三角形四心的向量性质练习.doc

三角形“四心”的向量

一、三角形的重心的向量表示及应用

命题一已知 A，B，C是不共线的三点，G是△ABC内一点，若uuur uuur uuur

0．则 G 是△ABC 的重心．

GA GB GC

uuur uuur uuur

证明：如图 1 所示，因为GA GB GC 0，

所以uuur uuur uuur GA (GB GC) ．

uuur uuur

以 GB ， GC 为邻边作平行四边形 BGCD ，

uuur uuur uuur uuur uuur

则有 GD GB GC ，所以 GD GA ．

又因为在平行四边形BGCD 中， BC 交GD 于点E，

uuur uuur uuur uuur

所以 BE EC，GE ED ．

所以 AE 是△ABC的边BC的中线．故G是△ABC的重心．

点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．

例 1

uuur uuur

b ，如图 2 所示，△ABC的重心为G，O为坐标原点，OA a ， OB

uuur uuur

OC c ，试用 a， b， c 表示 OG ．

解：设 AG交 BC于点M，则M是 BC的中点，

a OG GA

b OG GB

c OG GC

图 2

a b c OG GA GB GC

而 a b c 3OG0

a b c

OG

3

变式：已知 D ，E ，F

分别为 △ABC 的边 BC ，AC ，AB 的中点．则

uuur uuur uuur AD BE CF

0．

证明：如图的所示，

AD

3

GA

2

BE

3 GB 2 CF

3 GC

2

AD BE CF

3 (GA GB GC)

2

GA GB GC 0

uuur uuur uuur

AD BE CF 0 ．．

图 3

变式引申：如图 4，平行四边形 ABCD 的中心为 O ，P 为该平面上任意一点，

uuur 1 uuur uuur uuur uuur 则 PO ( PA PB PC PD)．

4

uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur 证明： Q PO (PA PC) ， PO 2 (PB PD) ，

2

uuur 1 uuur uuur uuur uuur

PO 4 (PA PB PC PD) ．

点评：（ 1）证法运用了向量加法的三角形法则，

证法 2 运用了向量加法的平行四边形法则． （ 2）若 P

uuur uuur uuur uuur

与 O 重合，则上式变为 OA OB OC OD 0．

例 2. 已知 O 是平面内一点，

A, B,C 是平面上不共线的三点，动点 P 满足

OP

1 ，

0,，则动点 P 的轨迹一定通过

ABC 的

OAABBC

2

A. 重心

B. 垂心

C. 外心

D. 内心

题 2：已知 O 是平面上一定点， A、B、 C 是平面上不共线的三个点，动点P 满uuur uuur uuur uuur

[0, ) .则P点的轨迹一定通过△ABC的( ) 足 OP OA (AB AC),

A. 外心

B. 内心

C. 重心

D. 垂心

uuur uuur uuur

解：由已知得 AP (AB AC ) ，设BC的中点为D，则根据平行四边形法

则知点 P 在 BC的中线 AD 所在的射线上，故 P 的轨迹过△ ABC的重心，选 C.

题 3：已知 O 是平面上的一定点， A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P

uuur uuur

uuur uuur

( uuur

AB

uuur

AC

) ,[0, ) ,则动点P的轨迹一定通过

满足OP OA

| AB | sin B| AC | sin C

△ABC的()

A. 重心

B. 垂心

C. 外心

D. 内心

uuur

uuur uuur

( uuur

AB

uuur

AC

) ，

解：由已知得 AP

| AB | sin B | AC | sin C

uuur uuur uuur

uuur uuur uuur

由正弦定理知 | AB | sin B | AC | sin C ，∴ AP ( AB AC) ，

| AB |sin B

设 BC的中点为 D，则由平行四边形法则可知点 P 在 BC 的中线 AD 所在的射线上，所以动点 P 的轨迹一定通过△ ABC的重心，故选 A .

题 7：已知 A、B、C 是平面上不共线的三点， O 为△ ABC的外心，动点 P 满足

uuur uuur

(1 uuur

(1 2

uuur

R, 0) ，则P的轨迹一定

OP 1 [(1 )OA )OB )OC] (

3

通过△ ABC的( )

A. 内心

B. 垂心

C. 重心

D. AB 边的中点

uuur uuur uuur 1 uuur uuur

2(1 uuur

解： CP OP OC = [(1 )OA (1 )OB )OC]

3

1 uuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur

= [( OA OC) (OB OC)] = (CA CB) ,由平行四边形法则

3 3

uuur uuur

0 ，所以 P 的轨迹在 AB 边的中线上，知 CA CB 必过 AB 边的中点，注意到

但不与重心重合，故选 D.