第二章随机变量分布与数字特征

第二章 随机变量及其数字特征

一、教学要求

1. 理解随机变量的概念，掌握离散型和连续型随机变量的描述方法，理解概率分布列和概率密度函数的概念和性质；

2. 理解分布函数的概念和性质，会利用概率分布计算有关事件的概率；

3. 会利用分布函数计算离散和连续随机变量函数的数字特征；

4. 熟练掌握退化分布、两点分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布和正态分布、指数分布、均匀分布等常用概率分布及其数字特征的计算和相关概率的求解；

5. 应用公式会求简单随机变量函数的概率分布及数字特征。 二、重点与难点

本章的重点是随机变量概率分布及其性质，常见的几种分布，随机变量函数的分布、数学期望和方差的计算；难点是随机变量函数的分布及数学期望的计算。

§2.1 随机变量及其分布

一、

随机变量

1．引入随机变量的必要性

1）在随机现象中，有很大一部分问题与数值发生关系。如：产品检验问题中，抽样中 出现的废品数；在车间供电问题中某时刻正在工作的车床数；在电讯中，某段时间的话务量等等。 2）有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。如： 掷硬币问题中，记出现正面时为“1”，出现反面时为“0”。

注：这些例子中，试验的 结果能用一个数字X 来表示，这个数X 是随着试验的结果的不同而变化的，也即它是样本点的一个函数，这种量以后称为随机变量。

2．引例

先看一个具体的例子: 例1 袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，观察取出的3只球中的黑球的个数． 我们将3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别记作4，5号，则该试验的样本空间为

()()()()()()()()()()123124125134135145234235245345⎧⎫

⎪

⎪⎪⎪

Ω=⎨

⎬⎪⎪

⎪⎪⎩

⎭

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，

我们记取出的黑球数为 X ，则 X 的可能取值为1，2，3．因此， X 是一个变量．

但是， X 取什么值依赖于试验结果，即 X 的取值带有随机性，所以，我们称 X 为随机变量．

X 的取值情况可由下表给出：

由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量 X 的一个确定的取值，因此

变量 X 是样本空间Ω上的函数：

()()X X ωω=∈Ω

我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件．例如

(){}{}22X X ωω===：表示取出2个黑球这一事件；

{}2X ≥表示至少取出2个黑球这一事件，等等．

3．定义

1）描述性定义：定义在样本空间Ω上的实值函数称为随机变量,常用大写X,Y,Z 等表示；随机变量的取值用小写字母x,y,z 等表示。

2）严格定义：设(,,)P Ωℑ为一概率空间，(),X X ωω=∈Ω是定义在Ω上的实值函数，若对任一实数x ，{:()}X x ωω≤∈ℑ，则称X 为随机变量。 4.随机变量的例子

例2 上午 8:00～9:00 在某路口观察，令： Y ：该时间间隔内通过的汽车数．

则 Y 就是一个随机变量．它的取值为 0，1，…．

{}100Y <表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；

{}50100Y <≤表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆这一随机事件

例3 观察某生物的寿命（单位：小时），令： Z ：该生物的寿命．

则 Z 就是一个随机变量．它的取值为所有非负实

数．{}1500Z ≤表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事件． 二、分布函数及其性质 1.分布函数的概念

定义 设(,,)P Ωℑ为一概率空间，X 为定义在其上的随机变量,对任意实数x ,称

()()F x P X x =≤

为随机变量X 的分布函数,且称X 服从()F x ,记为X ~()F x .有时也可用()X F x 表明是X 的分布函数. 2.例子

例4 向半径为r 的圆内随机抛一点,求此点到圆心之距离X 的分布函数()F x ,并求P(X>23

r ). 解 事件“X x ≤”表示所抛之点落在半径为(0)x x r ≤≤的圆内，故由几何概率知

222()()().x x F x P X x r r ππ=≤==从而22r 225

P(X> )=1-P(X )=1-().3339

r ≤=

3.分布函数的性质

定理：任一分布函数()F x 都有如下三条基本性质:

（1）单调性:()F x 是定义在整个实数轴(,)-∞+∞上的单调非减函数，即对任意的12x x <，有12()()F x F x ≤；

（2）规范性:()F -∞=lim ()0x F x →-∞

=；

()F +∞=lim ()1x F x →+∞

=。

（3）右连续性:()F x 是x 的右连续函数，即对任意的0x ，有

00lim ()()x x F x F x +

→=，

即 00(0)()F x F x +=。

证明 略。

注（1）上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件。 （2）有了分布函数的定义，可以计算：

()()()P a X b F b F a <≤=-，()()()P X a F a F a ==--， ()1()P X b F b ≥=--等。

三、离散随机变量及其分布列 1．离散型随机变量的概念

若某个随机变量的所有可能取值是有限多个或可列无限多个，则称这个随机变量为离散型随机变量。

讨论随机变量的目的是要研究其统计规律性，要知道离散型随机变量X 的统计规律必须且只须知道X 的所有可能取值以及X 取每一个可能值的概率。 2．分布列 设X 是一个离散随机变量，如果X 的所有可能取值是12,,

n

x x x ，则称X 取

i x 的概率