高中数学函数与方程综合问题

函数与方程综合

A 组题

1.已知实数a ，b 满足23a

=，32b

=，则函数()x f x a x b =+-的零点所在的区间是（ ）

A. ()21--，

B.()1,0-

C.()0,1

D.()1,2 【解析】

23a =，32b =，∴1a >，01b <<，又

()x f x a x b =+-，∴()1

110f b a

-=

--<，()010f b =->，从而由零点存在定理可知()f x 在区间()1,0-上存在零点．故选B.

2.已知1x 是方程lnx 2x =的根,2x 是2x

xe =的根,则12x x =( )

A. 1

B. 错误！未找到引用源。

C. 2

D. 4 【解析】1x 是函数ln y x =与2y x =

图象交点的横坐标，2x 是函数x

y e =与2y x

=图象交点的横坐标，又因为 ln y x =与x

y e =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，则122x x =.故选C.

3.设函数1

()ln 3

f x x x =

-，则函数()f x ( ） A ．在区间1(,1)e

，(1,)e 内均有零点 B ．在区间1(,1)e

，(1,)e 内均无零点

C ．在区间1(,1)e 内有零点，在(1,)e 内无零点

D ．在区间1(,1)e

内无零点，在((1,)e 内有零点 【解析】1()ln 3f x x x =

-的定义域为(0,)+∞，'11

()3f x x

=-，故()f x 在(0,3)上递减，又 1

()0,(1)0,()0f f f e e

>><，故选D. 4. 已知函数()f x 满足：()()1f

x f x +=-，且()f x 是偶函数，当[]0,1x ∈时，()2f x x =，若在区间[]1,3-内，

函数()()k kx x f x g --=有4个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()+∞,0 B ．⎥⎦

⎤ ⎝⎛21,0 C ．⎥⎦

⎤ ⎝⎛4

1,0 D ．11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦

【解析】由(1)()()f x f x f x +=-⇒的周期为2，又()f x 是偶函数，且[]0,1x ∈时，()2

f x x =，故可示意()

f x 在[1,3]-上图象，()()k kx x f x

g --=有4个零点转化为函数()f x 与(1)y k x =+在x ∈[1,3]-上有4个交点，由图象知1

(0,]4

k ∈，故选C.

5.已知方程923310x

x

k -⋅+-=有两个实根，则实数k 的取值范围为（ ）

A.2

[,1]3 B. 12(,]33 C.2[,)3

+∞ D.[1, ＋∞)

【解析】设3x

t =，原题转化为函数2

()231g t t t k =-+-在(0,)t ∈+∞上有两个零点（可以相同），则

44(31)0

20310

k k --≥⎧⎪

>⎨⎪->⎩

解得12(,]33k ∈，故选B.

6.已知函数()()f x x ∈R

满足()2(f x f x

-=-，若函数1

x y x

+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1

()m

i i i x y =+=∑（ ）

A. 0

B. m

C. 2m

D. 4m 【解析】由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数11

1x y x x

+=

=+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选B.（客观上函数()y f x =与1

x y x

+=

有共同的对称中心(0,1)，所以它们的所有交点 关于(0,1)对称

7.若函数f (x )= 21x --x-m 无零点,则实数m 的取值范围是 .

【解析】原题转化为函数y =1的平行线系y x m =+没有公共点的问题， 画图，可得1m <-

或m >

.

8.设常数a

使方程sin x x a +=在闭区间[0,2]π上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++= .

【解析】原方程可变为2sin()3a x π=+

，作出函数2sin()3

y x π

=+的图象，再作直线y a =，从图象可知 函数2sin(x )3y π=+在[0,]6π上递增，在7[,]66ππ上递减，在7[,2]6

π

π

上递增，只有当a =

三个交点，1230,,23x x x ππ===，所以123x x x ++=73π

.

9.已知函数2||,

()24,x x m f x x mx m x m ≤⎧=⎨-+>⎩

其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，

则m 的取值范围是________________. 【解析】画出函数图象如下图所示：