ch2力矩、力偶、力系的简化
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合力FR 的大小
FR ( Fx )2 ( Fy )2 (8.33)2 (0.5)2 8.345kN
合力FR 的方向
cos Fx 8.33 0.998
3.6o FR 8.345
课堂练习：铆接薄板在孔心A、B、C处受三力作用，如图所 示。F1=100N，沿铅直方向；F3=50N，沿水平方向，并通 过点A；F2=50N，力的作用线也通过A点，尺寸如图，求此 力系的合力。
F Fxi Fy j + Fzk
i jk MO(F) r F x y z
Fx Fy Fz
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
MO (F ) 的解析表达式
[MO (F )]x i [MO (F )]y j [MO (F )]z k
MO(F) F d
+-
说明：① MO (F )是一代数量。
② F↑,d↑ MO (F ) ↑,转动效应明显。
③ MO (F ) 是影响转动的独立因素。 当F=0或d=0时，MO (F ) =0。
④单位：N.m，工程单位 kgf.m。 ⑤ MO (F ) =2S⊿AOB=Fd
空间问题中：力对点的矩 1.力对点之矩的矢量表示
M
x
(F
)2
M
y
(F
2
)
M
z
(F
)2
力对点之矩矢的方向
cos( M O，i )
M x (F ) MO (F )
cos(MO，j)
M y (F ) MO (F )
cos( M O，k )
M z (F ) MO(F)
通过计算力对轴之矩实现 计算力对点之矩矢
例 已知: P=2000N，C点在Oxy平面内。求力P对点O的矩。
解析表达式
注意：图中Fxy为力F在xoy面内的投影，它是一个矢量。
3.合力投影定理：
合力FR作用点仍为A点，且 n
FR = F1+ F2 + F3 + … +Fn=
F i
i 1
每一个分力和合力：
Fi = Fixi + Fiyj + Fizk
FR = FRxi + FRyj + FRzk
有
n
n
力对点之矩矢在通过该点之轴上的投影等于力对该轴之矩。
MO
(
F
) x
M x (F )
MO(F )y M y (F )
MO
(
F
) z
M z (F )
力对点之矩矢可表示为 MO (F ) M x (F )i M y (F ) j M z (F )k
力对点之矩矢的大小
MO(F )
三、力对轴之矩
M z (F ) M O (Fxy ) Fxyh
力对轴之矩等于力在垂直于该轴平面上的投影对轴 与平面交点之矩。
⑴ 力对轴之矩是代数量，判断正负由右手螺旋法则 确定，拇指指向与轴的正向一致为正，反之为负。
⑵ 力与轴相交或平行时，力对轴之矩为零。即力与轴 共面时，力对轴之矩为零。
解：①将力向坐标轴方向分解（二次投影法）
Pz Psin45 Pxy Pcos45 Px Pcos45sin60 Py Pcos45cos60
②求力对轴的矩
M z (P) M z (Px ) M z (Py ) M z (Pz ) 0.06 Px (0.05 Py ) 0 0.06P cos 45sin 60 0.05P cos 45cos 60 38.2(N m)
§2-2 力 偶
一、力偶及其性质 1.定义 力偶：作用于刚体上等值、反向、平行而不共线的
两个力组成的力系，记为（ F）, F '
力偶作用面、力偶臂d
力偶只能使物体产生转动，不能使物体产生移动。 力偶不能与一个力等效，力和力偶是静力学中两个基本元素。
力偶对物体的转动效应 用力偶矩矢M 来度量。
M rBA F
3.力偶的性质
性质一 力偶不能与一个力等效，力偶不能与一个力平衡。
性质二
力偶中的两个力对任一点之矩之和与矩心位置无关， 恒等于力偶矩矢量。
MO(F ) MO(F ) rA F rB F rA F rB F
(rA rB ) F rBA F M
解析表达式
注意：只有在直角坐标系内才有力在坐标轴上的投 影与力在该坐标轴方向的分力大小相等。
2.力在空间坐标轴上的投影与分解：
1、一次投影法（直接投影法）
Fx F cos , Fy F c影法） 当力与各轴正向夹角不易
合力矩定理：合力对某点之矩等于 各分力对同一点之矩的矢量和。
例：求图所示力F 对A 点之矩。
解：将力F 分解两垂直的力Fx 、Fy ，由合力矩定理可得 M A(F ) M A(Fx ) M A(Fy ) - Fcosα×b + Fsinα× a
课堂练习 试计算下列各图中力P 对点O的矩。
理论力学
§2-1 力的投影、力矩
一、力的投影
1.力在平面坐标轴上的投影与分解
Fx=F·cos
Fy=F·sin=F ·cos
j i
Fx Fx , Fy Fy Fx Fxi, Fy Fy j
反之：
F Fx 2 Fy 2
cos Fx
F
cos Fy
F
F = Fx + Fy Fxi Fy j
⑴ 力偶矩矢的大小：|M| = |rAB×F| = Fd ；力偶矩 矢的方位：力偶作用面的法向；力偶矩矢指向：右手螺 旋法则确定。
⑵ 力偶矩矢的解析表示式：M = Mx i + My j + Mz k ⑶ 平面力偶系，各力偶矩矢量互相平行，用标量表 示力偶矩的大小和转向，逆时针转为正，反之为负。
2.力偶的等效条件 两力偶的等效条件是两个力偶矩矢相等。
MO (P) 84.8i 70.7 j 38.2k (N.m)
例 图中A点作用三个与坐标轴方位一致的分力，试求其 合力对原点O点的力矩。
答案： M O Fz ai Fzbj (Fyb Fx a)k
Fz 对x、y轴都有矩
例 试求力F对OD之矩。F=10kN，各边长分别为20cm、 30cm、40cm。
力对点之矩与力对轴之矩的关系
MO (F ) ( yFz - zFy )i (zFx - xFz ) j (xFy - yFx )k [MO (F )]x i [MO (F )]y j [MO (F )]z k
M x (F ) -zFy + yFz
M y (F ) -xFz + zFx M z (F ) -yFx + xFy
FR FR2x FR2y FR2z ( Fix )2 ( Fiy )2 ( Fiz )2
cos FRx Fix ,
FR
FR
cos FRy Fiy ,
FR
FR
cos FRz Fiz
FR
FR
, , 为合力与三个坐标轴
n
MR = M1+M2+…+Mn= Mi i 1
Mi Mixi Miy j Mizk
MR M Rxi M Ry j M Rzk = Mixi + Miy j + Mizk
MR
2
M ix
答案： FR=161.2N， ∠（FR，F1）=29°44´
二、力对点之矩
力使物体可以产生
移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、转向
力对点之矩：力使物体绕某点（矩心）转动效应的度量。
在平面问题中：力对点之矩是代数量。 在空间问题中：力对点之矩是矢量。
平面问题中：力对点的矩
力矩矢的合成
力对点之矩矢服从矢量合成法则。力系对刚体产生 的绕某点的转动效应可用一个矩矢度量。
合力矩定理
MO(FR) = r FR = r (F1＋F2＋F3＋…＋Fn) ＝ r F1 + r F2 +…+ r Fn
＝MO(F1) + MO(F2)+… +MO(Fn)
n
＝ M O (Fi ) i 1
解：由于力对OD之力臂不是很明 了，故先求出力对O点之矩矢，再 将其投影到OD上去
[MO(F)]OD = MOD(F)
MO(F) = 0.4×10i = 4i kN·m
cos OA
20
20 0.371
OD 20 2 30 2 40 2 53.85
MOD (F ) = MO (F )cos 4 0.371 1.485kN.m
与平面情形类似
F Fx2 Fy2 Fz2
cos Fx , cos Fy , cos Fz
F
F
F
Fz Fy
Fx Fx , Fy Fy , Fz Fz
Fx
Fx Fxi, Fy Fy j, Fz Fzk F = Fx + Fy Fz Fxi Fy j + Fzk
力对坐标轴之矩的 解析表达式
M x (F ) M x (Fy ) M x (Fz ) -zFy + yFz M y (F ) M y (Fz ) M y (Fx ) -xFz + zFx M z (F ) M z (Fx ) M z (Fy ) -yFx + xFy
角α=3.5o。
②投影法（解析法）
建立坐标系如图所示， 三个力在坐标轴上的投影分 别为
F1x 0 F1 y 3kN
F2 x 4kN F2 y 0 F3x 5 cos 30o 4.33kN
F3y 5sin 30o 2.5kN
合力FR 在坐标轴上的投影为
FRx Fx 0 4 4.33 8.33kN FRy Fy 3 0 2.5 0.5kN
方向的夹角
例 固定在墙内的螺钉上作用有三个力如图，已知F1 = 3kN， F2 = 4kN，F3 = 5kN，求三个力的合力。
解: ①力多边形法（几何法）
三力构成平面汇交力 系，按比例作出三力首 尾相连，连接第一个力 矢的首端到第三个力矢 的尾端得三个力的合力 矢FR 。
量得合力矢的大小为 FR= 8.3kN ，与水平线偏
n
FRxi + FRyj + FRzk = Fix i + Fiy j + Fiz k
i 1
i 1
i 1
所以
n
FRx Fix i 1
n
FRy Fiy i 1
n
FRz Fiz i 1
合力在某一坐标轴上的投影等于各分力在同一坐标轴上的投影之和。
合力的大小和方向即可确定：
MO(F) r F
即：力对点之矩等于矩心到该力
作用点的矢径与该力的矢量积。
MO (F ) 的大小：
MO (F ) rF sin(r, F ) F h 2SOAB
方位：力与矩心所确定平面的法向
MO (F ) 的方向：
（定位矢量）
指向：右手螺旋法则判定
r xi yj zk
F ' F
性质三 ⑴ 力偶在其作用平面内可任意移转或移到另一平
行平面，不会改变对刚体的作用效应。
⑵ 保持力偶矩矢量的大小和方向不变，可改变力偶 中的力和力偶臂的大小，不会改变对刚体的作用效应。
M Fd M1 F1d1
力偶在同一刚体内是一自由矢量
二、力偶系的合成 力偶系：由多个力偶所构成的力系。
M x (P) M x (Px ) M x (Py ) M x (Pz ) 0 0 0.06Pz 0.06Psin 45 84.8(N m)
M y (P) M y (Px ) M y (Py ) M y (Pz ) 0 0 0.05Pz 0.05P sin 45 70.7(N m)
确定时，可先将 F 投影到xy面 上，然后再投影到x、y轴上，即
Fx F sin cos Fxy cos F cos cos Fy F sin sin Fxy sin F cos sin
Fz F cos F sin
FR ( Fx )2 ( Fy )2 (8.33)2 (0.5)2 8.345kN
合力FR 的方向
cos Fx 8.33 0.998
3.6o FR 8.345
课堂练习：铆接薄板在孔心A、B、C处受三力作用，如图所 示。F1=100N，沿铅直方向；F3=50N，沿水平方向，并通 过点A；F2=50N，力的作用线也通过A点，尺寸如图，求此 力系的合力。
F Fxi Fy j + Fzk
i jk MO(F) r F x y z
Fx Fy Fz
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
MO (F ) 的解析表达式
[MO (F )]x i [MO (F )]y j [MO (F )]z k
MO(F) F d
+-
说明：① MO (F )是一代数量。
② F↑,d↑ MO (F ) ↑,转动效应明显。
③ MO (F ) 是影响转动的独立因素。 当F=0或d=0时，MO (F ) =0。
④单位：N.m，工程单位 kgf.m。 ⑤ MO (F ) =2S⊿AOB=Fd
空间问题中：力对点的矩 1.力对点之矩的矢量表示
M
x
(F
)2
M
y
(F
2
)
M
z
(F
)2
力对点之矩矢的方向
cos( M O，i )
M x (F ) MO (F )
cos(MO，j)
M y (F ) MO (F )
cos( M O，k )
M z (F ) MO(F)
通过计算力对轴之矩实现 计算力对点之矩矢
例 已知: P=2000N，C点在Oxy平面内。求力P对点O的矩。
解析表达式
注意：图中Fxy为力F在xoy面内的投影，它是一个矢量。
3.合力投影定理：
合力FR作用点仍为A点，且 n
FR = F1+ F2 + F3 + … +Fn=
F i
i 1
每一个分力和合力：
Fi = Fixi + Fiyj + Fizk
FR = FRxi + FRyj + FRzk
有
n
n
力对点之矩矢在通过该点之轴上的投影等于力对该轴之矩。
MO
(
F
) x
M x (F )
MO(F )y M y (F )
MO
(
F
) z
M z (F )
力对点之矩矢可表示为 MO (F ) M x (F )i M y (F ) j M z (F )k
力对点之矩矢的大小
MO(F )
三、力对轴之矩
M z (F ) M O (Fxy ) Fxyh
力对轴之矩等于力在垂直于该轴平面上的投影对轴 与平面交点之矩。
⑴ 力对轴之矩是代数量，判断正负由右手螺旋法则 确定，拇指指向与轴的正向一致为正，反之为负。
⑵ 力与轴相交或平行时，力对轴之矩为零。即力与轴 共面时，力对轴之矩为零。
解：①将力向坐标轴方向分解（二次投影法）
Pz Psin45 Pxy Pcos45 Px Pcos45sin60 Py Pcos45cos60
②求力对轴的矩
M z (P) M z (Px ) M z (Py ) M z (Pz ) 0.06 Px (0.05 Py ) 0 0.06P cos 45sin 60 0.05P cos 45cos 60 38.2(N m)
§2-2 力 偶
一、力偶及其性质 1.定义 力偶：作用于刚体上等值、反向、平行而不共线的
两个力组成的力系，记为（ F）, F '
力偶作用面、力偶臂d
力偶只能使物体产生转动，不能使物体产生移动。 力偶不能与一个力等效，力和力偶是静力学中两个基本元素。
力偶对物体的转动效应 用力偶矩矢M 来度量。
M rBA F
3.力偶的性质
性质一 力偶不能与一个力等效，力偶不能与一个力平衡。
性质二
力偶中的两个力对任一点之矩之和与矩心位置无关， 恒等于力偶矩矢量。
MO(F ) MO(F ) rA F rB F rA F rB F
(rA rB ) F rBA F M
解析表达式
注意：只有在直角坐标系内才有力在坐标轴上的投 影与力在该坐标轴方向的分力大小相等。
2.力在空间坐标轴上的投影与分解：
1、一次投影法（直接投影法）
Fx F cos , Fy F c影法） 当力与各轴正向夹角不易
合力矩定理：合力对某点之矩等于 各分力对同一点之矩的矢量和。
例：求图所示力F 对A 点之矩。
解：将力F 分解两垂直的力Fx 、Fy ，由合力矩定理可得 M A(F ) M A(Fx ) M A(Fy ) - Fcosα×b + Fsinα× a
课堂练习 试计算下列各图中力P 对点O的矩。
理论力学
§2-1 力的投影、力矩
一、力的投影
1.力在平面坐标轴上的投影与分解
Fx=F·cos
Fy=F·sin=F ·cos
j i
Fx Fx , Fy Fy Fx Fxi, Fy Fy j
反之：
F Fx 2 Fy 2
cos Fx
F
cos Fy
F
F = Fx + Fy Fxi Fy j
⑴ 力偶矩矢的大小：|M| = |rAB×F| = Fd ；力偶矩 矢的方位：力偶作用面的法向；力偶矩矢指向：右手螺 旋法则确定。
⑵ 力偶矩矢的解析表示式：M = Mx i + My j + Mz k ⑶ 平面力偶系，各力偶矩矢量互相平行，用标量表 示力偶矩的大小和转向，逆时针转为正，反之为负。
2.力偶的等效条件 两力偶的等效条件是两个力偶矩矢相等。
MO (P) 84.8i 70.7 j 38.2k (N.m)
例 图中A点作用三个与坐标轴方位一致的分力，试求其 合力对原点O点的力矩。
答案： M O Fz ai Fzbj (Fyb Fx a)k
Fz 对x、y轴都有矩
例 试求力F对OD之矩。F=10kN，各边长分别为20cm、 30cm、40cm。
力对点之矩与力对轴之矩的关系
MO (F ) ( yFz - zFy )i (zFx - xFz ) j (xFy - yFx )k [MO (F )]x i [MO (F )]y j [MO (F )]z k
M x (F ) -zFy + yFz
M y (F ) -xFz + zFx M z (F ) -yFx + xFy
FR FR2x FR2y FR2z ( Fix )2 ( Fiy )2 ( Fiz )2
cos FRx Fix ,
FR
FR
cos FRy Fiy ,
FR
FR
cos FRz Fiz
FR
FR
, , 为合力与三个坐标轴
n
MR = M1+M2+…+Mn= Mi i 1
Mi Mixi Miy j Mizk
MR M Rxi M Ry j M Rzk = Mixi + Miy j + Mizk
MR
2
M ix
答案： FR=161.2N， ∠（FR，F1）=29°44´
二、力对点之矩
力使物体可以产生
移动效应--取决于力的大小、方向 转动效应--取决于力矩的大小、转向
力对点之矩：力使物体绕某点（矩心）转动效应的度量。
在平面问题中：力对点之矩是代数量。 在空间问题中：力对点之矩是矢量。
平面问题中：力对点的矩
力矩矢的合成
力对点之矩矢服从矢量合成法则。力系对刚体产生 的绕某点的转动效应可用一个矩矢度量。
合力矩定理
MO(FR) = r FR = r (F1＋F2＋F3＋…＋Fn) ＝ r F1 + r F2 +…+ r Fn
＝MO(F1) + MO(F2)+… +MO(Fn)
n
＝ M O (Fi ) i 1
解：由于力对OD之力臂不是很明 了，故先求出力对O点之矩矢，再 将其投影到OD上去
[MO(F)]OD = MOD(F)
MO(F) = 0.4×10i = 4i kN·m
cos OA
20
20 0.371
OD 20 2 30 2 40 2 53.85
MOD (F ) = MO (F )cos 4 0.371 1.485kN.m
与平面情形类似
F Fx2 Fy2 Fz2
cos Fx , cos Fy , cos Fz
F
F
F
Fz Fy
Fx Fx , Fy Fy , Fz Fz
Fx
Fx Fxi, Fy Fy j, Fz Fzk F = Fx + Fy Fz Fxi Fy j + Fzk
力对坐标轴之矩的 解析表达式
M x (F ) M x (Fy ) M x (Fz ) -zFy + yFz M y (F ) M y (Fz ) M y (Fx ) -xFz + zFx M z (F ) M z (Fx ) M z (Fy ) -yFx + xFy
角α=3.5o。
②投影法（解析法）
建立坐标系如图所示， 三个力在坐标轴上的投影分 别为
F1x 0 F1 y 3kN
F2 x 4kN F2 y 0 F3x 5 cos 30o 4.33kN
F3y 5sin 30o 2.5kN
合力FR 在坐标轴上的投影为
FRx Fx 0 4 4.33 8.33kN FRy Fy 3 0 2.5 0.5kN
方向的夹角
例 固定在墙内的螺钉上作用有三个力如图，已知F1 = 3kN， F2 = 4kN，F3 = 5kN，求三个力的合力。
解: ①力多边形法（几何法）
三力构成平面汇交力 系，按比例作出三力首 尾相连，连接第一个力 矢的首端到第三个力矢 的尾端得三个力的合力 矢FR 。
量得合力矢的大小为 FR= 8.3kN ，与水平线偏
n
FRxi + FRyj + FRzk = Fix i + Fiy j + Fiz k
i 1
i 1
i 1
所以
n
FRx Fix i 1
n
FRy Fiy i 1
n
FRz Fiz i 1
合力在某一坐标轴上的投影等于各分力在同一坐标轴上的投影之和。
合力的大小和方向即可确定：
MO(F) r F
即：力对点之矩等于矩心到该力
作用点的矢径与该力的矢量积。
MO (F ) 的大小：
MO (F ) rF sin(r, F ) F h 2SOAB
方位：力与矩心所确定平面的法向
MO (F ) 的方向：
（定位矢量）
指向：右手螺旋法则判定
r xi yj zk
F ' F
性质三 ⑴ 力偶在其作用平面内可任意移转或移到另一平
行平面，不会改变对刚体的作用效应。
⑵ 保持力偶矩矢量的大小和方向不变，可改变力偶 中的力和力偶臂的大小，不会改变对刚体的作用效应。
M Fd M1 F1d1
力偶在同一刚体内是一自由矢量
二、力偶系的合成 力偶系：由多个力偶所构成的力系。
M x (P) M x (Px ) M x (Py ) M x (Pz ) 0 0 0.06Pz 0.06Psin 45 84.8(N m)
M y (P) M y (Px ) M y (Py ) M y (Pz ) 0 0 0.05Pz 0.05P sin 45 70.7(N m)
确定时，可先将 F 投影到xy面 上，然后再投影到x、y轴上，即
Fx F sin cos Fxy cos F cos cos Fy F sin sin Fxy sin F cos sin
Fz F cos F sin