函数奇偶性课件.ppt

思考： 如果一个函数的图象关于原点对称， 它的定义域应该有什么特点？
定义域关于原点对称.
强化定义，深化内涵
☆对奇函数、偶函数定义的说明:
（1）函数若是奇函数或者偶函数：定义域关于原点对称。 对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个 自变量
[-b,-a] o [a ,b] x
（2）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函 数f(x)具有奇偶性.既不是奇函数也不是偶函数的函数称为非 奇非偶函数.
4、奇函数在原点有定义，则有f(0)=_____
5、己知函数y=f(x)是偶函数，且在（－∞，0）上是增
函数，则y=f(x)在（0，＋∞）上是（ ）
A. 增函数
B. 减函数
C. 不是单调函数
D. 单调性不确定
课时小结，知识建构
奇偶性
奇函数
偶函数
定 设函数y=f(x)的定义域为D，x D,都有 x D.
则 f (x)是偶函数； （5）若 f (1) f (1), 则 f (x)不是偶函数。
问题情景 二
(1)函数 f (x) x3 与函数 f (x) 1 图象有什么共同特征？
x
(2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？
y
O
x
f (x) x3
f(-x)与f(x)有怎样的关系?
对函数f(x)=x2，当我们在定义域内任取一对相反数x和
-x时，所对应的函数值什么关系？
y
(-x,f(-x))
(x,f(x))
猜想 : f(-x) ____ f(=x)
-x 0 x x
概念形成
偶函数：一般地，如果对 于函数f(x)的定义域内任 意一个x，都有f(－x) =f(x)，那么函数f(x)就 叫做偶函数．
说明: 函数f(x)=0 (定义域关于原点对称），既是奇函数又是偶 函数。
总结：
根据奇偶性, 函数可划分为四类:
奇函数 偶函数 既是奇函数又是偶函数 非奇非偶函数
例2、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴 右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边 的图象.
y
O
x
例2、 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴 右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边 的图象.
注意： 函数的图象关于y轴对称
偶函数
观察下面函数图像，判断是否为偶函数？
y
y
1
x
f (x) x2 x (,1]
-1 1
x
f (x) x2
x (, 1] [1, )
思考： 如果一个函数的图象关于y轴对称， 它的定义域应该有什么特点？
定义域关于原点对称.
【强化】判断：对于定义在 R 上的函数f (x) ，
（3）函数f(x)是偶函数图像关于y轴对称 f(-x)=f(x)
函数f(x)是奇函数 图像关于原点对称 f(-x)=－f(x)
讲练结合，巩固新知
例1、判断下列函数的奇偶性：
(1) f (x) x4
(2) f (x) x5
(3) f (x) x 1 x
(4)
f
(x)

1 x2
解:
y
O
x
例2、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴 右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边 的图象.
解:
y
O
x
练习
1、ຫໍສະໝຸດ Baidu下面的函数图像分成两类
y
y
y
y
y
y
O
x
0
x
0
x
0
x
0
x
0
x
奇函数
偶函数
2、如图所示为偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1) 与f(3)的大小．
3、如果定义在区间［3－a,5]上的函数f(x)为奇函数， 则a=_____
f(-x) ___=_ -f(x)
概念形成
奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定 义域内任意一个x，都有f(－x)=-f(x)，那 么函数f(x)就叫做奇函数．
注意： 图象关于原点对称
奇函数
观察下面函数图像，判断是否为奇函数？
y
y
-2
o
2x
-2
o
3x
f (x) x, x [2,2]
f (x) x, x 2,3
（1）若 f (1) f (1), 则 f (x)是偶函数；
（2）若对于定义域内的一些 x ，使 f (x) f (x),
则 f (x)是偶函数；
（3）若对于定义域内的无数个 x ，使 f (x) f (x),
则 f (x) 是偶函数；
（4）若对于定义域内的任意 x，使 f (x) f (x),
解：：(4()3对)对于于函函数数f f((xx) )=xx1+2 1x, 其,其定定义义域域为为{{xx||xx 0}
因因为为对定于义定域义内域的内每的一每个一x,个都x有, 都有
f(-xf)(=-x+) -1x(=-1x()x2+1x x)12=-f(fx()x) 所所以以，，函函数数ff((xx))为 奇x12 函为数偶函数.
总结： 判断或证明函数奇偶性的基本步骤：
一看
二找
三判断
看定义域
找关系
下结论
是否关于原点对称
f(x)与f(-x)
奇或偶
注意：若可以作出函数图象的，直接观察图象是否 关于y轴对称或者关于原点对称。
练习
判断下面函数的奇偶性
(1) f(x)=2x4+3x2 (2) f(x)=x3+2x
(3) f(x)= x
义
f(-x)=-f(x)
f(-x)=f(x)
图
y
像
-a o
性
ax
质
关于原点对称
y
-a o a x
关于y轴对称
判断
定义域是否关于原点对称.
步骤
f(-x)=-f(x)？
f(-x)=f(x)？
课后作业
判断下列函数的奇偶性并说明理由
(1) f (x) x x3 x5 (2) f (x) x 1
(4) f(x)=0
y
(3) f(x)= x
(4)f(x)=0
解:定义域为 [0 ,+∞) 解: 定义域为R
∵ 定义域不关于
∵ f(-x) = 0
o0
x
原点对称 ∴f(x)为非奇非偶函数
=f(x) 又 f(-x)=0
= - f(x) ∴f(x)为既是奇函数又是偶函数
思考：f(x)=0 定义域[-2,2] 既是奇函数又是偶函数吗？
问题情境 一
观察以下两个函数图象并思考以下问题： （1）这两个函数图象有什么共同特征？ （2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的?
y y
o
x
f (x) x2
o
x
f (x) x
x -3 -2 -1 0 1 2 3 f (x) x2 9 4 1 0 1 4 9
x -3 -2 -1 0 1 2 3 f (x) x 3 2 1 0 1 2 3