高等数学 第二类曲线积分与路径无关问题1

1 1 4 2 2 ' 4 xydx + ydy y ⋅ y ⋅ ( y ) + y d y 4 = = ∫L ∫−1 ∫0 y dy = 5 。
[
]
解法 2 当把曲线 L 分成 AO 与 OB 两部分时，在每一部分上 y 都是 x 的单值 函数。在 AO 上 y = − x ， x 由 1 变到 0 ；在 OB 上， y = x ， x 由 0 变到 1 。于是
L
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫α {P[ϕ (t ),ψ (t )]ϕ (t ) + Q[ϕ (t ),ψ (t )]ψ (t )}dt
β
' '
L
这里的 α 是曲线 L 的起点 A 所对应的参数值，β 是曲线 L 的终点 B 所对应的参数 值，并不要求 α < β 。 若曲线 L 的方程为 y = f ( x), x = a 对应于 L 的起点， x = b 应于 L 的终点，则
L1 L2
曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在 D 内与路径无关。
L
定理：以下条件等价 (1) 在区域 D 内曲线积分与路径无关的充分； (2) D 内沿任一闭曲线的积分为零； (3) 设开区域 D 是一个单连通域， 函数 P ( x, y ) 以及 Q ( x, y ) 在 D 内具有一阶连 续偏导数且 ∂P ∂Q = 在 D 内恒成立； ∂y ∂x
L
(1) L 为抛物线 y 2 = x 上从点 A(1,−1) 到点 B (1,1) 的一段弧。 (2) L 为从 A 到点 B 的直线段. 解法 1 (1)由 y 2 = x 知 y 不是 x 的单值函数，因此不能运用公式（2） ，但可运 用公式（3） ，这里 x = y 2 ， y 从 − 1 变到 1，于是
0
∫
π
0
dx ∫
a sin x 0
( 2 − 3 y 2 ) dy + π =π +
4 3 a − 4a 。 3
8 用一元函数极值的方法得 a = 1 时达到最小值 π − 。 3
4. 平面曲线积分与路径无关的条件 从定义我们知道，曲线积分的值与被积函数与积分的路径有关，但也有特殊 情形，如重力对物体作的功只与起点、终点位置有关，与物体移动的路径无关； 定义： （曲线积分与路径无关问题） 设 D 是 xoy 平面上的一个开区域，P ( x, y ) 以及 Q ( x, y ) 在 D 内具有一阶阶连续偏导数.如果对 D 内任意两点 A 与 B ，以及 D 内从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1 、 L2 ，恒有 ∫ Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy ，则称
3 2
3
(2) 直线 AB 的方程为 x = 1 , dx = 0 , y 从 − 1 到 1 ,于是
∫ xydx + ydy = ∫
L
1
−1
ydy = 0
从这个例子可以看出, 对坐标的曲线积分沿不同的路径,曲线积分不一定相等. 3. 格林公式及其应用 格林公式 : 设平面闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P ( x, y ) 及
∫
L
f ( x, y )ds = ∫ f [x, g ( x)] ⋅ 1 + g '2 ( x)dx ；
d a
⎧ x=x 把 线 弧 L 的 方 程 为 y = f ( x) 化 作 参 数 方 程 ⎨ ， (a ≤ x ≤ b) ， ⎩ y = g ( x)
∫
L
f ( x, y )ds = ∫ f [h( y ), y ] ⋅ 1 + h '2 ( y )dy
=
3a 2 2
∫
2π
0
3 sin 2 t cos 2 tdt = πa 2 . 8
例 3 在过点Ｏ(0,0)和Ａ(π,0)的曲线族 y = a sin x 中，求一条曲线Ｃ，使沿 该曲 线从Ｏ到Ａ的线积分 ∫ (1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy 的值最小。
C
解 本题可用代入法直接求解，这里采用“补线法”用格林公是求解。 令 C 0 : y = 0, x : π → 0 ，即 AO 直线段。
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫ {P[x, f ( x)] + Q[x, f ( x)] f
b
'
L
a
( x) dx ；
}
若曲线 L 的方程为 x = g ( y ), y = c 对应于 L 的起点， y = d 应于 L 的终点， 则
∫
L
P( x, y )dx + Q( x, y )dy = ∫ P[g ( y ), y ]g ' ( y ) + Q[g ( y ), y ] dy 。
A=
1 2
∫
L+
xdy − ydx 。
例 2 计算星形线 x = a cos 3 t , y = a sin 3 t 所围图形的面积. 解 由公式(2)得
A=
1 xdy − ydx + 2 ∫L 1 2π = ∫ [ a cos 3 t ⋅ 3a sin 2 t cos t −a sin 3 t ⋅ 3a cos 2 t (− sin t )]dt 2 0
d c
(c ≤ y ≤ d )
2. 第二型曲线积分 (1) 第二型曲线积分的模型: 设有一平面力场 F ( x, y ) = P ( x, y )i + Q ( x, y ) j ， 其中 P ( x, y ), Q ( x, y ) 为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点 A 沿光滑曲线
L 运动到点 B ，求力场的力所作的功 W 。
例 5 设函数 ϕ ( y ) 具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L 上，曲线积分
∫
ϕ ( y )dx + 2 xydy
2x 2 + y 4
L
的值恒为同一常数.
（I） 证明： 对右半平面 x>0 内的任意分段光滑简单闭曲线 C， 有 （II）求函数 ϕ ( y ) 的表达式.
∫ xydx + ydy = ∫
L
OA
0
xydx + ydy + ∫ xydx + ydy
OB
= ∫ x(− x ) + (− x )(− x ) ' dx + ∫ x x + x ( x ) ' dx
1 0
[
]
1
[
]
=∫
0
1
1 1 1 4 (− x + )dx + ∫ ( x 2 + )dx = 0 2 2 5
∫Leabharlann Baidu
C
(1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy = ∫
C + c0
(1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy − ∫ (1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy
C0
=
∫∫ ( 2 − 3 y
D
2
)dxdy − ∫ (1 + 0 3 ) dx =
π
W = ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy ，
L
(2)设 L 为有向曲线弧， − L 为与 L 方向相反的有向曲线弧，则
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = −∫
L
−L
P( x, y )dx + Q( x, y )dy
即第二型曲线积分方向无关 ⎧ x = ϕ (t ) (3)设 xoy 平面上的有向曲线 L 的参数方程为 ⎨ ， 当参数 t 单调地由 α ⎩ y = ψ (t ) 变到 β 时,曲线的点由起点 A 运动到终点 B , ϕ (t ) 、ψ (t ) 在以 α 及 β 为端点的闭区 间上具有一阶连续导数， 且 ϕ '2 (t ) + ψ '2 (t ) ≠ 0 ， 函数 P ( x, y ) 、Q ( x, y ) 在 L 上连续， 则曲线积分 ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy 存在，且
则曲线积分 ∫ f ( x, y )ds 存在，且
L
∫
L
f ( x, y )ds = ∫ f [ϕ (t ),ψ (t )] ⋅ ϕ '2 (t ) + ψ '2 (t )dt (α < β )
β α
特别,当 f ( x, y ) = 1 时,
∫
L
f ( x, y )ds 表示曲线弧 L 的弧长。
当曲线弧 L 的方程为 y = g ( x) (a ≤ x ≤ b) ， g ( x ) 在 [a, b] 上有连续的导数，则
(4) Pdx + Qdy 为全微分．
例 3 计算 ∫ (1 + xe 2 y )dx + ( x 2 e 2 y − y 2 )dy ,其中 L 是从点 O (0,0) 经圆周
L
( x − 2) 2 + y 2 = 4 上半部到点 A( 4,0) 的弧段。 解 直接计算曲线积分比较难,先判断是否与积分路径无关. 这里 P( x, y ) = 1 + xe 2 y , Q( x, y ) = x 2 e 2 y − y 2 , 有 ∂P ∂Q ,且 P ( x, y ) 与 Q ( x, y ) 在全平面上有一阶连续偏导数. = 2 xe 2 y = ∂x ∂y
L1 L2
与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。 (3)对弧长的曲线积分的计算 ⎧ x = ϕ (t ) 设 f ( x, y ) 在 曲 线 弧 L 上 有 定 义 且 连 续 , L 的 参 数 方 程 为 ⎨ ， y = ψ ( t ) ⎩
(α ≤ t ≤ β ) ,其中 ϕ (t ) 、ψ (t ) 在 [α , β ]上具有一阶连续导数，且 ϕ '2 (t ) + ψ '2 (t ) ≠ 0 ，
因此这个曲线积分与路径无关.为便于计算,取直线段 OA 作为积分路径.于是
∫ (1 + xe
L
2y
)dx + ( x 2 e 2 y − y 2 )dy = ∫ (1 + xe 2 y )dx + ( x 2 e 2 y − y 2 )dy
OA
= ∫ (1 + x)dx = 12
0
4
例 4 计算 I = ∫
xdy − ydx ,其中 L 为: L x2 + y2
（1）任一简单闭曲线,该闭曲线包围的区域不含有原点; （2）以原点为圆心的任一圆周. 解 这里 P ( x, y ) =
−y x , Q ( x, y ) = 2 , 2 x +y x + y2
2
∂Q y2 − x2 ∂P = 2 = ,且 P ( x, y ) 与 Q ( x, y ) 在不含原点的任意一个区域内具有一 2 2 ∂x ( x + y ) ∂x 阶连续偏导数. （1） 这个曲线积分与路径无关,所以
d c
{
}
同样，以上并不要求 a < b ， c < d 。 公式可推广到空间曲线 C 上对坐标的曲线积分的情形， 若空间曲线 L 的参数方程为 x = ϕ (t ), y = ψ (t ), z = ω (t ) ，则
∫
=
C
P( x, y, z )dx + Q( x, y, z )dy + R( x, y, z )dz
曲线积分与路径无关问题
1. 第一型曲线积分 (1)对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧 L ： AB ,其线密度为
ρ ( x, y ) 求弧 AB 的质量 m 。
m = ∫ f ( x, y )ds ,
L
(2)若 L1 = AB, L2 = BA ，则 ∫ f ( x, y )ds = ∫ f ( x, y )ds ，即对弧长的曲线积分
I =∫ xdy − ydx = 0. x2 + y2
L
（2） 由这一圆周所包围折区域内含有原点,因此不满足定理(3)及格林公式的条件, ⎧ x = r cosθ 只能直接计算.这一圆周 L 的参数方程为 ⎨ , (0 ≤ ϑ ≤ 2π ) , ⎩ y = r sin θ 则 I =∫
2 2 2 2π r (cos θ + sin θ ) xdy − ydx = dθ = 2π . ∫0 L x2 + y2 r2
∫α {P[ϕ (t ),ψ (t ),ω (t )]ϕ (t ) + Q[ϕ (t ),ψ (t ),ω (t )]ψ
β
'
'
(t ) + R[ϕ (t ),ψ (t ), ω (t )]ω ' (t ) dt 这 里
}
下限 α 为曲线 C 的起点所对应的参数值，上限 β 为曲线 C 的终点所对应的参数 值。 例 1 计算 ∫ xydx + ydy ，其中
Q ( x, y ) 在 D 上具有一阶连续偏导数，则
∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = ∫
D
∂Q
∂P
L+
Pdx + Qdy
其中 L+ 是 D 的正向边界曲线。 在公式(1)中取 P = − y , Q = x ，可得 2∫∫ dxdy = ∫ + xdy − ydx ，
D L
上式左端为闭区域 D 的面积 A 的两倍，因此计算有界闭区域的 D 面积的公式为: