原函数与可积性

原函数与可积性

一、f(x)在区间I上的原函数存在与f(x)在区间I上可积有什么关系么？

总的来说原函数存在和函数可积没有必然的联系。

1、可积性：

(i) 若函数f在区间[a,b]上连续，则f在区间[a,b]上可积；

(ii)若函数f在区间[a,b]上单调，则f在[a,b]上可积；

(iii)若有界函数f在区间[a,b]上仅有有限个间断点，则f在[a,b]上可积。

由以上的可见，有三类函数即连续函数、只有有限个间断点的有界函数和单调函数一定是可积的；可以概括为可积的两大条件：积分区间有限、被积函数几乎处处连续。

不过大家肯定会问上面所说的条件中第二个“几乎处处连续”的意思，由连续性定义，x0左右极限等于函数在f(x0)值，则函数在x0点连续；那么如果在某点处不连续则会出现间断点，所以“几乎处处连续”就是指函数的间断点是“有限个间断点”。

但是这个“有限个间断点”到底是第一类间断点还是第二类间断点或者全可以？

由“函数的间断点是‘有限个间断点’时，有界函数可积”可知被积函数有界是第二个条件前提，是函数可积的必要条件，所以f在区间[a,b]上有第二类的无穷型间断点时一定不可积。因此可积必有界，有无穷间断点的函数必无界，所以必不可积。

1.1、性质：

若f(x)在[a,b]上可积，那么f(x)在[a,b]上的以任取c∈[a,b]为下限的变上限积分函数连续。

当函数存在间断点时，这里的间断点可以是第一类间断点和第二类的振荡间断点，由f(x)在[a,b]上可积，可推论出“变上限积分形成的函数”也是几乎处处连续。

2、原函数存在性：

(i)若函数f在区间[a,b]上连续，则f在区间[a,b]上原函数一定存在；

(ii)若函数f在区间[a,b]上含有第一类间断点，则f在[a,b]上一定不存在原函数；

(iii)若函数f在区间[a,b]上有第二类无穷型间断点，则f在[a,b]上一定不存在原函数。但是f(x)在（a,b）上无界的函数，在（a,b）上并不一定没有原函数存在。例如f(x)=1/√(1-x^2)在(-1,1)上无界，却有原函数arcsinx。

(iv)若函数f在区间[a,b]上存在原函数，则f在[a,b]上的间断点必是第二类的振荡间断点。

由以上的可见，原函数存在条件：原函数在定义域上可导（可导必连续，故原函数必然连续）。