命题及其关系、充分条件与必要条件(教案)

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

活动一、要点梳理

1．命题的概念

在数学中把用语言、符号或式子表达的，能够________的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题

(2)四种命题间的逆否关系

(3)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性________关系．

3．充分条件与必要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的__________，q是p的________；

(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的____________．

活动二、例题赏析

题型一四种命题的关系及真假判断

例1以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．

①“若log2a>0，则函数f(x)＝log a x (a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；

②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；

③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；

④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．

有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．

其中真命题的序号为________．

题型二 充分、必要、充要条件的概念与判断

例2 指出下列命题中，p 是q 的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．

(1)在△ABC 中，p ：∠A ＝∠B ，q ：sin A ＝sin B ；

(2)对于实数x 、y ，p ：x ＋y ≠8，q ：x ≠2或y ≠6；

(3)非空集合A 、B 中，p ：x ∈A ∪B ，q ：x ∈B ；

(4)已知x 、y ∈R ，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，

q ：(x －1)(y －2)＝0.

给出下列命题：

①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；

②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；

③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则A ＝30°是B ＝60°的必要不充分条件．

其中真．

命题的序号是________． 题型三 利用充要条件求参数

例3 已知p ：⎪⎪⎪⎪

⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)，且q p ⌝⌝是的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．

活动三、反馈练习

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10、已知p ：x 2－4x －32≤0；q ：[x －(1－m )][x －(1＋m )]≤0 (m >0)．若“非p ”是“非q ”

成立的必要但不充分条件，求m 的取值范围．

11、已知a >12

且a ≠1，条件p ：函数f (x )＝log (2a －1)x 在其定义域上是减函数，条件q ：函数g (x )＝x ＋|x －a |－2的定义域为R .如果“p 或q ”为真，试求a 的取值范围．

探究提高 (1)首先求出p 真、q 真的条件，即a 的范围．

(2)由“p 或q ”为真，判断出p 、q 的真假．

12、