好用的抛物线对称性

好用的抛物线对称性

杨大为

我们知道，抛物线y ＝2ax bx c ++是以直线x ＝－2b a

为对称轴的轴对称图形，由此可以进一步得到如下性质：

（1）抛物线上纵坐标相同的两点是对称点；

（2）如果抛物线交x 轴于两点，那么这两点是对称点；

（3）抛物线上对称两点的纵坐标相等．

利用抛物线的对称性解决抛物线有关问题十分简洁，异常巧妙．

例1 已知抛物线y ＝2

ax bx c ++经过Ａ（2，－5）和Ｂ（－6，－5）两点，求这条抛物线的对称轴． 解析 此题的一般解法是：由已知，得4253665a b c a b c ++=-⎧⎨-+=-⎩

， 两式相减，得－32a ＋8b ＝０，即b ＝４a ，

所以抛物线的对称轴是x ＝－2b a ＝42a a

-＝－2. 从抛物线的对称性入手，解法十分简便．因为Ａ、Ｂ两点的纵坐标相同，所以Ａ、Ｂ两点关于抛物线的对称轴对称，因此，抛物线的对称轴经过线段ＡＢ的中点，而ＡＢ中点坐标是（－2，－5），所以抛物线的对称轴是x ＝－2．

例2 已知抛物线y ＝2ax bx c ++的对称轴是x ＝2，且经过点Ａ（2

，1），试判

断该抛物线是否经过点Ｂ（2

1）.

解析：

本题一般解法是：由已知，得(

(22

2221b a a b c ⎧-=⎪⎨⎪++++=⎩，

通过解上式得到c 与a 的关系式，然后然后再验证当x ＝2

时，y 是否等于1.这种解法显然是很烦琐．而从对称性入手那就简单多了．

因为点Ｂ与点Ａ的纵坐标相同，而点Ａ在抛物线上，因此要判断点Ｂ是否在抛物线上，只须判断点Ｂ和Ａ是否关于抛物线的对称轴x ＝2对称即可．

易知，点Ａ和Ｂ到直线x ＝2

于直线x ＝2对称，又点Ａ在抛物线上，x ＝2是抛物线的对称轴，所以点Ｂ在抛物线上，即抛物线经过点Ｂ．

例3 已知抛物线y ＝2

ax bx c ++的顶点是Ｍ（2，－9），且在x 轴上截得的线段ＡＢ的长是6，求a ，b ，ｃ的值．

解析：由对称性可知Ａ，Ｂ是关于抛物线的对称轴x ＝2对称的两点，又ＡＢ＝6，所以Ａ，Ｂ两点到直线x ＝2的距离都是3，因此，点Ａ，Ｂ的坐标分别是（－1，０），（5，０）.

将（－1，０），（5，０），（2，－9）三点代入y ＝2ax bx c ++，得

⎪⎩⎪⎨⎧-=++=++=+-.924,0525,0c b a c b a c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==.5,4,1c b a