06章弯曲应力-提高梁弯曲强度的措施&习题课(72学时-14)

W
M D max 438cm 3 应选28a号工字钢； 2
3）校核剪应力强度：
x
RC
2m
RD
A
RA RB
B
RA 50 6 x RB 6 x 10
AC段：QAB RA 50 6 x Q ABmax 50KN QCDmax 40KN CD段：QCD RA RC 40 6 x
l a
2
a
2
a
2
l a
2
解： 1）研究辅助梁： P
P 2 P 2
Pa 4
max
M max W2
Pa 4W2
P
4W2 a
例1：为了改善载荷的分布，在主梁AB上安置了辅助梁CD， 主梁和辅助梁的抗弯截面系数分别为W1，W2，材料相同， 试求辅助梁的合理长度a=？ P
对于抗拉性能=抗压性能的材料：应采用对称于中性轴的截面 对于抗拉性能≠抗压性能的材料：应采用不对称于中性轴的截面
受拉区域边缘到中性轴的距离； y2 : 受压区域边缘到中性轴的距离；
y1 :
当抗拉性能>抗压性能时：
当抗拉性能<抗压性能时：
T max C max
M max . y1 M max . y2 Iz Iz
查表:28a号工字钢的
IZ
* S Z max
28a号工字钢的剪应力强度足够;
24.6cm
b 8.5mm
例5:为提高吊车梁的强度,在原设计NO.40b工字型截面的上 下翼缘处焊接两块140mm*10mm的钢板,吊车连同起重量共 重 P 100KN , l 8m, 140MPa, 80 MPa, 又已知No.40b工字 钢的惯性矩 I Z 22800cm4 , I Z S Z 33.6cm, 试求: 1)确定钢板的最小长度 l ? 2)校核梁的强度;
3 P 2 2h
2
b( x )
b( x )
3P 4h
b( x )
3 Px .h2
若截面宽度b为常量，问截面高度h如何变化时，才能保 证该梁为等强度梁？
例1：为了改善载荷的分布，在主梁AB上安置了辅助梁CD， 主梁和辅助梁的抗弯截面系数分别为W1，W2，材料相同， 试求辅助梁的合理长度a=？ P
l l
y
解: 1)根据C,D截面的正应力强度条件确定 l 对于C截面,随着P的移动,弯矩地不断变化,当P移动到C截面 时,在C截面上引起的弯矩最大;
P
(单位:mm)
C
D
M A (F ) 0
P (l l ) RB 2l P (l l ) Y 0 RA 2l
A
RA RB
P
C
D
400
A B
d 12.5 z 140 * 10
l l
y
(单位:mm)
P
C
D
400
A B
d 12.5 z 140 * 10
l l
y
(单位:mm)
分析:
1) 当P移动到中点截面时,在中点截面引起的弯矩最大, 此时中点截面是正应力的危险截面; 同时最大弯矩与 l 无关; 2)当P移动到两端截面时,在两端截面引起的剪力最大 此时两端截面是剪应力的危险截面; 同时最大剪力与 l 无关;
y1 y2 y1 y2
y1 T y2 C
三、等强度梁：
1、变截面梁： 2、等强度梁：
M ( x ) : 某一截面上的弯矩； W ( x ) : 对应截面的抗弯截面系数
max
l 2
x
M ( x) W ( x)
W ( x)
M ( x)

例6：在No.18工字钢 梁上作用着可移动载 荷P，为提高其承载能 力，试确定a，b的合 C 理数值及相应的许可 载荷。 160 MPa 解：2）P在BD段移动：
P
D
a
A
B
b
l 12m
P
C
A B
D
P移动到D点时，B截面的弯矩最大：
M B max P .b
例6：在No.18工字钢 梁上作用着可移动载 荷P，为提高其承载能 力，试确定a，b的合 C 理数值及相应的许可 载荷。 160 MPa 解：3）P在AB段移动：
P
P
D
a
A
B
b
l 12m
C
A B
D
P移动到AB段中点时，中点截面的弯矩最大：
P M中点max （l a b) 4
例6：在No.18工字钢 梁上作用着可移动载 荷P，为提高其承载能 力，试确定a，b的合 C 理数值及相应的许可 载荷。 160 MPa
P
D
a
A
B
b
l 12m
x
RC
2m
RD
A
RA RB
RC 10 KN RD 50 KN RD RC B
所以：最大弯矩发生 在 RD 的作用面上
RA 50 6 x RB 6 x 10
M B (F ) 0
RA .l RC (l x ) RD .(l x 2) RA RB RC RD
DB段：QDB RB 6 x 10
Qmax 58 KN
Q DB max 58KN
P
Q
4m
A
B
C
D
1m 1m
l 10m
x
RC
2m
RD
A
RA
* Qmax . S Z max max 2. I Z .b
B
RB
RA 50 6 x RB 6 x 10
max 13.9 MPa
4）确定a，b的合理数值：
M A max M B max M中点max
max
l a l a
M max W2
2
P
a
2
a
2
P
2
P (l a ) 4W1
P 4W1 la
4W2 a
2）研究主梁：
2 2
P
P
2
P (l a ) 4
P
2
4W1 4W2 la a
例2：由脆性材料制成的梁，其截面如图所示， C 2 T , b=100mm，t=10mm，试确定截面的合理高度h=？
t
h2
z
h


yb

解:很显然截面的形心应该偏下 所以中性轴也应该偏下;
h1 h2
2t
h1
C T
所以截面的中性轴以下应 该受拉,以上应该受压;
T max
M .h1 W
C max
h1 1 h2 2
T max T 最合理的截面应该满足: C C max
B
P
C
D
M C max RA .
l l 2
A
RA RB
B
C max
WZ
P (l 2 l 2 ) 4l M C max WZ
2)校核中点截面的正应力强度:
P
IZ ymax
l 3.6m
C
D
M中点max
Pl 4
max
A B
M中点max . ymax IZ
3)对于C,D截面,其面积小于中点截面,弯矩也小于中点截面的最大弯矩, 所以C,D截面应该是正应力的危险截面, 同时其最大弯矩与l 有关; 4)对于C,D截面,其面积等于两端截面,同时剪力小于两端截面的最大剪力, 所以C,D截面应该不是剪应力的危险截面,
P
C
D
400
A B
d 12.5 z 140 * 10
l l
M中点max
Pl 4
400
d 12.5 z 140 * 10
max
M中点max . ymax IZ
y
I Z I Z工字钢 2. I Z矩形
I Z工字钢 22800cm 4
140 * 103 I Z矩形 140 * 10 * ( 200 5)2 12
ymax 200 10
DB段: Q RB 0; 所以弯矩图右下倾斜;
结论:两个大小 相同,距离不变 的载荷同时在 B 简支梁上移动, 则梁上的最大 弯矩一定发生 在某一载荷的 作用截面上.
CD段: Q RA P; 若大于0, 则弯矩图右上倾斜; 此时最大弯矩发生在D截面; 若小于0, 则弯矩图右下倾斜; 此时最大弯矩发生在C截面;
P
l 2
P
P 2
2
图示简支梁，材料的许用正应力， 许用剪应力分别为： ; 横截面形状为矩形，已知截面高度 h为常量，问截面宽度b如何变化时 ，才能保证该梁为等强度梁？
P 2
解： 梁的结构对称，载荷对称 两边的约束反力均为
P M ( x) x 2 M ( x) W ( x)
截面宽度b的变化也应该对称，所以我们只需要考虑一半即可；
max 121.5 MPa
中点截面的正应力强度足够
P
C
D
400
A B
d 12.5 z
l l
y
3)校核两端截面的剪应力强度:
Qmax P
max
Iz S
*
* Qmax . S z max I Z .b
两端截面的剪应力强度足够
b 12.5mm
33.6cm
z max
Y 0
dM D 0 dx
M D RB .(l x 2) (6 x 10).( l x 2) 38 x 80 6 x 2
x 19
6
M D max 140.17 KN .m
P
Q
4m
Awk.baidu.com
B
C
D
1m 1m
l 10m
max
M D max 2W
P
Q
4m
A
B
C
D
1m 1m
l 10m
解：1）研究起重机：
P
Q
MC ( F ) 0
RD .2 Q.1 P .5 0 RD 50 KN
RC RD
Y 0
RC RD Q P
RC 10 KN
P
Q
4m
A
B
C
D
1m 1m
l 10m
2）研究梁：
b( x )h2 W ( x) 6 b( x ) h 2 Px 6 2
x 0; b( x ) 0

b( x )
3 Px .h2
l x 0, 2
b(x )
不能满足剪应力的强度条件
l 2
P
l 2
max
P P 2
P 2 P 2
3 Qmax 2 b( x )h
§6-5 提高梁弯曲强度的措施
max
M max W
Mmax
W
一、合理安排梁的是受力情况，以尽量降低最大弯矩； 1、合理地布置梁的支座； 2、合理地布置载荷； 3、在情况许可时，合理地安排载荷的作用方式； 二、选择合理的截面形状：
1. W A
来衡量截面的合理程度
工字形截面 矩形截面 圆形截面 矩形截面竖放 矩形截面横放 2、在考虑截面合理形状时，还要考虑材料的性能；
h2 160h 4800 0
h 120mm; h 40mm
例3:桥式起重机大梁上的小车的每个轮子对大梁的压力均为 P,问小车在什么位置,梁内的弯矩最大?最大弯矩=?
P A
d
P B D P
C
x
解: 1)分析梁的受力:
A
RA
d
P
RB
AC段: Q RA 0; 所以弯矩图右上倾斜;
max 23.8 MPa
例6：在No.18工字钢 梁上作用着可移动载 荷P，为提高其承载能 力，试确定a，b的合 C 理数值及相应的许可 载荷。 160 MPa 解：1）P在AC段移动：
P
P
D
a
A
B
b
l 12m
C
A B
D
P移动到C点时，A截面的弯矩最大：
M Amax P .a
t
h S zI AI . y I h.t .(h1 ) h.t . h 2 6
h


yb

h2
z
S zII AII . y II (b 2t ).2t .(h1 t )
2t
h1
h (b 2t ).2t .( t ) 3 S z 2 S zI S zII 0
P1
d
P2
A
B
C
D
结论:两个大小不同,距离不变的载荷同时在 简支梁上移动,则梁上的最大弯矩一定发生 在比较大的载荷的作用截面上.
例4:起重机的梁是由两根工字钢组成,起重机的自重Q=50KN, 起重量P=10KN, 许用正应力为 160MPa ,许用剪应力为: 100MPa, 不考虑梁的自重, 按正应力强度条件选择工字钢 的型号,然后再校核其剪应力强度.
h1 h2 h
1 h1 h 3
M .h2 W

因为Z轴是中性轴,
2 h2 h 3 I II Sz 0 S z 2 S z S z 0
例2：由脆性材料制成的梁，其截面如图所示， C 2 T , b=100mm，t=10mm，试确定截面的合理高度h=？