考研数学微分方程

【例 1】求
解：由于
，得其通解为 y′ − ytgx = sec x 为一阶线性非齐次方程，且 P( x) = −tgx, Q( x) = sec x ，代入（4）
− ∫ tgxdx ∫ tgxdx ＝ ( x + C ) sec x y= dx + C ∫ sec xe e
[例 2] 求
x = X y = Y −1 Y X
代入，得
方程变为：
dY X − Y = dX X + Y 1+ u dX du = − 2 1 − 2u − u X
，令 u
=
，积分，得
2
1 − 2u − u 2 = CX 2 ，由 u =
（其中 C 为任意常数）
Y X
代回，得
通解为：
y +1 y +1 2 1− 2 − = Cx x x
dz + (1 − n) P( x) z = (1 − n)Q( x) ，为一阶线性方程，故可用上述方法求解，最后将 z = y1− n 代回，即得通解。 dx
【例 3】求
xy′ + y − y 2 ln x = 0 的通解。 y − 2 y′ + 1 −1 ln x −1 ，为贝努力方程。令 z = y ，代入 y = x x
dy y = dx 2 x − y 2
的通解。
解： 若将
y 看成函数， x 作为变量，此方程不是一阶线性方程。故将 x 看成函数， y 作为变量，则原方程化为：
进一步化简，
dx 2 x − y 2 = dy y
dx 2 2 + x = − y ，为一阶线性方程， P( y ) = , Q( y ) = − y dy y y
求
方程化为齐次方程。
【例3】
dy x − y − 1 的通解。 = dx x + y + 1
解：令
x = X + h dY X − Y + (h − k − 1) ，则 = dX X + Y + (h + k + 1) y = Y + k
即
令
h − k − 1 = 0 h = 0 ⇒ h + k + 1 = 0 k = −1
1 4 1 1 4 。当 y = x + C1 x 2 + C2 x + C3 （ C1 , C2 , C3 为任意常数） x 时，也满足方程。可见 24 2 24 1 4 1 y= x + C1 x 2 + C2 x + C3 包括了所有的解的形式。则称它为通解。 24 2 y=
定义 2：称满足微分方程的函数为方程的解。若方程的解种含有相互独立的任意常数，常数的个数恰好等于方程的阶数，则 称此解为方程的通解；称不含任意常数的解为方程的特解。 注 1:通解与特解只是方程的两类解，一阶方程的解要么是通解，要么是特解 注 2：一阶方程的几种形式：一般形式： F ( x,
注：积分因子不唯一，而且一般也没有什么固定的方法求解积分因子，故只有多积累才能有效的解题。 【例 2】 （1）
f ( y )dy = g ( x)dx 的一阶方程为可分离变量方程。
定义 1：称能改写为形式：
注：不是所有的方程都能这样，故可分离变量方程为一阶线性方程的特殊情况。 定理 1：若 F ′( y )
= f ( y ) ， G ( x) = g ( x) ，则 f ( y )dy = g ( x)dx 的通解为 F ( y ) = G ( x) + C = G ( x) + C 是方程的解。
du 1+ u2
=−
dx x
积分，得
u + 1+ u2 =
y c 2 2 ，将 u = 回代，得通解为 y + x + y = c x x
二、可化为齐次方程的方程
经
x = X + h dy ax + by + c 变换将行如 = dx a1 x + b1 y + c1 y = Y + k
求
方程化为齐次方程。
第十一章 微分方程 函数反映了客观世界运动过程中各种变量之间的函数关系，是研究现实世界运动规律的重要工具，但在大量的实际问题中 遇到稍为复杂的运动过程时，要直接写出反映运动规律的量与量之间的函数关系往往是不可能的，但常可建立含有要找的函数 及其导数的关系式，这种关系式称为微分方程，对微分方程进行分析，找出未知函数来，这就是解方程。 第一节 微分方程的基本概念
− P ( x ) dx dy = − P ( x)dx ，两边积分，得 y = ce ∫ y
dy + P( x) y = 0 dx
（2） 显然是可分离变量方程。
得
（3）为一阶线性齐次方程（2）的通解。
下面我们求（1）的解，由方程（1）和（2）形式的相似性，那它们的解也具有某种相似性。我们用一种常数变易法来求
两边积分，解出 u ，再将 u
=
y 回代，即得通解。 x
的通解。
【例1】
求
( y + x 2 + y 2 )dx − xdy = 0
解：原方程可化为
dy y y = + 1+ dx x x
，化简
2
，令 u
=
y ，即 y = ux ，代入方程，得 x
u+x
du = u + 1+ u2 dx
− P ( x ) dx 为非齐次方程(1)的解，代入方程，得 y = c ( x )e ∫
（1）的解：假设
− P ( x ) dx − P ( x ) dx − P ( x ) dx − P ( x )c ( x )e ∫ c′( x)e ∫ + P ( x )c ( x )e ∫ = Q( x)
x2 1 【例 1】求 xydx + ( + )dy = 0 的通解。 2 y
解：令 P
= xy, Q =
x
∂Q ∂P x2 1 ，故方程为全微分方程 + ，由于 = ∂x ∂y 2 y
y
所以 u ( x,
y ) = ∫ P ( x, y0 )dx + ∫ Q( x, y )dy =
x0 y0
∫
x
0
π
4
的特解。
解：方程可变为
sin x sin y dx = dy ，两边积分，得 − ln cos x = − ln cos y − ln C cos x cos y
即
cos y = C cos x 为方程的通解。
又
y (0) =
π
4
，代入，得
cos
π
4
= C cos 0 ∴ C =
2 2
即满足初始条件的特解为
x = X y = Y −1 Y X
代入，得
方程变为：
dY X − Y = dX X + Y 1+ u dX du = − 2 1 − 2u − u X
，令 u
=
，积分，得
2
1 − 2u − u 2 = CX 2 ，由 u =
（其中 C 为任意常数）
Y X
代回，得
通解为：
y +1 y +1 2 1− 2 − = Cx x x
y ) ，使 du = P ( x, y )dx + Q( x, y )dy ，则称 P ( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0
= 0 为全微分方程 ⇔
∂Q ∂P = ∂x ∂y
x y x0 y0
（2） Pdx + Qdy
= 0 的通解为 u ( x, y ) = C ，其中 u ( x, y ) = ∫ P ( x, y0 )dx + ∫ Q( x, y )dy 。
第三节 齐次方程 一、齐次方程
定义 1：称能改写成形式：
dy y = f 的微分方程为一阶齐次方程。 dx x
我们下面来看看齐次方程解的情形： 令u
=
y ，即 y = ux ，代入方程，得 x
du du dx = f (u ) ，分离变量，得 = dx u − f (u ) x
u+x
cos y =
2 cos x 2
【例2】
求
y′ = e x + y 的通解。 dy = e x dx ，两边积分，得 y e
解：由
y′ = e x + y = e x e y ，分离变量，得
− e − y = e x + c ，即为方程的隐式通解。
二、可化为齐次方程的方程
经
x = X + h dy ax + by + c 变换将行如 = dx a1 x + b1 y + c1 y = Y + k
则 c′( x )e
− P ( x ) dx
∫
= Q( x) ， c′( x) = e ∫
P ( x ) dx
P ( x ) dx
Q( x)
积分，得
c ( x ) = ∫ Q ( x )e ∫
dx + C
（4）即为方程（1）的通解。
则
∫ P ( x ) dx dx + C e − ∫ P ( x ) dx y = ∫ Q ( x )e y′ − ytgx = sec x 的通解。
y, y′) = 0 ，从这个方程种有可能解出 y′ ，也有可能解不出来；一阶显
式方程：
y′ = f ( x, y ) ；对称形式：
dy P( x, y ) 或 Pdx + Qdy = 0 = dx Q( x, y )
第二节 可分离变量方程
注 3：在一阶方程种，
x 和 y 的关系是等价的.因此，有时可将 x 看成函数， y 看做变量。
F ( y ) = G ( x) + C 为 f ( y )dy = g ( x)dx 的通解。
所以，
注 1:可分离变量方程的解法：先分离变量，再两边积分，即得通解。 注 2：用来确定通解中的任意常数的条件，称为方程的初始条件。 【例1】 求 sin
x cos ydx − cos x sin ydy = 0 的通解，并求满足初始条件 y (0) =
代入（4） ，得方程的通解为
x = y (C − ln y ) 。
二、 贝努力方程―可化为一阶线性方程的方程 定义 2：称形如：
dy + P( x) y = Q( x) y n 的方程为一阶贝努力方程。 dx − n dy 下面我们看看贝努力方程的解的情形：将方程变形为 y + P( x) y1− n = Q( x) ，令 z = y1− n ，则方程化为 dx
第四节、一阶线性方程 一、 一阶线性微分方程
定义 1：称可转化为形式： 齐次方程； Q ( x )
dy + P( x) y = Q( x) dx
(1)的方程为一阶线性方程；若 Q ( x )
= 0 ，则（1）式称为一阶线性
（1）式称为一阶线性非齐次方程。 ≠ 0，
下面我们来看看方程（1）的解的情形：先看齐次方程：
xdx + ∫ (
1
y
x2 1 + )dy 2 y
=
x2 y + ln y = C 2
= 0 不是全微分方程，如果存在可微函数 u ( x, y ) 使 uPdx + uQdy = 0 为全微分方程，则
二、可化为全微分方程的方程―积分因子 定义 2：设 Pdx + Qdy 称 u ( x,
y ) 为原方程的积分因子。
Βιβλιοθήκη Baidu两边关于
x 积分，得
∫ f [ϕ ( x)]ϕ ′( x)dx = ∫ g ( x)dx
又
F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数， G ( x) 是 g ( x) 的一个原函数
则 F[
ϕ ( x)] = G ( x) + C ，即 y = ϕ ( x) 在 F ( y ) = G ( x) + C 中
证： （1）先证 F ( y )
两边对
x 求导，得 f ( y )
dy = g ( x) ，即 f ( y )dy = g ( x)dx dx
故 F ( y)
= G ( x) + C 是方程的解 y = ϕ ( x) 是方程的任一解，则 f [ϕ ( x)]ϕ ′( x)dx = g ( x)dx
（2）设
解：将方程变形，得
所以
dz 1 ln x −1 ，利用（4） ，得 z = ln x + 1 + Cx ，又 z = y ， − z=− dx x x 1 为原方程的通解。 y= ln x + cx + 1
第五节 全微分方程
定义 1：如果存在可微函数 u ( x, 微全微分方程。 命题： （1） Pdx + Qdy
定义 1：称含有导数或微分的方程为微分方程，并称方程种最高阶导数的阶数为方程的阶数。 如：
y′′ + y′2 + xy = 1
二阶方程；
y′2 + xy = 0 一阶方程； y′′′ = x 三阶方程，等等
y′′′ = x ，方程两边三次积分，得方程的解
讲方程，都是为了解方程，前两个方程不好解，第三个方程好解。解之，
【例4】
dy x − y − 1 的通解。 = dx x + y + 1
解：令
x = X + h dY X − Y + (h − k − 1) ，则 = dX X + Y + (h + k + 1) y = Y + k
即
令
h − k − 1 = 0 h = 0 ⇒ h + k + 1 = 0 k = −1