《大学物理》第七章 电磁感应 电磁场理论 (2)

s
B
dS
t
E 2R dB R2
dt
E R dB
2 dt
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例题7-5：如图，半径为R的无限长螺线管内部的磁场
B随时间作线性变化 ( dB c)，求管壁、管内外的感生
电场E.
E
r
R
B
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E
dt
l
E感生 dl
s
B
dS
t
E内
2r
dB dt
r 2
E内
r 2
dB dt
y
保守场
l
ES k
Ek dl
dS
S
0
B t
dS
无源场 非保守场
起源于正电荷，终止于负 电荷,不闭合
F qE
闭合线
F qEk
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例题7-5：如图，半径为R的无限长螺线管内部的磁场
B随时间作线性变化 ( dB c)，求管壁、管内外的感生
电场E.
dt
E
r
R
B
E
l
E感生 dl
l
磁链数Φ NBS 0N 2IS
l
自感
dΦ dt
0N 2S
l
dI dt
L dI dt
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自
d dt
L
dI dt
dI dt
0，自与反向
dI
dt
0，自与同向
L
0N 2S
l
自感系数（亨利）H、 mH 、 μH
自
d dt
d dI
dI dt
L d dI
L：回路中电流变化为 一个单位时在回路本身 所包围面积内引起的磁 链数的改变值.
这种变化是由什么原因的，回路中有电流产生。 称为电磁感应现象。
电磁感应现象中产生的电流称为感应电流， 相应的电动势称为感应电动势。
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二、楞次定律 楞次定律：感应电动势产生的感应电流方向，总是 使感应电流的磁场通过回路的磁通量阻碍原磁通量 的变化。
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三、法拉第电磁感应定律
当穿过回路所包围面积的磁通量发生变化时， 回路中产生的感应电动势的大小与穿过回路的磁通 量对时间的变化率成正比。
转动，求棒中的动生电动势。
解：取线元 d l ，方向沿O指向A
v l
i Blv
di vB d l
金属棒上总电动势为
i
L 0
Bv
d
l
L 0
Bl
dl
1 2
BL2
方向为A0，即O点电势较高。
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例7-3 一长直导线中通电流I，有一长为 l 的金属棒 与导线垂直共面(左端相距为a)。当棒以速度v 平行 与长直导线匀速运动时，求棒产生的动生电动势。
解： i Blv
di vB d x
B 0I
2πx
i
al a
0 Iv
2π
dx x
a
0 Iv ln a l
2π a
方向： BA
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解释 运动导体内电子受到洛伦兹力的作用。
Fm e(v B )
非静电场力做功
转变为电能
M
M
l
v
N
N
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§7-3 感生电动势 感应电场
S不变 B变
螺绕环中的磁感应强度大小为
B 0nI
通过N匝小线圈的磁通链为
ΦN NΦ N0nIS
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两个线圈间的互感为
M
ΦN I
N0nS
2.5 105 H 250 μH
（2）小线圈内产生的互感电动势大小为
21
M
dI dt
25 μV
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Homework Page281 7-2 7-4
例7-10 一密绕螺绕环，单位长度的匝数为 n =2000 m-1， 环的截面积为S =10 cm2，另一个 N =10匝的小线圈套绕 在环上，如图所示。转轴与磁场方向垂直。（1）求两个 线圈间的互感；（2）当螺绕环中的电流变化率为 dI/dt=10 A/s时，求小线圈内产生的互感电动势的大小。
解：（1）设螺绕环中通有电流 I 。
dΦ21 dt
0N1N2
l
S
dI1 dt
M 21
dI1 dt
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C2产生的磁场
B 0N2I2
l
穿过C1磁链数
Φ12
N1
0 N2 I 2
l
S
C1产生感应电动势 12
dΦ12 dt
0N1N2
l
S
dI2 dt
M12
dI2 dt
M 0 N1N2S
互感系数（亨利）
l
12
dΦ12 dI2
R dB
B
l
E
dl
s
t
dS
2 dt
E外
2r
dB dt
R 2
R2 dB
R
x E外 2r dt
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§7-4 自感应和互感应
一、 自感应 ---由于自身回路电流的变化，引起通过回路的磁通
量变化，产生感应电动势.
R
N、S、l 、I
i
d dt
管内B
0nI
0
N l
I
l 磁通量 BS 0NIS
感生电动势：导体不动，因磁场的变化产生的感 应电动势。
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§7-2 动生电动势
一、在磁场中运动的导线内的感应电动势
特例：
dΦ B d S Bl d x
i
dΦ dt
Bl d x Blv
dt
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例7-2 长为L的铜棒，在磁感强度为 B的均匀磁场中以 角速度 在与磁场方向垂直的平面内绕棒的一端O匀速
一、感应电场 ---变化的磁场在周围产生变化的电场
i
d dt
d(BS) dt
dB dt
BdS Blv 非静电性力由洛仑兹力产生 dt
dB S dt
变化的磁场产生变化的电场
dB
dt
i
s
dB dt
dS
I感生电流
E感生电场
i E感生 dl
l
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B
L Ei dl S t dS
说明
电磁场的基本方程
（1）变化的磁场能够在周围空间(包括无磁场区域) 激发感应电场。（2）感应电场的环流不等于零，表 明感应电场为涡旋场，所以又称为“涡旋电场”。
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感生电场与自由电荷产生的电场不同
静电场
感生电场
场源
正负电荷
变化的磁场
场 的 性 质
力线
作用力
SE
dS
1
0
q
有源场
l E dl 0
i
dΦ dt
式中的负号反映了感应电动势的方向，是楞次定律
的数学表示。
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磁通链数： Ψ NΦ
i
dΨ dt
N
dΦ dt
感应电流：
Ii
R
1 R
dΨ dt
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例7-1 一长直导线通以电流 I ，旁边有一个共面的矩
形线圈ABCD。求：穿过线圈的磁通量。若 I I0 sin t
中的感应电动势.
B I Φ I
L N I
L：回路中电流为一个单位 时通过这个回路所包围的 面积的磁链数.
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二、互感应 ---当相邻两回路中其中一回路电流发生变化，引起
另一回路磁通量变化，产生的感应电动势.
C2 N2
C1 N1 l
C1产生的磁场
B 0 N1I1
l
穿过C2磁链数
Φ21
N2
0 N1I1
l
S
C2产生感应电动势 21
第七章 电磁感应 电磁场理论
§7-1 电磁感应定律 §7-2 动生电动势 §7-3 感生电动势 感生电场 §7-4 自感应和互感应 *§9-5 磁场的能量 *§9-6 位移电流 电磁场理论 *§9-7 电磁场的统一性和电磁场量的相对性
§7-1 电磁感应定律 一、电磁感应现象
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结论 当穿过闭合回路的磁通量发生变化时，不管
解：Φ
B dS
ab 0I l dx
S
a 2πx
i
dΦ dt
0I0l sin t ln a b
2π
a
a
b
i
dΦ dt
I
l
0 I0 l cos t ln a b
2π
a
x dx
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i
dΦ dt
d(B S) dt
感应电动势
动生电动势 B不变 S变 感生电动势 S不变 B变
动生电动势：在恒定磁场中运动着的导体内产生 的感应电动势。
dI2 dt
M dΦ12 dI2
M：一个回路电流变化为一个单
M Φ12 I2
M Φ21 I1
位时在回路内引起另一回路的磁
链数的改变值.
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L 与 M 的关系：
M 0 N1N2S
l
L1
0 N12S
l
L2
0 N22S
l
M L1L2
完全耦合
M k L1L2 (0 k 1)
耦合系数
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7-13 7-14
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