电路相量法精讲

注意：两个正弦量进行相位比较时，应满足同频 率、同函数、同符号，且在主值范围比较。
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§8-3 相量法的基础
在正弦稳态线性电路中，各支路的电压和电流(响 应)与电源(激励)是同频率的正弦量，因此应用KCL、 KVL分析正弦电路时，将遇到正弦量的加减运算和 积分、微分运算，在时域进行这些运算十分繁复， 通过借用复数表示正弦信号可以使正弦电路分析得 到简化 。 相量表示法的实质是用复数表示正弦量。是求解 正弦电流电路稳态响应的有效工具。
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u = Umcos(wt+fu)
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1. 正弦量的三要素（以电流为例）
i = Imcos(wt + fi) = 2 I cos(wt + fi) (1)振幅(幅值、最大值) Im、有效值I (要素之一)
反映正弦量变化幅度的大小。
i
Im
-p o p
2p
wt
3p
- Im
峰-峰值2Im
在工程中，常用频率
区分电路：如工频、 音频、中频、高频、 微波电路等。
T：正弦量变化一次所 需要的时间，单位s。
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2p
wT=2p
w ：指正弦量单位时 间内变化的电角度， 单位rad/s。 w、 f、T 之间的关系
w =2pf f = 1 T = 1 T f
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(3)初相角fi (要素之三) t =0时，正弦量的相 位角 (wt + fi) = fi
i， u i， u + u -
i
i Z
o
p
2p
wt
o
p
2p
wt
j=0，u与i同相
i， u
j=180o，u与i反相
改设参考方向时， 该正弦量的初相改变p， i=Imcos(wt+fi p) 因此与其它正弦量的相 位差都改变p。
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o
p
2p
wt
j=90o，u与i正交
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例：计算下列两正弦量的相位差。 解：
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综上：对正弦电路的分析研究具 有重要的理论价值和实际意义。 正弦量的时域表达式有两种形式 i = Imcos(wt+fi) i = Imsin(wt+fi)
也称为瞬时值表达式
分析时不可混用，以免发生相位错误。 今后采用的形式以教材为准： i = Imcos(wt+fi)
+j
. Um
o
w
fu fi
. Im +1
是 [Ime jfi e jwt] 的实部。 任意时刻，两者相对位置不 变。因此，可用不含旋转因 子ejwt的复数表示正弦量。
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旋转相量的实 部等于正弦量
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2. 相量的性质 (1)线性性质
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1. 相量
正弦量的相量要追溯到欧拉公式。 若 q =wt + fi 则 e j(wt+fi)= cos(wt+fi)+ jsin(wt+fi) 根据叠加定理和数学理论，取实部或虚部进行 分析求解，就能得到全部结果。

设： i = Im cos (wt+fi)
则： i = Re[Im e j(wt+fi) ] = Re[Im e jfi e jwt ] . = Re[ Im e jwt ] 这是一个特殊的复数，其特点是辐角随时间变化。 . 其中， Im = Im e jfi 这是一个与时间无关的复数， 模是该正弦电流的振幅，辐角是初相，称为相量。
100
i
t
t1
2. 当 103t = 60o = p3 时， 出现最大值 p3 = 1.047ms t1 = 3 10
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2. 同频率正弦量的相位差j 设：i=Imcos(wt+fi) u=Umcos(wt+fu)
i， u i -p o p u
2p 3p
j wt
j = (wt+fu)-(wt+fi) 则： = f u- f i 等于初相之差。
②电机、变压器等电气设 备，在正弦交流电下具 有较好的性能；
研究正弦电路的意义是： ③正弦量对时间的导数、 正弦交流电有很多优点， 积分、几个同频率正弦 量的加减，其结果仍是 在电力系统和电子技术 同频率的正弦量，使电 领域占有十分重要的地 路分析计算变得简单。 位。 ①容易产生、传送和使用。 ④正弦信号是一种基本信 号，其分析结果可以推 可以根据需要，利用变 广到非正弦周期电流电 压器方便地把正弦电压 路中。 升高或降低；
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例：已知正弦电流波形如图，w =103rad/s， 1.写出 i(t) 的表达式；2.求最大值发生的时间t1。 解：1. i(t) = 100cos(103t + fi)
t = 0 50 = 100cosfi 50 fi = 60o o 由于最大值发生在计 时起点右侧 fi = - 60o i(t) = 100cos(103t - 60o)
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复数乘、除的图解
F=F1F2 |F2|F1
o
F1 F2 q=q1+q2 q1 q2 +1
o
+1
乘：F1 的模被放大|F2| 倍,辐角逆时针旋转q2。
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除：F1 的模被缩小|F2| 倍,辐角顺时针旋转q2。
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3. 旋转因子ejq
旋转因子 ejq =1∠q是一个模 等于1，辐角为q的复数。 任意一个复数A=|A|ejqa乘以 ejq ，等于把A逆时针旋转q 角度，而模|A|保持不变。
(1) i1(t) =10cos[100pt+(3p/4)]A (1) j =(3p/4)-(p/2) =(5p/4) ＞p 所以 i2(t) =10cos[100pt-(p/2)]A j =(5p/4)-2p = -3p/4 o (2) i1(t) =10cos(100pt+30 )A i2(t) =10cos(100pt-105o)A (2) j =30o-(-105o)=135o
在放大器参数中有时用峰-峰值表达。
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关于有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了 衡量其平均效应，工程上采用有效值来表示。 通过比较直流电流 I 和交流电流 i 在相同时间 T 内流经同一电阻 R 产生的热效应来确定： 1 T2 I = dt i dt T 0 0 把 i=Imcos(wt+yi) 代入上式计算可以得到： I2RT i2R 正弦量的有效值与振幅之间的关系：Im= 2 I 同理可得： Um= 2 U
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T
def
若一交流电压有效值为
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U = 220V ， 则其最大值为Um≈311V。
需要注意的是
工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如 电网的电压等级、设备铭牌的额定值等。但绝 缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑 电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。
在测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读 数一般为有效值。
F1 F2
+1
o
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复数减的图解
+j F=F1-F2
F1
若F1 = F2
F2
F o
+j -F2 F=F1-F2 F1 o +1
即两个复数相等 则必须是 |F1| = |F2|，q1=q2
或者 a1 = a2，jb1= jb2 (2) 乘除 用指数或极坐标形 式最好。 乘(除)法运算满足： 模相乘(除)， 辐角相加(减)。
(1)j＞0 ，称 u 超前 i， 或 i 滞后 u ，表明 u 比 i 先达到最大值；
j
(2)j＜0 ，称 i 超前 u， 或 u 滞后 i，表明 i 比 u 先达到最大值；
改变计时起点，初相角不同，但相位差不变！ 相位差一般取主值，即j ≤| p |。
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(3)特殊相位关系
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+1
F2
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设 F1= | F1 | q1 ，F2= | F2 | q2 则 F = F1 F2 = |F1 ||F2 | q1+q2
+j q2
F1 |F1 | q1 - q2 F= = F2 |F2 |
+j F1 |F2| F1 F1 q2 F = F 2 F2 q q2 q=q1-q2
区分电流、电压的瞬时值 ，振幅和有效值的符 号：i、u；Im、Um；I、U。 另外注意： IM (Imax) 指最大有效值。
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(2)角频率w、频率f、周期T (要素之二) i = Imcos(wt + fi) 反映正弦量变化快慢的参 i 数。 T f ：正弦量每秒钟变化 wt 的周波数，单位是Hz。 -p o p 2p 3p
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+j b
§8-1 复数
F
| F | = a2 + b2 q = arctg b a (3)指数和极坐标形式 根据欧拉公式 e jq =cosq +jsinq
o
q
a
+1
1. 复数的表示形式 (1)代数形式 F=a+jb Re[F]=a， Im[F]=b (2) 三角形式 F=| F |(cosq + jsinq ) a=| F |cosq，b=| F |sinq
+j q
Aejq A +1
qa o
e
p j 2
2
=j = -j 都是旋 转因子
e
-j p
e jp = -1
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A×j = jA，等于把 A 逆时针旋转90o。 A = -jA，等于把 A j
顺时针旋转90o。
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§8-2 正弦量
电路中按正弦规律变化 的电压或电流，统称为 正弦量。
i = Imcos(wt + fi)
i
fi<0
f i= 0
fi 反映正弦量的计时起 wt o p 2p 3p 点，定义为从靠近原 -p fi >0 点的最大值到原点的 距离用角度来表示。 对任一正弦量，初相可 注意 以任意指定。但对多个 ①同一正弦量，计时起 同频率正弦量，应相对 点不同，初相位不同。 于同一个计时起点确定 ②若正最大值发生在计 各自的相位。 时起点左侧，则初相 位为正，右侧为负。 常取主值：|fi|≤180o
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在线性电路中，若激励都是同频率的正弦量， 则响应也都是与激励同频率的正弦量。 在分析过程中，考虑的主要问题是：求解振幅或有 效值，初相或相位差。 因此，变换简单易行： . 已知：i = Im cos (wt + fi) Im = Im e jfi . 简写为 Im = Im fi . u=300 cos(wt+30o) V 反过来 Um = 300 30o V
第八章 相量法
内容提要
1.正弦量及其三要素、相位差的概念；
2.相量法的概念及其性质； 3.电路定律和元件VCR的相量形式。
重点
1.正弦量的相量表示法； 2.正弦量的相量差和有效值的概念； 3. R、L、C 各元件电压、电流关系的相量形式； 4.电路定律的相量形式。
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难点
(3) u1(t) =10cos(100pt+30o)V u2(t) =10cos(200pt+45o)V (4) i1(t) i2(t) = -3cos(100pt+30o)A =5cos(100pt-30o)A (3) w1≠w2， 不能进行相位比较。 (4) i2(t)=3cos(100pt-150o) j =-30o-(-150o)=120o
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得指数形式：
F = | F | e jq 或写成极坐标形式： F = |F| q
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复数加的图解 2. 复数的运算
(1)加减
+j F=F1+F2 F1 +1 o
用代数形式。
设 F1=a1+jb1 F2=a2+jb2 则 F1±F2 =(a1±a2)+j (b1±b2)
F2
+j F=F +F 1 2
1. 正弦量与相量之间的联系和区别；
2. 元件电压相量和电流相量的关系、相量图。 . 主要是相位关系 Im= 5∠45o A . Um oW o = 20 ∠ 45 . Z = 45 Im . Um= 100∠0o V 与其它章节的联系 是学习第 9、10、11、12章的基础。 必须熟练掌握相量法的解析运算。
频率为w 的正 (余)弦函数集合 变换
相量的集合
反变换
时域与相量域的映射
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注意：正弦量与相量的关系是一种数学变换 关系。不是相等的关系！
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正弦量→相量，可认为是正变换； 相量→正弦量，可认为是反变换。 . Im . . f I m = Im i Um 是 [Im e jfi e jwt ] 的复常数部分。 i = Imcos (wt+fi)