平面任意力系的平衡条件和平衡方程

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理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
一、平面任意力系平衡的必要
和充分条件 二、关于平面任意力系的例题 三、平面任意力系平衡方程的 其他形式 四、平面平行力系
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
一、平面任意力系平衡 的必要和充分条件
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
(2)列平衡方程
取坐标系如图3-7所示,列出平衡方程:
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
(3)解方程
解上述方程,得
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
例 3-4
自重为 P = 100 kN 的 T 字型刚架 ABD, 置于铅垂面内,载荷如图 3-8a 所示。其中 M = 20 kN· m , F = 400 kN ,q = 20 kN/m , l=1m。 试求固定端 A 的约束力。
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2.平面任意力系平衡的必要条件 由上一节分析结果可见:若主矢和主矩 有一个不等于零,则力系应简化为合力或合 力偶;若主矢与主矩都不等于零时,可进一 步简化为一个合力。 上述情况下力系都不能平衡,只有当主 矢和主矩都等于零时,力系才能平衡,因此, 式 (3-6) 又是平面任意力系平衡的必要条 件。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
其作用线可利用合力矩定理确定:
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式中,h 是点 A 到集中力 F1 的距离,由上 式求得 h = l , 即集中力作用于三角形分 布载荷的几何中心。 刚架受力图如图3-8b 所示。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-8 b
(2)在平面任意力系情形下,矩心应取 在多个未知力的交点上,而坐标轴应当与尽 可能多的未知力相垂直。
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三、平面任意力系平衡 方程的其他形式
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在例3-3中,若以方程 代方程

可以不解联立方程直接求
得 Fay 值。因此在计算某些问题时,采用力 矩方程往往比投影方程简便。 下面介绍平面任意力系平衡方程的其他 两种形式。
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(2)按图示坐标列平衡方程
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(3)解方程
解方程,求得
负号说明图中所设方向与实际情况相反,即 MA 为顺时针转向。
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解题技巧:
(1)从上述例题可见,选取适当的坐标 轴和力矩中心,可以减少每个平衡方程中的 未知数的数目。
1.平面任意力系的充分条件 现在讨论静力学中最重要的情形,即平 面任意力系的主矢和主矩都等于零的情形 (3-6)
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显然,主矢等于零,表明作用于简化中 心 O 的汇交力系为平衡力系;主矩等于零, 表明附加力偶系也是平衡力系,所以原力系 必为平衡力系。 因此,式(3-6)为平面任意力系的充分 条件。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-6
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解:
(1)以起重机为研究对象
以起重机为研究对象,它所受的主动力 有P1和 P2。由于对称性,约束力和主动力都 位于同一平面内。止推轴承 A 处有两个约束 力FAx ,FAy ,轴承 B 处只有一个与转动轴垂 直的约束力FB ,约束力方向如图 3-6 所示。
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(2)列平衡方程
取坐标系如图3-6 所示,列平面任意力 系的平衡方程,即
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(3)求解方程
求解以上方程,得
FB 为负值,说明它的方向与假设的方向相 反,即应指向左。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
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解: (1)选梁AB为研究对象 梁 AB 所受的主动力有: 均布载荷 q, 重力 P 和矩为 M 的力偶。 梁AB所受的约束力有: 铰链 A 的两个分力 Fax 和 FAy ,滚动支 座 B 处铅直向上的约束力FB。
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理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-8 a
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解:
(1)取 T 字形钢架 ABD 为研究对象
钢架ABD上除主动力外,还受有固定端 A 处的约束力FAx ,Fay 和约束力偶 MA 。 线性分布载荷可视为一组平行力系,将 其简化为一个集中力F1 ,其大小为
(3-7)
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结论:
平面任意力系平衡的解析条件是: 所有各力在两个任选的坐标轴上的投影 的代数和分别等于零,以及各力对于任意一 点的矩的代数和也等于零。
式(3-7)称为平面任意力系的平衡方程 (为便于书写,下标 i 可略去)。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
3.平面任意力系平衡的必要和充分条件 于是,平面任意力系平衡的必要和充分 条件是: 力系的主矢和对于任一点的主矩都等于 零。 这些平衡条件可用解析式表示。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程
将式(3-2)和(3-3)代入式(3-6), 可得
Байду номын сангаас
二、关于平面任意力系 的例题
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例3-2
起重机 P1 = 10 kN,可绕铅直轴AB转动; 起重机的挂钩上挂一重为 P2 = 40 kN 的重物, 如图 3-6 所示。 起重机的重心C到转动轴的距离为1.5 m, 其他尺寸如图所示。 求在止推轴承 A 和轴承 B 处的约束力。
例3-3
图3-7所示的水平梁 AB,A 端为固定铰 链支座,B 端为一滚动支座。 梁的长为 4a, 梁重 P,作用在梁的中点C。在梁的AC段上 受均布载荷 q 作用,在梁的 BC 段上受力偶 作用,力偶矩 M = Pa 。 试求 A 和 B 处的支座约束力。
理论力学 3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程 图 3-7
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