以复利计息所赚取的投资收益和单利计息所赚取的投资收益两期後金额相差r2万元。两期後黄朝将收到的(1+r)2万元再贷出一期，第三期结束後本金加利息的现金收入变为

式中 3r 万元是三年期间以单利计息方式所得到的利息收入，而（3r2+ r3）万元则是以复利计息方式所算出第一期利息以及第二期利息再透过「息滚息」过程所创造的额外现金收入，（32r r 3r 3++）万元即为以复利计息方式所得到的利息总收入。复利计息和单利计息最不同之处在於单利计息的计算是不将前期的利息做为未来的本金，故三期後两者的差异变为（3r2+r3）万元。

复利计息过程中「息生息」的威力到底有多大[表3-1]列举单利计息以及复

利计息所得到投资收益的差异。两种计息方式在第一期没有差别，二期以後期末余额亦只有1元 (＝100元 10% 10% ) 的差异。20年後，单利计息所算出的期末投资收益为300元，而以复利计息方式所算出期末投资收益高达673元，两者差距已有一倍以上。其後的差异呈成长。举例说，50年後，单利计息所算出的期末投资收益为600元，若以复利计息所算出的期末投资收益为11,739元，两者差距已接近二十倍。

[表3-1] 本期投资100元各期期末的投资收益（r = 10%）

单利计息 复利计息 期数

期初本金 + 利息 ＝ 期末余额 期初本金 + 利息 ＝ 期末余额 1

100 + 10 = 110 100 + 10 = 110 2

110 + 10 = 120 110 + 11 = 121 3

120 + 10 = 130 121 + = 4 130 + 10 = 140 + =

10

190 + 10 = 200 236 + 24 = 259 20

290 + 10 = 300 612 + 61 = 673 50

590 + 10 = 600 10,672 + 1,067 = 11,739 100

1090 + 10 = 1100 1,252,783, + 125,278 = 1,378,061 200

2090 + 10 = 2100 17,264,116,020

+ 1,726,411,602 = 18,990,527,622 210 2190 + 10 = 2200 44,778,670,810 + 4,477,867,081 = 49,256,537,891

接下来，再以1926年到1996年这段期间，投资美国股市的年平均报酬率为例说明复利计息的威力。若在1926年初投资美国股市1美元，到了1996年底投资收益变为美元：

711(1)1370.95r ⨯+=美元美元 ，

经过计算，投资美国股市71年的平均报酬率（r ）为%。% 的年平均报酬率看起来似乎不高，但经过71年的复利计息过程，当初投资1美元71年後竟会创造美元的投资收益，而复利计息的威力正在於前期利息可投入本期及未来各期的本金再用於生息，这也是「息生息」的威力所在。假若将元元再投资70年，1926年所投资的那一块钱，在2066年所创造出来的投资收益将变为187万9503美元。复利计息的威力亦可用於解释为何上一代遗产大都不赠与给下一代而是赠与给下一代的下一代。父母都宁愿让其孙徒辈变得比较有钱，而非让子女辈变得稍微有钱。

2. 多期架构下的现值公式

截至目前，我们所讨论的都仅止於一期的投资计划，本节将现值与净现值的概念延伸到多期架构。依第1节复利计息的讨论，若本期投资支出为C 0 ，则T 期後所创造的投资收益 (T 期期末终值) 为

FV(T) =T T 00)r 1(C +⨯,

式中r 0T 为第0期时投资T 期的年利率，FV(T) 为本期现金流量C 0在T 期结束时的终值，而T 表示投资终止时间。若市场均衡年利率为9%，本期贷出1 元，由终值公式两期後就可创造出元的投资收益。换一个角度看，若我们希望在两期後能有1元的收入，市场均衡利率为9%情形下，请问本期应投资多少这个问题可用下列公式呈现