三角形的有关概念和性质

1 三角形的有关概念和性质

1.1三角形的内角和

在同一平面内,由一些不在同一条直线上的线段首位顺次相接所围成的封闭图形叫做多边形.组成多变形的那些线段叫做多边形的边.相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.多变形相邻两边所夹的角叫做多边形的内角,简称多边形的角.多变形的角的一边与另一边的反向延长线组成的角叫做多边形的外角.

三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180

在原来图形上添画的线叫做辅助线

依据三角形内角的特征,对三角形进行分类：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形；锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形.

在直角三角形中,夹直角的两边叫做直角边,直角的对边叫做斜边.

推论1 直角三角形的两个锐角互余

推论2 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和

1.2三角形的有关线段

三角形一个角的平分线和对边相交,角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线

连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线

从三角形的一个顶点向其对边或对边的延长线画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高

2 全等三角形

2.1全等三角形的证明

边边边有三边对应相等的两个三角形全等

边角边有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等

角边角有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等

定理有两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

2.2直角三角形全等的判定

定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

3 等腰三角形

3.1等腰三角形及其性质

三角形的三边,有的三边互不相等,有的有两边相等,有的三边都相等.三边都不相等的三角形叫做不等边三角形,有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边都相等的三角形叫做等边三角形.在等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角

定理等腰三角形的底角相等

推论等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

定理有两个角相等的三角形是等腰三角形

定理一个三角形是等腰三角形的充要条件是这个三角形有两个内角相等

等边三角形定理1 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60

等边三角形定理2 三个角都相等的三角形是等边三角形

等边三角形定理3 有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形

3.2线段的垂直平分线与角平分线

定理线段的垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

定理和一条线段两个端点距离相等的点,都在这条线段的垂直平分线上

线段的垂直平分线可以看成是所有和线段两段距离相等的点的集合

定理点在角平分线上的充要条件是这一点到这个角两边的距离相等

角的平分线可以看作是到角的两边距离相等的所有点的集合

3.3 轴对称

定义如果点A,B在直线l的两侧,且l是线段AB的垂直平分线,则称点A,B关于直线l互相对称,点A,B互称为关于直线l的对称点,直线l叫做对称轴

定义在平面上,如果图形F的所有点关于平面上的直线l成轴对称,直线l叫做对称轴

定义在平面上,如果存在一条直线l,图形F的所有点关于直线l的对称点组成的图形,仍是图形F自身,则称图形F为轴对称图形,直线l是它的一条对称轴

定理（1）对称轴上的任意一点与一对对称点的距离相等（2）对称点所连线段被对称轴垂直平分

推论两个图形如果关于某直线称轴对称,那么这两个图形是全等形

3.4三角形中的不等关系

定理三角形的外角大于和它不相邻的任一内角

定理三角形任何两边的和大于第三边

推论三角形任何两边的差小于第三边

定理在一个三角形中,如果两边不等,那么它们所对的角也不等,大边所对的角较大

定理在一个三角形中,如果两个角不等,那么它们所对的边也不等,大角所对的边较大

在一个三角形中,一条边大于另一条边的充要条件是,这条边所对的角大于另一条边所对的角

4 直角三角形

4.1勾股定理逆定理

勾股定理逆定理如果三角形的三边长a,b,c满足条件a+b=c,那么c所对的角是直角

4.2含30角的直角三角形的性质

定理在直角三角形中,如果一个瑞角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半

4.3直角三角形斜边上中线的性质

定理在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半

5 基本作图

5.1基本作图

5.1作三角形

5.3轨迹与反证法

我们把物体按某种规律运动的路线叫做物体运动的轨迹

我们就把一个点在空间按某种规律运动的路线,叫做这个点运动的轨迹,这个点就叫做动点定义具有性质a的所有点构成的集合,叫做具有性质a的点的轨迹

轨迹具有纯粹性和完备性

基本轨迹1 与两个已知点距离相等的点的轨迹是连结这两点的线段的垂直平分线

基本轨迹2 与已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线

直角三角形一个角是30度，另一个角为60度时，斜边等于30°角长度的两倍。（以及它的逆定理）

斜边的中线等于斜边的一半

还有直角三角形的性质

（1）直角三角形两个锐角互余；

（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

（3）在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

（4）在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；

（5）在直角三角形中，两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2=c2.(勾股定理)

（6）（h为斜边上的高），外接圆半径斜边上的中线，内切圆半径